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Articulo de referencia

Teorema de la vieira

Una vieira nada abriendo lentamente sus dos mitades y luego cerrándolas rápidamente. Este método de natación es eficaz porque la fuerza de inercia del agua circundante predomina...

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Una vieira nada abriendo lentamente sus dos mitades y luego cerrándolas rápidamente. Este método de natación es eficaz porque la fuerza de inercia del agua circundante predomina sobre la fuerza viscosa. En un entorno con un número de Reynolds bajo, una vieira solo oscilaría en el mismo lugar.

En física , el teorema de la vieira establece que un nadador que realiza un movimiento recíproco no puede lograr un desplazamiento neto en un fluido newtoniano de bajo número de Reynolds , es decir, un fluido altamente viscoso . Dicho nadador deforma su cuerpo adoptando una forma particular mediante una secuencia de movimientos y luego regresa a su forma original repitiendo la secuencia en sentido inverso. A bajos números de Reynolds, el tiempo y la inercia no influyen, y el movimiento de natación está determinado exclusivamente por la secuencia de formas que adopta el nadador.

Edward Mills Purcell enunció este teorema en su artículo de 1977, *Life at Low Reynolds Number*, donde explicaba los principios físicos de la locomoción acuática . [ 1 ] El teorema recibe su nombre del movimiento de una vieira , que abre y cierra una bisagra simple durante un período. Dicho movimiento no es suficiente para generar migración a bajos números de Reynolds. La vieira es un ejemplo de un cuerpo con un grado de libertad para moverse. Los cuerpos con un solo grado de libertad se deforman de forma recíproca y, por consiguiente, no logran la locomoción en un entorno altamente viscoso.

Fondo

Animación de un micronadador de tres esferas de Najafi-Golestanian. [ 2 ] Tiene un grado de libertad donde el brazo izquierdo se extiende y se retrae. En entornos con bajo número de Reynolds, esto no produce un desplazamiento neto de todo el cuerpo a medida que el brazo completa un ciclo de extensión y retracción.

El teorema de la vieira es una consecuencia de las fuerzas subsiguientes aplicadas al organismo mientras nada desde el fluido circundante. Para un fluido newtoniano incompresible con densidadρ{\displaystyle \rho }y viscosidad dinámicaη{\displaystyle \eta }El flujo satisface las ecuaciones de Navier-Stokes :

ρ(∂∂t+tú⋅∇)tú=−∇pag+η∇2tú,∇⋅tú=0,{\displaystyle \rho \left({\dfrac {\partial }{\partial \mathrm {t} }}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}

dóndetú{\displaystyle \mathbf {u} }denota la velocidad del fluido. Sin embargo, en el límite de bajo número de Reynolds, los términos inerciales de las ecuaciones de Navier-Stokes del lado izquierdo tienden a cero. Esto se hace más evidente al adimensionalizar las ecuaciones de Navier-Stokes . Al definir una velocidad y una longitud características,tú0{\displaystyle u_{0}}yL{\displaystyle L}Podemos convertir nuestras variables a formato adimensional:

tú~=tútú0;r~=rL;t~=t(L/tú0);pag~=pag(ηtú0/L).{\displaystyle \mathbf {\tilde {u}} ={\dfrac {\mathbf {u} }{u_{0}}};\quad \mathbf {\tilde {r}} ={\dfrac {\mathbf {r} }{L}};\quad {\tilde {t}}={\dfrac {t}{(L/u_{0})}};\quad {\tilde {p}}={\dfrac {p}{(\eta u_{0}/L)}}.}

donde la presión adimensional se escala adecuadamente para flujos con efectos viscosos significativos. Sustituyendo estas cantidades en las ecuaciones de Navier-Stokes obtenemos:

ρtú02L(∂∂t~+tú~⋅∇~)tú~=−ηtú0L2(∇~pag~+∇~2tú~),∇~⋅tú~=0.{\displaystyle {\dfrac {\rho u_{0}^{2}}{L}}\left({\dfrac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}+\mathbf {\tilde {u}} \cdot {\tilde {\nabla }}\right)\mathbf {\tilde {u}} =-{\dfrac {\eta u_{0}}{L^{2}}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {p}}+{\tilde {\nabla }}^{2}\mathbf {\tilde {u}} \right),\quad {\tilde {\nabla }}\cdot \mathbf {\tilde {u}} =0.}

