Superficie mínima negra

En geometría diferencial , las superficies mínimas de Schwarz son superficies mínimas periódicas descritas originalmente por Hermann Schwarz .

En la década de 1880, Schwarz y su estudiante E.  R.  Neovius describieron superficies mínimas periódicas. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Posteriormente , Alan Schoen les dio nombre en su informe fundamental que describía el giroide y otras superficies mínimas triplemente periódicas. ^{[ 3 ]}

Las superficies se generaron utilizando argumentos de simetría: dada una solución al problema de Plateau para un polígono, las reflexiones de la superficie a través de las líneas límite también producen superficies mínimas válidas que pueden unirse de forma continua a la solución original. Si una superficie mínima interseca un plano en ángulo recto, entonces su imagen especular en el plano también puede unirse a la superficie. Por lo tanto, dado un polígono inicial adecuado inscrito en una celda unitaria, se pueden construir superficies periódicas. ^{[ 4 ]}

Las superficies de Schwarz tienen género topológico 3, el género mínimo de superficies mínimas triplemente periódicas. ^{[ 5 ]}

Se han considerado como modelos para nanoestructuras periódicas en copolímeros de bloque , superficies equipotenciales electrostáticas en cristales, ^{[ 6 ]} e hipotéticas fases de grafito con curvatura negativa. ^{[ 7 ]}

Schoen denominó a esta superficie «primitiva» porque posee dos laberintos congruentes entrelazados, cada uno con la forma de una versión tubular inflada de la red cúbica simple. Si bien la superficie P estándar tiene simetría cúbica, la celda unitaria puede ser cualquier caja rectangular, lo que produce una familia de superficies mínimas con la misma topología. ^{[ 8 ]}

Se puede aproximar mediante la superficie implícita.

${\displaystyle \cos(x)+\cos(y)+\cos(z)=0\ }$. ^{[ 9 ]}

La superficie P se ha considerado para la creación de prototipos de andamios tisulares con una alta relación superficie-volumen y porosidad. ^{[ 10 ]}

Schoen denominó a esta superficie «diamante» porque posee dos laberintos congruentes entrelazados, cada uno con la forma de una versión tubular inflada de la estructura de enlace del diamante . En la literatura, a veces se la conoce como superficie F.

Se puede aproximar mediante la superficie implícita.

${\displaystyle \cos(x)\cos(y)\cos(z)-\sin(x)\sin(y)\sin(z)=0\ }$.

Algunas fuentes dan la superficie implícita alternativa

${\displaystyle \sin(x)\sin(y)\sin(z)+\sin(x)\cos(y)\cos(z)+\cos(x)\sin(y)\cos(z)+\cos(x)\cos(y)\sin(z)=0}$

lo cual es equivalente, salvo una traslación en todas las coordenadas, por${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$.

Existe una expresión exacta en términos de integrales elípticas , basada en la representación de Weierstrass . ^{[ 11 ]}

La superficie H es similar a un catenoide con un límite triangular, lo que le permite cubrir el espacio.

• Universidad de Susquehanna - Superficies mínimas triplemente periódicas (Archivado)
• Universidad de Indiana - Superficies triplemente periódicas de género 3 (Archivado)
• Universidad Ruprecht-Karls de Heidelberg - Fases cúbicas bicontinuas basadas en superficies mínimas triplemente periódicas
• Université libre de Bruxelles - La superficie de Schwartz (Archivado)
• Museo Virtual de Matemáticas - Galería de Superficies Minimalistas 3DXM

• Giroide
• Lidinoid
• Superficie mínima triplemente periódica