ecuación de Schamel

La ecuación de Schamel (ecuación S) es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden en el tiempo y tercer orden en el espacio. Similar a una ecuación de Korteweg-De Vries (KdV), ^{[ 1 ]} describe el desarrollo de una estructura de onda coherente y localizada que se propaga en un medio dispersivo no lineal. Fue derivada por primera vez en 1973 por Hans Schamel ^{[ 2 ]} para describir los efectos del atrapamiento de electrones en el valle del potencial de una estructura de onda electrostática solitaria que viaja a la velocidad acústica de iones en un plasma de dos componentes. Ahora se aplica a diversas dinámicas de pulsos localizados, tales como:

• agujeros de electrones e iones o vórtices del espacio de fase en plasmas libres de colisiones como los plasmas espaciales, ^{[ 3 ]}
• propagación de pulsos axisimétricos en cáscaras cilíndricas no lineales físicamente rigidizadas, ^{[ 4 ]}
• Propagación de "solitones" en líneas de transmisión no lineales ^{[ 5 ]} o en fibra óptica y física láser. ^{[ 6 ]}

La ecuación de Schamel es ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }})\phi _{x}+\phi _{xxx}=0,}$

dónde${\displaystyle \phi _{(t,x)}}$representa${\displaystyle \partial _{(t,x)}\phi }$. En el caso de ondas solitarias iónico-acústicas, el parámetro${\displaystyle b}$refleja el efecto de los electrones atrapados en el valle del potencial electrostático${\displaystyle \phi }$. Se da por${\displaystyle b={\frac {1-\beta }{\sqrt {\pi }}}}$, dónde${\displaystyle \beta }$, el parámetro de atrapamiento, refleja el estado de los electrones atrapados,${\displaystyle \beta =0}$representando una distribución de electrones atrapados estacionarios de cima plana,${\displaystyle \beta <0}$una depresión o un desnivel. Contiene${\displaystyle 0\leq \phi \leq \psi \ll 1}$, dónde${\displaystyle \psi }$es la amplitud de la onda. Todas las cantidades están normalizadas: la energía potencial por la energía térmica del electrón, la velocidad por la velocidad del sonido iónico, el tiempo por la frecuencia de plasma iónico inversa y el espacio por la longitud de Debye del electrón . Nótese que para una ecuación de KdV ${\displaystyle b{\sqrt {\phi }}}$es reemplazado por${\displaystyle \phi }$de tal manera que la no linealidad se vuelve bilineal (véase más adelante).

La solución de onda solitaria en estado estacionario,${\displaystyle \phi (x-v_{0}t)}$, se da en el sistema de referencia comóvil por:

${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}\left({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x\right)}$

${\displaystyle v_{0}=1+{\frac {8}{15}}b{\sqrt {\psi }}.}$

La velocidad de la estructura es supersónica,${\displaystyle v_{0}>1}$, desde${\displaystyle b}$tiene que ser positivo,${\displaystyle 0<b}$, lo que corresponde en el caso acústico de iones a una distribución reducida de electrones atrapados.${\displaystyle \beta <1}$. ^{[ 2 ] [ 7 ]}

La demostración de esta solución utiliza la analogía con la mecánica clásica mediante${\displaystyle \phi _{xx}=:-{\mathcal {V}}'(\phi )}$con${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )}$, siendo el pseudopotencial correspondiente. A partir de esto obtenemos mediante una integración:${\displaystyle {\frac {\phi _{x}^{2}}{2}}+{\mathcal {V(\phi )}}=0}$, que representa la pseudoenergía, y a partir de la ecuación de Schamel: ${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {(v_{0}-1)}{2}}\phi ^{2}-{\frac {4b}{15}}\phi ^{5/2}}$. A través de la demanda obvia, a saber, que en el máximo potencial,${\displaystyle \phi =\psi }$la pendiente${\displaystyle \phi _{x}}$de${\displaystyle \phi }$desaparece lo que obtenemos:${\displaystyle {\mathcal {V}}(\psi )=0}$Esta es una relación de dispersión no lineal (NDR) porque determina la velocidad de fase .${\displaystyle v_{0}}$dada por la segunda expresión. La forma canónica de${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )}$se obtiene reemplazando${\displaystyle v_{0}}$con el NDR. Se convierte en:

${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {4}{15}}b\phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi }}).}$

El uso de esta expresión en${\displaystyle x(\phi )=\int _{\phi }^{\psi }{\frac {d\xi }{\sqrt {-2{\mathcal {V}}(\xi )}}}}$, que se deduce de la ley de pseudoenergía, resulta, mediante integración:

${\displaystyle x(\phi )={\sqrt {\frac {30}{b{\sqrt {\psi }}}}}\tanh ^{-1}\left({\sqrt {1-{\sqrt {\frac {\phi }{\psi }}}}}\right).}$

Esta es la función inversa de${\displaystyle \phi (x)}$como se indica en la primera ecuación. Nótese que la integral en el denominador de${\displaystyle x(\phi )}$Existe y puede expresarse mediante funciones matemáticas conocidas. Por lo tanto,${\displaystyle \phi (x)}$es una función matemáticamente revelada. Sin embargo, la estructura a menudo permanece matemáticamente no revelada, es decir, no puede expresarse mediante funciones conocidas (véase, por ejemplo, la ecuación de Schamel logarítmica de la sección). Esto suele ocurrir si intervienen varios escenarios de atrapamiento, como por ejemplo en la turbulencia de plasma intermitente impulsada. ^{[ 8 ]}

A diferencia de la ecuación de KdV, la ecuación de Schamel es un ejemplo de ecuación de evolución no integrable. Solo tiene un número finito de constantes de movimiento (polinomiales) ^{[ 9 ]} y no supera la prueba de Painlevé. ^{[ 4 ] [ 10 ]} Dado que no existe un par de Lax ( L , P ), ^{[ 11 ]} no es integrable mediante la transformada de dispersión inversa. ^{[ 12 ]}