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Mapa autoorganizado

Un mapa autoorganizado que muestra los patrones de votación del Congreso de los Estados Unidos . Los datos de entrada fueron una tabla con una fila para cada miembro del Congres...

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Un mapa autoorganizado que muestra los patrones de votación del Congreso de los Estados Unidos . Los datos de entrada fueron una tabla con una fila para cada miembro del Congreso y columnas para ciertas votaciones que contienen el voto de cada miembro (sí/no/abstención). El algoritmo SOM organizó a estos miembros en una cuadrícula bidimensional colocando a los miembros similares más cerca entre sí. El primer gráfico muestra la agrupación cuando los datos se dividen en dos clústeres. El segundo gráfico muestra la distancia promedio a los vecinos: las distancias mayores se muestran más oscuras. El tercer gráfico predice la afiliación al partido Republicano (rojo) o Demócrata (azul). Los demás gráficos superponen cada uno al mapa resultante con valores predichos en una dimensión de entrada: rojo significa un voto predicho de "sí" a ese proyecto de ley, azul significa un voto de "no". El gráfico se creó en Synapse .

Un mapa autoorganizado ( SOM ) o mapa de características autoorganizado ( SOFM ) es una técnica de aprendizaje automático no supervisado que se utiliza para producir una representación de baja dimensión (típicamente bidimensional) de un conjunto de datos de mayor dimensión, preservando al mismo tiempo la estructura topológica de los datos. Por ejemplo, un conjunto de datos conpag{\displaystyle p}variables medidas ennorte{\displaystyle n}Las observaciones podrían representarse como grupos con valores similares para las variables. Estos grupos podrían visualizarse como un "mapa" bidimensional, de modo que las observaciones en grupos cercanos presenten valores más similares que las de grupos alejados. Esto facilita la visualización y el análisis de datos de alta dimensionalidad.

Un SOM es un tipo de red neuronal artificial , pero se entrena utilizando aprendizaje competitivo en lugar del aprendizaje de corrección de errores (por ejemplo, retropropagación con descenso de gradiente ) utilizado por otras redes neuronales artificiales. El SOM fue introducido por el profesor finlandés Teuvo Kohonen en la década de 1980 y, por lo tanto, a veces se le llama mapa de Kohonen o red de Kohonen . [ 1 ] [ 2 ] El mapa o red de Kohonen es una abstracción computacionalmente conveniente que se basa en modelos biológicos de sistemas neuronales de la década de 1970 [ 3 ] y modelos de morfogénesis que se remontan a Alan Turing en la década de 1950. [ 4 ] Los SOM crean representaciones internas que recuerdan al homúnculo cortical , una representación distorsionada del cuerpo humano , basada en un "mapa" neurológico de las áreas y proporciones del cerebro humano dedicadas al procesamiento de funciones sensoriales , para diferentes partes del cuerpo.

Descripción general

Los mapas autoorganizados, al igual que la mayoría de las redes neuronales artificiales, operan en dos modos: entrenamiento y mapeo. Primero, el entrenamiento utiliza un conjunto de datos de entrada (el "espacio de entrada") para generar una representación de menor dimensión de dichos datos (el "espacio de mapeo"). Segundo, el mapeo clasifica datos de entrada adicionales utilizando el mapa generado.

El objetivo del entrenamiento es representar un espacio de entrada con p dimensiones como un espacio de mapa con n dimensiones, donde p > n. Específicamente, se dice que un espacio de entrada con p variables tiene p dimensiones. Un espacio de mapa consta de componentes llamados "nodos" o "neuronas", que se organizan como una cuadrícula hexagonal o rectangular de dos dimensiones. [ 5 ] El número de nodos y su disposición se especifican de antemano en función de los objetivos generales del análisis y la exploración de los datos .

Cada nodo en el espacio del mapa está asociado a un vector de "peso", que representa su posición en el espacio de entrada. Si bien los nodos en el espacio del mapa permanecen fijos, el entrenamiento consiste en desplazar los vectores de peso hacia los datos de entrada (reduciendo una métrica de distancia como la distancia euclidiana ) sin alterar la topología generada por el espacio del mapa. Tras el entrenamiento, el mapa puede utilizarse para clasificar observaciones adicionales en el espacio de entrada, buscando el nodo con el vector de peso más cercano (la métrica de distancia más pequeña) al vector del espacio de entrada.