Y al reorganizar los términos, llegamos a una forma adimensional:

Re(∂∂t~+tú~⋅∇~)tú~=−∇~pag~+∇~2tú~,∇~⋅tú~=0,{\displaystyle {\text{Re}}\left({\dfrac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}+\mathbf {\tilde {u}} \cdot {\tilde {\nabla }}\right)\mathbf {\tilde {u}} =-{\tilde {\nabla }}{\tilde {p}}+{\tilde {\nabla }}^{2}\mathbf {\tilde {u}} ,\quad {\tilde {\nabla }}\cdot \mathbf {\tilde {u}} =0,}

dóndeRe=ρtú0L/η{\displaystyle {\text{Re}}=\rho u_{0}L/\eta }es el número de Reynolds. En el límite de bajo número de Reynolds (comoRmi→0{\displaystyle \mathrm {Re} \rightarrow 0}), el lado izquierdo tiende a cero y llegamos a una forma adimensional de las ecuaciones de Stokes. La redimensionalización produce:

0=−∇pag+η∇2tú,∇⋅tú=0.{\displaystyle 0=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}

Declaración

Las consecuencias de no tener términos inerciales a números de Reynolds bajos son:

  • Una consecuencia de esto es que el nadador prácticamente no experimenta fuerza ni torsión netas.
  • Una segunda consecuencia nos indica que la velocidad es directamente proporcional a la fuerza (lo mismo puede decirse de la velocidad angular y el par motor).
  • Las ecuaciones de Stokes se vuelven lineales e independientes del tiempo.

En particular, para un nadador que se mueve en el régimen de bajo número de Reynolds, su movimiento satisface:

  • Independientemente del tiempo: El mismo movimiento puede acelerarse o desacelerarse, y aun así cumpliría las ecuaciones de Stokes. Geométricamente, esto significa que el movimiento de un nadador en el régimen de bajo número de Reynolds está determinado exclusivamente por la forma de su trayectoria en el espacio de configuración.
  • Reversibilidad cinemática: El mismo movimiento puede invertirse. Cualquier inversión instantánea de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo no cambiará la naturaleza del flujo del fluido a su alrededor, sino simplemente la dirección del flujo. Estas fuerzas son las responsables de producir el movimiento. Cuando un cuerpo tiene un solo grado de libertad, la inversión de las fuerzas provocará que el cuerpo se deforme de forma recíproca. Por ejemplo, una vieira que abre su bisagra simplemente la cerrará para intentar impulsarse. Dado que la inversión de las fuerzas no cambia la naturaleza del flujo, el cuerpo se moverá en la dirección opuesta exactamente de la misma manera, lo que resulta en un desplazamiento neto nulo. Así es como llegamos a las consecuencias del teorema de la vieira. [ 3 ]

Prueba mediante escalado

Esto se asemeja más al esbozo de demostración presentado por Purcell. [ 1 ] El resultado clave consiste en demostrar que un nadador en un fluido de Stokes no depende del tiempo. Es decir, no se puede detectar si la secuencia de movimientos de un nadador se ralentiza, se acelera o se invierte. Los demás resultados son, por lo tanto, simples corolarios.

El tensor de esfuerzos del fluido esσij=−pagδij+μ(∂itúj+∂jtúi){\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu (\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i})}.

Dejarr{\displaystyle r}Sea una constante real distinta de cero. Supongamos que tenemos un movimiento de natación, entonces podemos realizar el siguiente escalamiento:pag↦rpag;tú↦rtú;σ↦rσ{\displaystyle p\mapsto rp;\quad u\mapsto ru;\quad \sigma \mapsto r\sigma }y obtener otra solución a la ecuación de Stokes. Es decir, si escalamos la presión hidrostática, la velocidad del flujo y el tensor de esfuerzos en un factor de 1:1.r{\displaystyle r}Aun así, obtenemos una solución a la ecuación de Stokes.

