Sección (haz de fibras)

En el campo matemático de la topología , una sección (o sección transversal ) ^{[ 1 ]} de un haz de fibras${\displaystyle E}$es una inversa derecha continua de la función de proyección${\displaystyle \pi }$. En otras palabras, si${\displaystyle E}$ es un haz de fibras sobre un espacio base ,${\displaystyle B}$:

${\displaystyle \pi \colon E\to B}$

entonces una sección de ese haz de fibras es un mapa continuo ,

${\displaystyle \sigma \colon B\to E}$

de tal manera que

${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$a pesar de${\displaystyle x\in B}$.

Una sección es una caracterización abstracta de lo que significa ser un gráfico . El gráfico de una función${\displaystyle g\colon B\to Y}$puede identificarse con una función que toma sus valores en el producto cartesiano${\displaystyle E=B\times Y}$, de${\displaystyle B}$y${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle \sigma \colon B\to E,\quad \sigma (x)=(x,g(x))\in E.}$

Dejar${\displaystyle \pi \colon E\to B}$sea ​​la proyección sobre el primer factor:${\displaystyle \pi (x,y)=x}$Entonces, un gráfico es cualquier función${\displaystyle \sigma }$para qué${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$.

El lenguaje de los haces de fibras permite generalizar esta noción de sección al caso en que${\displaystyle E}$no es necesariamente un producto cartesiano. Si${\displaystyle \pi \colon E\to B}$es un haz de fibras, entonces una sección es una elección de punto${\displaystyle \sigma (x)}$en cada una de las fibras. La condición${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$simplemente significa que la sección en un punto${\displaystyle x}$ debe yacer sobre${\displaystyle x}$(Ver imagen.)

Por ejemplo, cuando${\displaystyle E}$es un haz vectorial una sección de${\displaystyle E}$es un elemento del espacio vectorial${\displaystyle E_{x}}$acostado sobre cada punto${\displaystyle x\in B}$. En particular, un campo vectorial en una variedad diferenciable${\displaystyle M}$es una elección de vector tangente en cada punto de${\displaystyle M}$: esta es una sección del fibrado tangente de${\displaystyle M}$. Asimismo, una 1-forma en${\displaystyle M}$es una sección del fibrado cotangente .

Las secciones, en particular de los haces principales y los haces vectoriales, son también herramientas muy importantes en geometría diferencial . En este contexto, el espacio base${\displaystyle B}$es un colector liso${\displaystyle M}$, y${\displaystyle E}$se supone que es un haz de fibras liso sobre${\displaystyle M}$(es decir,${\displaystyle E}$es un colector liso y${\displaystyle \pi \colon E\to M}$es un mapa suave ). En este caso, se considera el espacio de secciones suaves de${\displaystyle E}$sobre un conjunto abierto${\displaystyle U}$, denotado${\displaystyle C^{\infty }(U,E)}$. También es útil en el análisis geométrico considerar espacios de secciones con regularidad intermedia (por ejemplo,${\displaystyle C^{k}}$secciones, o secciones con regularidad en el sentido de las condiciones de Hölder o los espacios de Sobolev ).

Los haces de fibra generalmente no tienen tales secciones globales (considere, por ejemplo, el haz de fibra sobre${\displaystyle S^{1}}$con fibra${\displaystyle F=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$obtenido al tomar el fibrado de Möbius y eliminar la sección cero), por lo que también es útil definir secciones solo localmente. Una sección local de un fibrado es una aplicación continua.${\displaystyle s\colon U\to E}$dónde${\displaystyle U}$es un conjunto abierto en${\displaystyle B}$y${\displaystyle \pi (s(x))=x}$a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle U}$. Si${\displaystyle (U,\varphi )}$es una trivialización local de${\displaystyle E}$, dónde${\displaystyle \varphi }$es un homeomorfismo de${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$a${\displaystyle U\times F}$(dónde${\displaystyle F}$es la fibra ), entonces siempre existen secciones locales sobre${\displaystyle U}$en correspondencia biyectiva con aplicaciones continuas de${\displaystyle U}$a${\displaystyle F}$. Las secciones (locales) forman un haz sobre${\displaystyle B}$llamado el haz de secciones de${\displaystyle E}$.

El espacio de secciones continuas de un haz de fibras${\displaystyle E}$encima${\displaystyle U}$a veces se denota${\displaystyle C(U,E)}$, mientras que el espacio de secciones globales de${\displaystyle E}$a menudo se denota${\displaystyle \Gamma (E)}$o${\displaystyle \Gamma (B,E)}$.

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• Teoría de gauge (matemáticas)
• Paquete principal
• Paquete de retroceso
• Paquete vectorial

• Norman Steenrod , La topología de los haces de fibras , Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
• David Bleecker, Teoría de gauge y principios variacionales , Addison-Wesley Publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7.
• Husemöller, Dale (1994), Paquetes de fibras , Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1

• Paquete de fibra , PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "Fiber Bundle" . MathWorld .