Base de Schauder

En matemáticas , una base de Schauder o base numerable es similar a la base usual ( de Hamel ) de un espacio vectorial ; la diferencia radica en que las bases de Hamel utilizan combinaciones lineales que son sumas finitas, mientras que para las bases de Schauder pueden ser sumas infinitas. Esto hace que las bases de Schauder sean más adecuadas para el análisis de espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita, incluidos los espacios de Banach .

Las bases de Schauder fueron descritas por Juliusz Schauder en 1927, ^{[ 1 ] [ 2 ]} aunque ya se habían discutido con anterioridad. Por ejemplo, la base de Haar se presentó en 1909, y Georg Faber discutió en 1910 una base para funciones continuas en un intervalo , a veces llamado sistema de Faber-Schauder . ^{[ 3 ]}

Sea V un espacio vectorial topológico sobre el cuerpo F. Una base de Schauder es una sucesión { b _n } de elementos de V tal que para cada elemento v ∈ V existe una sucesión única {α _n } de escalares en F tal que   $${\displaystyle v=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha _{n}b_{n}}{\text{.}}}$$ La convergencia de la suma infinita es implícitamente la de la topología ambiental, es decir ,$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}=v{\text{,}}}$$pero puede reducirse a una convergencia débil únicamente en un espacio vectorial normado (como un espacio de Banach ). ^{[ 4 ]} A diferencia de una base de Hamel , los elementos de la base deben estar ordenados, ya que la serie puede no converger incondicionalmente .

Cabe señalar que algunos autores definen las bases de Schauder como numerables (como se indicó anteriormente), mientras que otros utilizan el término para incluir bases no numerables. En cualquier caso, las sumas en sí mismas siempre son numerables. Una base de Schauder no numerable es un conjunto ordenado linealmente, no una sucesión, y cada suma hereda el orden de sus términos de este ordenamiento lineal. Estas bases pueden surgir en la práctica. Por ejemplo, un espacio de Hilbert separable solo puede tener una base de Schauder numerable, pero un espacio de Hilbert no separable puede tener una no numerable.

Si bien la definición anterior técnicamente no requiere un espacio normado, una norma es necesaria para poder afirmar prácticamente cualquier cosa útil sobre las bases de Schauder. Los resultados que se presentan a continuación presuponen la existencia de una norma.

Se dice que una base de Schauder { b _n } _{n ≥ 0} está normalizada cuando todos los vectores de la base tienen norma  1 en el espacio de Banach V . 

Una secuencia { x _n } _{n ≥ 0} en V es una secuencia básica si es una base de Schauder de su espacio lineal cerrado .

Se dice que dos bases de Schauder, { b _n } en V y { c _n } en W , son equivalentes si existen dos constantes c > 0 y C tales que para cada número natural N ≥ 0 y todas las secuencias {α _n } de escalares,

${\displaystyle c\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}\leq \left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}c_{k}\right\|_{W}\leq C\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}.}$

Una familia de vectores en V es total si su espacio vectorial generado (el conjunto de combinaciones lineales finitas) es denso en V. Si V es un espacio de Hilbert , una base ortogonal es un subconjunto total B de V tal que los elementos de B son distintos de cero y ortogonales entre sí. Además, cuando cada elemento de B tiene norma 1, entonces B es una base ortonormal de V. 

Sea { b _n } una base de Schauder de un espacio de Banach V sobre F  = R o C . Es una consecuencia sutil del teorema de la aplicación abierta que las aplicaciones lineales { P _n } definidas por 

${\displaystyle v=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}b_{k}\ \ {\overset {\textstyle P_{n}}{\longrightarrow }}\ \ P_{n}(v)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}$

están uniformemente acotadas por alguna constante C. ^{[ 5} ] Cuando C = 1 , la base se llama base monótona . Las aplicaciones { P _n } son las proyecciones de la ^base .

Sea { b* _n } el funcional de coordenadas , donde b* _n asigna a cada vector v en V la coordenada α _n de v en la expansión anterior. Cada b* _n es un funcional lineal acotado en V. En efecto, para cada vector v en V ,

${\displaystyle |b_{n}^{*}(v)|\;\|b_{n}\|_{V}=|\alpha _{n}|\;\|b_{n}\|_{V}=\|\alpha _{n}b_{n}\|_{V}=\|P_{n}(v)-P_{n-1}(v)\|_{V}\leq 2C\|v\|_{V}.}$

Estos funcionales { b* _n } se denominan funcionales biorthogonales asociados a la base { b _n }. Cuando la base { b _n } está normalizada, los funcionales de coordenadas { b* _n } tienen norma ≤ 2 C en el dual continuo V ′ de V . 

