Parametrización de Weierstrass-Enneper

En matemáticas , la parametrización de Weierstrass-Enneper de superficies mínimas es un ejemplo clásico de geometría diferencial .

Alfred Enneper y Karl Weierstrass estudiaron las superficies mínimas ya en 1863.

Dejar${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$sean funciones en todo el plano complejo o en el disco unitario , donde${\displaystyle g}$es meromorfo y${\displaystyle f}$es analítico , de tal manera que dondequiera${\displaystyle g}$tiene un polo de orden${\displaystyle m}$,${\displaystyle f}$tiene un orden cero${\displaystyle 2m}$(o equivalentemente, de tal manera que el producto${\displaystyle fg^{2}}$es holomorfo ), y dejemos${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$sean constantes. Entonces la superficie con coordenadas${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$es mínimo, donde el${\displaystyle x_{k}}$se definen utilizando la parte real de una integral compleja, como sigue: $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\mathrm {Re} \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=si(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}}$$

Lo contrario también es cierto: a toda superficie mínima no planar definida sobre un dominio simplemente conexo se le puede dar una parametrización de este tipo. ^{[ 1 ]}

Por ejemplo, la superficie de Enneper tiene f ( z ) = 1 , g ( z ) = z ^m .

El modelo de Weierstrass-Enneper define una superficie mínima${\displaystyle X}$(${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) en un plano complejo (${\displaystyle \mathbb {C} }$). Dejar${\displaystyle \omega =u+vi}$(el plano complejo como el${\displaystyle uv}$espacio), la matriz jacobiana de la superficie se puede escribir como una columna de entradas complejas: $${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}}$$ dónde${\displaystyle f(\omega )}$y${\displaystyle g(\omega )}$son funciones holomorfas de${\displaystyle \omega }$.

El jacobino${\displaystyle \mathbf {J} }$representa los dos vectores tangentes ortogonales de la superficie: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Estoy} \mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Estoy} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Estoy} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}}$$

La normal de la superficie viene dada por $${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} }{|\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g\\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}}$$

El jacobino${\displaystyle \mathbf {J} }$Esto da lugar a una serie de propiedades importantes:${\displaystyle \mathbf {X_ {u}} \cdot \mathbf {X_ {v}} =0}$,${\displaystyle \mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})}$,${\displaystyle \mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Estoy} (\mathbf {J} ^{2})}$,${\displaystyle \mathbf {X_ {uu}} +\mathbf {X_ {vv}} =0}$Las demostraciones se pueden encontrar en el ensayo de Sharma: La representación de Weierstrass siempre da una superficie mínima. ^{[ 3 ]} Las derivadas se pueden usar para construir la primera matriz de forma fundamental : $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$

y la segunda matriz de forma fundamental$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \\\mathbf {X_{vu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{vv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \end{bmatrix}}}$$

Finalmente, un punto${\displaystyle \omega _{t}}$en el plano complejo se mapea a un punto${\displaystyle \mathbf {X} }$en la superficie mínima en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$por $${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}}$$ dónde${\displaystyle \omega _{0}=0}$para todas las superficies mínimas a lo largo de este documento, excepto la superficie mínima de Costa donde${\displaystyle \omega _{0}=(1+i)/2}$.

Los ejemplos clásicos de superficies mínimas completas incrustadas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Las superficies con topología finita incluyen el plano, el catenoide , el helicoide y la superficie mínima de Costa . La superficie de Costa involucra la función elíptica de Weierstrass.${\displaystyle \wp }$: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}}$$$${\displaystyle f(\omega )=\wp (\omega )}$$ dónde${\displaystyle A}$es una constante. ^{[ 5 ]}

Helicatenoide

Elegir las funciones${\displaystyle f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}}$y${\displaystyle g(\omega )=e^{-\omega /A}}$Se obtiene una familia de superficies mínimas con un parámetro.

$${\displaystyle \varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}$$$${\displaystyle \varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}$$$${\displaystyle \varphi _{3}=e^{-i\alpha }}$$$${\displaystyle \mathbf {X} (\omega )=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix}}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}}$$

Elegir los parámetros de la superficie como${\displaystyle \omega =s+i(A\phi )}$: $${\displaystyle \mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}}$$

En los extremos, la superficie es un catenoide.${\displaystyle (\alpha =0)}$o un helicoide${\displaystyle (\alpha =\pi /2)}$. De lo contrario,${\displaystyle \alpha }$representa un ángulo de mezcla. La superficie resultante, con dominio elegido para evitar la autointersección, es una catenaria rotada alrededor del${\displaystyle \mathbf {X} _{3}}$eje de forma helicoidal.

Se puede reescribir cada elemento de la segunda matriz fundamental como una función de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$, Por ejemplo ${\textstyle \mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatorname {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right)\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\right)\\\operatorname {Re} \left(-2gi\right)\\\operatorname {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatorname {Re} (fg')}$

Y, en consecuencia, la segunda matriz de forma fundamental se puede simplificar como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg'\end{bmatrix}}}$$

Uno de sus autovectores es$${\displaystyle {\overline {\sqrt {fg'}}}}$$que representa la dirección principal en el dominio complejo. ^{[ 6 ]} Por lo tanto, las dos direcciones principales en el${\displaystyle uv}$El espacio resulta ser $${\displaystyle \phi =-{\frac {1}{2}}\operatorname {Arg} (fg')\pm k\pi /2}$$

• Familia asociada
• Superficie de Bryant , hallada mediante una parametrización análoga en el espacio hiperbólico.