Dado que el movimiento se encuentra en el régimen de bajo número de Reynolds, las fuerzas de inercia son despreciables, y la fuerza y ​​el par totales instantáneos sobre el nadador deben equilibrarse a cero. Dado que la fuerza y ​​el par totales instantáneos sobre el nadador se calculan integrando el tensor de esfuerzosσ{\displaystyle \sigma }sobre su superficie, la fuerza y ​​el par totales instantáneos aumentan enr{\displaystyle r}también, que siguen siendo cero.

De este modo, al escalar tanto el movimiento del nadador como el movimiento del fluido circundante por el mismo factor, seguimos obteniendo un movimiento que respeta la ecuación de Stokes.

Demostración mediante cálculo vectorial

La demostración del teorema de la vieira puede representarse de forma matemáticamente elegante. Para ello, primero debemos comprender las consecuencias matemáticas de la linealidad de las ecuaciones de Stokes. En resumen, la linealidad de las ecuaciones de Stokes nos permite utilizar el teorema de reciprocidad para relacionar la velocidad de natación del nadador con el campo de velocidad del fluido que rodea su superficie (conocido como nado), el cual cambia según el movimiento periódico que exhibe. Esta relación nos permite concluir que la locomoción es independiente de la velocidad de natación. Posteriormente, esto conduce al descubrimiento de que la inversión del movimiento periódico es idéntica al movimiento hacia adelante debido a la simetría, lo que nos permite concluir que no puede haber desplazamiento neto. [ 3 ]

Independencia de la tasa

El teorema de reciprocidad describe la relación entre dos flujos de Stokes en la misma geometría donde los efectos inerciales son insignificantes en comparación con los efectos viscosos. Consideremos una región llena de fluido.V{\displaystyle V}delimitado por superficieS{\displaystyle S}con una unidad normalnorte^{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}Supongamos que tenemos soluciones a las ecuaciones de Stokes en el dominioV{\displaystyle V}que poseen la forma de los campos de velocidadtú{\displaystyle \mathbf {u} }ytú′{\displaystyle \mathbf {u} '}Los campos de velocidad albergan campos de tensión correspondientes.σ{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}yσ′{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}respectivamente. Entonces se cumple la siguiente igualdad:

∬Stú⋅(σ′⋅norte^) dS=∬Stú′⋅(σ⋅norte^) dS.{\displaystyle \iint _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot {\hat {\mathbf {n} }})~\mathrm {d} S=\iint _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }})~\mathrm {d} S.}

El teorema de reciprocidad nos permite obtener información sobre un flujo determinado utilizando información de otro flujo. Esto es preferible a resolver las ecuaciones de Stokes, lo cual resulta difícil debido a la falta de condiciones de contorno conocidas. Esto es particularmente útil si se desea comprender el flujo de un problema complejo estudiando el flujo de un problema más simple en la misma geometría.

Se puede utilizar el teorema de reciprocidad para relacionar la velocidad de natación,U{\displaystyle \mathbf {U} }, de un nadador sometido a una fuerzaF^{\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}}a su forma de nadartúS{\displaystyle \mathbf {u} _{S}}:

F^⋅U=−∬StúS⋅(σ^⋅norte) dS.{\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {U} =-\iint _{S}\mathbf {u} _{S}\cdot ({\boldsymbol {\hat {\sigma }}}\cdot \mathbf {n} )~\mathrm {d} S.}

Ahora que hemos establecido que la relación entre la velocidad instantánea de natación en la dirección de la fuerza que actúa sobre el cuerpo y su nado sigue la forma general