Dado que cada vector v en un espacio de Banach V con una base de Schauder es el límite de P _n ( v ), con P _n de rango finito y uniformemente acotado, dicho espacio V satisface la propiedad de aproximación acotada .

Un espacio de Banach con una base de Schauder es necesariamente separable , pero lo contrario es falso. El problema de la base es la pregunta que se planteó Banach: si todo espacio de Banach separable tiene una base de Schauder. Per Enflo respondió negativamente a esta pregunta al construir un espacio de Banach reflexivo y separable que no cumple la propiedad de aproximación, por lo que es un espacio sin base de Schauder. ^{[ 6 ]} La construcción se ha simplificado y generalizado a lo largo de los años. Véase Fabian et al. (2011 , Sec. 16.5) para una presentación moderna.

Un teorema atribuido a Mazur ^{[ 7 ]} afirma que todo espacio de Banach de dimensión infinita V contiene una secuencia básica, es decir , existe un subespacio de dimensión infinita de V que tiene una base de Schauder.

Las bases vectoriales unitarias estándar de c ₀ , y de ℓ ^p para 1  ≤ p  < ∞, son bases de Schauder monótonas. En esta base vectorial unitaria { b _n }, el vector b _n en V = c ₀ o en V = ℓ ^p es la secuencia escalar [ b _{n , j} ] _j donde todas las coordenadas b _{n, j} son 0, excepto la n -ésima coordenada:

${\displaystyle b_{n}=\{b_{n,j}\}_{j=0}^{\infty }\in V,\ \ b_{n,j}=\delta _{n,j},}$

donde δ _{n, j} es la delta de Kronecker . El espacio ℓ ^∞ no es separable y, por lo tanto, no tiene base de Schauder.

Toda base ortonormal en un espacio de Hilbert separable es una base de Schauder. Toda base ortonormal numerable es equivalente a la base vectorial unitaria estándar en ℓ ² .

Cada base de Auerbach en un espacio de Banach separable es una base de Schauder.

El sistema de Haar es un ejemplo de base para L ^p ([0,  1]) , cuando 1  ≤ p  < ∞. ^{[ 2 ]} Cuando 1 < p < ∞   , otro ejemplo es el sistema trigonométrico definido a continuación. El espacio de Banach C ([0,  1]) de funciones continuas en el intervalo [0,  1], con la norma del supremo , admite una base de Schauder. El sistema de Faber - Schauder es la base de Schauder monótona más utilizada para C ([0, 1]). ^{[ 3 ] [ 8 ]}  

Se descubrieron varias bases para espacios clásicos antes de la publicación del libro de Banach ( Banach (1932) ), pero algunos otros casos permanecieron abiertos durante mucho tiempo. Por ejemplo, la cuestión de si el álgebra de discos A ( D ) tiene una base de Schauder permaneció abierta durante más de cuarenta años, hasta que Bočkarev demostró en 1974 que existe una base construida a partir del sistema de Franklin en A ( D ). ^{[ 9 ]} También se puede demostrar que el sistema periódico de Franklin ^{[ 10 ]} es una base para un espacio de Banach A _r isomorfo a A ( D ). ^{[ 11 ]} 

Este espacio A _r consta de todas las funciones continuas complejas en el círculo unitario T cuya función conjugada también es continua. El sistema de Franklin es otra base de Schauder para C ([0,  1]), ^{[ 12 ]} y es una base de Schauder en L ^p ([0,  1]) cuando 1 ≤ p < ∞ . ^{[ 13 ]} Los sistemas derivados del sistema de Franklin dan bases en el espacio C ¹ ([0,  1] ² ) de funciones diferenciables en el cuadrado unitario . ^{[ 14 ]} La existencia de una base de Schauder en C ¹ ([0,  1] ² ) fue una cuestión del libro de Banach. ^{[ 15 ]}

Una base de Schauder { b _n } es incondicional si siempre que la serie${\displaystyle \sum \alpha _{n}b_{n}}$converge, converge incondicionalmente . Para una base de Schauder { b _n }, esto es equivalente a la existencia de una constante C tal que

${\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}}$

para todos los números naturales n , todos los coeficientes escalares {α _k } y todos los signos ε _k = ±1 . La incondicionalidad es una propiedad importante ya que permite olvidar el orden de la suma. Una base de Schauder es simétrica si es incondicional y uniformemente equivalente a todas sus permutaciones : existe una constante C tal que para cada número natural n , cada permutación π del conjunto {0, 1, ..., n }, todos los coeficientes escalares {α _k } y todos los signos  {ε _k },

${\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{\pi (k)}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}.}$

Las bases estándar de los espacios de sucesiones c ₀ y ℓ ^p para 1  ≤ p  < ∞, así como toda base ortonormal en un espacio de Hilbert, son incondicionales. Estas bases también son simétricas.