U=∬r˙S⋅gramo(rS) dS,{\displaystyle \mathbf {U} =\iint {\dot {\mathbf {r} }}_{S}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} _{S})~\mathrm {d} S,}

dóndetúS≡r˙S=drS/dt{\displaystyle \mathbf {u} _{S}\equiv {\dot {\mathbf {r} }}_{S}=\mathrm {d} \mathbf {r} _{S}/\mathrm {d} t}yrS{\displaystyle \mathbf {r} _{S}}Denotemos las posiciones de los puntos en la superficie del nadador, podemos establecer que la locomoción es independiente de la velocidad. Consideremos un nadador que se deforma de forma periódica a través de una secuencia de movimientos entre los tiempos.t0{\displaystyle t_{0}}yt1.{\displaystyle t_{1}.}El desplazamiento neto del nadador es

Δincógnita=∫t0t1U dt.{\displaystyle \Delta X=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} ~\mathrm {d} t.}

Ahora consideremos al nadador deformándose de la misma manera, pero a una velocidad diferente. Describimos esto con el mapeo

t′=F(t),rS(t)=r′S(t′),r˙S(t)=dr′S(t′)dt=dr′S(t′)dt′⋅dt′dt=r˙S′(t′)F˙(t).{\displaystyle t'=f(t),\quad \mathbf {r} _{S}(t)=\mathbf {r'} _{S}(t'),\quad {\dot {\mathbf {r} }}_{S}(t)={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {r'} _{S}(t')}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {r'} _{S}(t')}{\mathrm {d} t'}}\cdot {\dfrac {\mathrm {d} t'}{\mathrm {d} t}}={\dot {\mathbf {r} }}_{S}'(t'){\dot {f}}(t).}

Utilizando este mapeo, vemos que

Δincógnita′=∫t0t1U′(t′) dt′=∫t0t1U′(F(t))F˙ dt=∫t0t1∬r˙S′F˙⋅gramo(r′S) dSdt=∫t0t1∬r˙S⋅gramo(rS) dSdt{\displaystyle \Delta X'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} '(t')~\mathrm {d} t'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} '(f(t)){\dot {f}}~\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint {\dot {\mathbf {r} }}_{S}'{\dot {f}}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r'} _{S})~\mathrm {d} S\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint {\dot {\mathbf {r} }}_{S}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} _{S})~\mathrm {d} S\mathrm {d} t}
=∫t0t1U(t) dt→Δincógnita′=Δincógnita.{\displaystyle =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t\rightarrow \Delta X'=\Delta X.}

Este resultado significa que la distancia neta recorrida por el nadador no depende de la velocidad a la que se deforma, sino únicamente de la secuencia geométrica de su forma. Este es el primer resultado clave.

Simetría del movimiento hacia adelante y hacia atrás

Si un nadador se mueve de forma periódica e invariante en el tiempo, sabemos que el desplazamiento promedio durante un período debe ser cero. Para ilustrar la demostración, consideremos un nadador que se deforma durante un período que comienza y termina en los tiempost0{\displaystyle t_{0}}yt1{\displaystyle t_{1}}. Eso significa que su forma al principio y al final es la misma, es decirrS(t0)=rS(t1).{\displaystyle \mathbf {r} _{S}(t_{0})=\mathbf {r} _{S}(t_{1}).}A continuación, consideramos el movimiento obtenido por simetría de inversión temporal del primer movimiento que ocurre durante el período que comienza y termina en los tiempost2{\displaystyle t_{2}}yt3.{\displaystyle t_{3}.}Utilizando un mapeo similar al de la sección anterior, definimost2=F(t1){\displaystyle t_{2}=f(t_{1})}yt3=F(t0){\displaystyle t_{3}=f(t_{0})}y definir la forma en el movimiento inverso para que sea la misma que la forma en el movimiento hacia adelante,rS(t)=rS′(t′).{\displaystyle \mathbf {r} _{S}(t)=\mathbf {r} '_{S}(t').}Ahora encontramos la relación entre los desplazamientos netos en estos dos casos:

Δincógnita′=∫t2t3U′(t′) dt′=∫t1t0U(t) dt=−∫t0t1U(t) dt=−Δincógnita.{\displaystyle \Delta X'=\int _{t_{2}}^{t_{3}}\mathbf {U} '(t')~\mathrm {d} t'=\int _{t_{1}}^{t_{0}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t=-\Delta X.}

Este es el segundo resultado clave. Al combinarlo con nuestro primer resultado clave de la sección anterior, vemos queΔincógnita′=Δincógnita=−Δincógnita→Δincógnita=0.{\displaystyle \Delta X'=\Delta X=-\Delta X\rightarrow \Delta X=0.}Vemos que un nadador que invierte su movimiento invirtiendo su secuencia de cambios de forma conduce a la distancia recorrida opuesta. Además, dado que el nadador exhibe una deformación corporal recíproca, la secuencia de movimiento es la misma entret2{\displaystyle t_{2}}yt3{\displaystyle t_{3}}yt0{\displaystyle t_{0}}yt1.{\displaystyle t_{1}.}Por lo tanto, la distancia recorrida debería ser la misma independientemente de la dirección del tiempo, lo que significa que el movimiento recíproco no se puede utilizar para el movimiento neto en entornos con números de Reynolds bajos.

Excepciones

El teorema de la vieira se cumple si asumimos que un nadador experimenta un movimiento recíproco en un fluido newtoniano infinito en reposo, en ausencia de inercia y fuerzas externas. Sin embargo, existen casos en los que se incumplen las suposiciones del teorema de la vieira. [ 4 ] En un caso, los nadadores que logran nadar en entornos viscosos deben exhibir una cinemática corporal no recíproca. En otro caso, si un nadador se encuentra en un fluido no newtoniano , también puede lograr la locomoción.

Tipos de movimiento no recíproco

En su artículo original, Purcell propuso un ejemplo sencillo de deformación corporal no recíproca, conocido actualmente como el nadador de Purcell. Este nadador simple posee dos grados de libertad de movimiento: un cuerpo articulado compuesto por tres eslabones rígidos que giran desfasados ​​entre sí. Sin embargo, cualquier cuerpo con más de un grado de libertad de movimiento también puede desplazarse.

En general, los organismos microscópicos como las bacterias han desarrollado diferentes mecanismos para realizar movimientos no recíprocos:

  • El uso de un flagelo , que rota, empuja el medio hacia atrás —y la célula hacia adelante— de forma muy similar a como la hélice de un barco lo mueve. Así es como se mueven algunas bacterias; el flagelo está unido en un extremo a un complejo motor giratorio fijado rígidamente a la superficie de la célula bacteriana. [ 5 ] [ 6 ]
  • Uso de un brazo flexible: esto podría hacerse de muchas maneras diferentes. Por ejemplo, los espermatozoides de los mamíferos tienen un flagelo que, como un látigo, se mueve en el extremo de la célula, empujándola hacia adelante. [ 7 ] Los cilios son estructuras bastante similares a los flagelos de los mamíferos; pueden hacer avanzar una célula como el paramecio mediante un movimiento complejo no muy diferente a la braza .

Geométricamente, el flagelo giratorio es un nadador unidimensional, y funciona porque su movimiento se produce en un espacio de configuración circular, y un círculo no es un movimiento alternativo. El brazo flexible es un nadador multidimensional, y funciona porque su movimiento se produce en un círculo dentro de un espacio de configuración cuadrado. Nótese que el primer tipo de movimiento tiene homotopía no trivial , mientras que el segundo tiene homotopía trivial.

Fluidos no newtonianos

La suposición de un fluido newtoniano es esencial, ya que las ecuaciones de Stokes no se mantendrán lineales ni independientes del tiempo en un entorno con propiedades mecánicas y reológicas complejas. También es bien sabido que muchos microorganismos viven en fluidos no newtonianos complejos, comunes en entornos biológicamente relevantes. Por ejemplo, las células que se desplazan suelen migrar en fluidos poliméricos elásticos. Los fluidos no newtonianos poseen diversas propiedades que pueden manipularse para producir locomoción a pequeña escala. [ 4 ]