El sistema trigonométrico no es una base incondicional en L ^p , excepto para p  =  2.

El sistema de Haar es una base incondicional en L ^p para cualquier 1  < p  < ∞. El espacio L ¹ ([0,  1]) no tiene una base incondicional. ^{[ 20 ]}

Una pregunta natural es si todo espacio de Banach de dimensión infinita tiene un subespacio de dimensión infinita con una base incondicional. Timothy Gowers y Bernard Maurey lo resolvieron negativamente en 1992. ^{[ 21 ]}

Una base { e _n } _{n ≥0} de un espacio de Banach X es acotadamente completa si para cada secuencia { a _n } _{n ≥0} de escalares tales que las sumas parciales

${\displaystyle V_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}e_{k}}$

están acotados en X , la sucesión { V _n } converge en X. La base de vectores unitarios para ℓ ^p , 1 ≤ p < ∞ , es acotadamente completa. Sin embargo, la base de vectores unitarios no es acotadamente completa en c ₀ . En efecto, si a _n  =  1 para cada n , entonces

${\displaystyle \|V_{n}\|_{c_{0}}=\max _{0\leq k\leq n}|a_{k}|=1}$

para cada n , pero la sucesión { V _n } no es convergente en c ₀ , ya que || V _{n +1} − V _n || = 1 para cada n . 

Un espacio X con una base acotadamente completa { e _n } _{n ≥0} es isomorfo a un espacio dual, es decir, el espacio X es isomorfo al dual del espacio lineal cerrado en el dual X ′ de los funcionales biorthogonales asociados a la base { e _n }. ^{[ 22 ]}

Una base { e _n } _{n ≥0} de X es contraíble si para cada funcional lineal acotado f en X , la secuencia de números no negativos

${\displaystyle \varphi _{n}=\sup\{|f(x)|:x\in F_{n},\;\|x\|\leq 1\}}$

tiende a 0 cuando n → ∞ , donde F _n es el espacio vectorial generado por los vectores base e _m para m ≥ n . La base vectorial unitaria para ℓ ^p , 1  < p < ∞, o para c ₀ , se está contrayendo. No se está contrayendo en ℓ ¹ : si f es el funcional lineal acotado en ℓ ¹ dado por

${\displaystyle f:x=\{x_{n}\}\in \ell ^{1}\ \rightarrow \ \sum _{n=0}^{\infty }x_{n},}$

entonces φ _n ≥ f ( e _n ) = 1 para cada n .

Una base [ e _n ] _{n ≥ 0} de X es contraíble si y solo si los funcionales biorthogonales [ e * _n ] _{n ≥ 0} forman una base del dual X ′ . ^{[ 23 ]}

Robert C. James caracterizó la reflexividad en espacios de Banach con base: el espacio X con una base de Schauder es reflexivo si y solo si la base es tanto contractiva como acotadamente completa. ^{[ 24 ]} James también demostró que un espacio con una base incondicional no es reflexivo si y solo si contiene un subespacio isomorfo a c ₀ o ℓ ¹ . ^{[ 25 ]}

Una base de Hamel es un subconjunto B de un espacio vectorial V tal que cada elemento v ∈ V puede escribirse de forma única como

${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\alpha _{b}b}$

con α _b ∈ F , con la condición adicional de que el conjunto

${\displaystyle \{b\in B\mid \alpha _{b}\neq 0\}}$

es finito. Esta propiedad hace que la base de Hamel sea difícil de manejar para espacios de Banach de dimensión infinita; ya que una base de Hamel para un espacio de Banach de dimensión infinita debe ser no numerable . (Todo subespacio de dimensión finita de un espacio de Banach de dimensión infinita X tiene interior vacío y no es denso en ningún punto de X. Por lo tanto, del teorema de la categoría de Baire se deduce que una unión numerable de bases de estos subespacios de dimensión finita no puede servir como base. ^{[ 26 ]} )

• Base de Markushevich
• Series de Fourier generalizadas
• Polinomios ortogonales
• Ondícula de Haar
• Espacio Banach

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