Primero, una de esas propiedades explotables son las diferencias de tensión normales. Estas diferencias surgirán del estiramiento del fluido por el flujo del nadador. Otra propiedad explotable es la relajación de la tensión . Dicha evolución temporal de tales tensiones contiene un término de memoria, aunque el alcance en que esto se puede utilizar está en gran medida inexplorado. Por último, los fluidos no newtonianos poseen viscosidades que dependen de la tasa de cizallamiento . En otras palabras, un nadador experimentaría un entorno de número de Reynolds diferente al alterar su velocidad de movimiento. Muchos fluidos biológicamente relevantes exhiben adelgazamiento por cizallamiento, lo que significa que la viscosidad disminuye con la tasa de cizallamiento. En tal entorno, la velocidad a la que un nadador exhibe movimiento recíproco sería significativa, ya que dejaría de ser invariante en el tiempo. Esto está en marcado contraste con lo que establecimos, donde la velocidad a la que se mueve un nadador es irrelevante para establecer la locomoción. Por lo tanto, se puede diseñar un nadador recíproco en un fluido no newtoniano. Qiu et al . (2014) lograron diseñar una micro vieira en un fluido no newtoniano. [ 8 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Purcell, EM (1977), "Vida a bajo número de Reynolds", American Journal of Physics , 45 (1): 3– 11, Bibcode : 1977AmJPh..45....3P , doi : 10.1119/1.10903 , hdl : 2433/226838
  2. ↑ Najafi, Ali; Golestanian, Ramin (2004-06-16). "Nadador simple a bajo número de Reynolds: Tres esferas enlazadas" . Physical Review E. 69 ( 6) 062901. arXiv : cond-mat/0402070 . Bibcode : 2004PhRvE..69f2901N . doi : 10.1103/PhysRevE.69.062901 . PMID 15244646 . 
  3. 1 2 Lauga, Eric; Powers, Thomas R. (2009), "La hidrodinámica de los microorganismos nadadores", Reports on Progress in Physics , 72 (9) 096601, arXiv : 0812.2887 , Bibcode : 2009RPPh...72i6601L , doi : 10.1088/0034-4885/72/9/096601 , S2CID 3932471 
  4. 1 2 Lauga, Eric (2011), "La vida en torno al teorema de la vieira", Soft Matter , 7 (7): 3060– 3065, arXiv : 1011.3051 , Bibcode : 2011SMat....7.3060L , doi : 10.1039/C0SM00953A , S2CID 96762619 
  5. ↑ Berg HC y Anderson RA (1973). " Las bacterias nadan rotando sus filamentos flagelares". Nature . 245 (5425): 380– 382. Bibcode : 1973Natur.245..380B . doi : 10.1038/245380a0 . PMID 4593496. S2CID 4173914 .  
  6. ↑ Silverman M y Simon M (1974) . "Rotación flagelar y el mecanismo de la motilidad bacteriana". Nature . 249 (100): 73– 74. Bibcode : 1974Natur.249...73S . doi : 10.1038/249073a0 . PMID 4598030. S2CID 10370084 .  
  7. ↑ Brokaw CJ (1991). " Deslizamiento de microtúbulos en flagelos de espermatozoides nadadores: mediciones directas e indirectas en espermatozoides de erizos de mar y tunicados" . J Cell Biol . 114 (6): 1201– 1215. doi : 10.1083/jcb.114.6.1201 . PMC 2289132. PMID 1894694 .  
  8. ↑ Qiu, Tian; Lee, Tung-Chun; Mark, Andrew G.; Morozov, Konstantin I.; Münster, Raphael; Mierka, Otto; Turek, Stefan; Leshansky, Alexander M.; Fischer, Peer (2014), "Natación mediante movimiento recíproco a bajo número de Reynolds", Nature Communications , 5 5119, Bibcode : 2014NatCo...5.5119Q , doi : 10.1038/ncomms6119 , PMC 4241991 , PMID 25369018  
  • EM Purcell. Vida a bajo número de Reynolds , American Journal of Physics, vol. 45, págs. 3-11 (1977).
  • Reversibilidad cinemática y el teorema de la vieira
  • Vídeo de un robot nadador incapaz de impulsarse en un fluido viscoso debido al teorema de Scallop.