Algoritmo de aprendizaje

El objetivo del aprendizaje en el mapa autoorganizado es lograr que diferentes partes de la red respondan de manera similar a ciertos patrones de entrada. Esto se debe en parte a cómo se procesa la información visual, auditiva u otra información sensorial en distintas partes de la corteza cerebral humana . [ 6 ]

Ilustración del entrenamiento de un mapa autoorganizado. La mancha azul representa la distribución de los datos de entrenamiento, y el pequeño disco blanco es el dato de entrenamiento actual extraído de dicha distribución. Inicialmente (izquierda), los nodos del SOM se posicionan arbitrariamente en el espacio de datos. Se selecciona el nodo (resaltado en amarillo) más cercano al dato de entrenamiento y se mueve hacia él, al igual que (en menor medida) sus vecinos en la cuadrícula. Tras varias iteraciones, la cuadrícula tiende a aproximarse a la distribución de datos (derecha).

Los pesos de las neuronas se inicializan con valores aleatorios pequeños o se muestrean uniformemente del subespacio generado por los dos vectores propios de componentes principales más grandes . Con esta última alternativa, el aprendizaje es mucho más rápido porque los pesos iniciales ya proporcionan una buena aproximación de los pesos de la SOM. [ 7 ]

La red debe ser alimentada con una gran cantidad de vectores de ejemplo que representen, de la forma más precisa posible, los tipos de vectores esperados durante el mapeo. Los ejemplos generalmente se administran varias veces en iteraciones.

El entrenamiento utiliza aprendizaje competitivo . Cuando se introduce un ejemplo de entrenamiento en la red, se calcula su distancia euclidiana a todos los vectores de peso. La neurona cuyo vector de peso es más similar a la entrada se denomina unidad de mejor coincidencia (BMU). Los pesos de la BMU y de las neuronas cercanas a ella en la cuadrícula SOM se ajustan hacia el vector de entrada. La magnitud del cambio disminuye con el tiempo y con la distancia de la cuadrícula a la BMU. La fórmula de actualización para una neurona v con vector de peso W v (s) es:

Wv(s+1)=Wv(s)+θ(tú,v,s)⋅α(s)⋅(D(t)−Wv(s)){\displaystyle W_{v}(s+1)=W_{v}(s)+\theta (u,v,s)\cdot \alpha (s)\cdot (D(t)-W_{v}(s))},

donde s es el índice del paso, t es un índice en la muestra de entrenamiento, u es el índice de la BMU para el vector de entrada D ( t ), α ( s ) es un coeficiente de aprendizaje monótonamente decreciente ; θ ( u , v , s ) es la función de vecindad que da la distancia entre la neurona u y la neurona v en el paso s . [ 8 ] Dependiendo de las implementaciones, t puede escanear el conjunto de datos de entrenamiento sistemáticamente ( t es 0, 1, 2... T -1, luego repetir, siendo T el tamaño de la muestra de entrenamiento), ser extraído aleatoriamente del conjunto de datos ( muestreo bootstrap ), o implementar algún otro método de muestreo (como jackknifing ).

La función de vecindad θ ( u , v , s ) (también llamada función de interacción lateral ) depende de la distancia de la cuadrícula entre la BMU (neurona u ) y la neurona v . En su forma más simple, es 1 para todas las neuronas lo suficientemente cerca de la BMU y 0 para las demás, pero las funciones Gaussiana y Sombrero Mexicano [ 9 ] también son opciones comunes. Independientemente de la forma funcional, la función de vecindad se reduce con el tiempo. [ 6 ] Al principio, cuando la vecindad es amplia, la autoorganización tiene lugar a escala global. Cuando la vecindad se ha reducido a solo un par de neuronas, los pesos convergen a estimaciones locales. En algunas implementaciones, el coeficiente de aprendizaje α y la función de vecindad θ disminuyen de forma constante con el aumento de s , en otras (en particular aquellas donde t escanea el conjunto de datos de entrenamiento) disminuyen de forma escalonada, una vez cada T pasos.

Proceso de entrenamiento de SOM en un conjunto de datos bidimensional

Este proceso se repite para cada vector de entrada durante un número (generalmente grande) de ciclos λ . La red termina asociando los nodos de salida con grupos o patrones en el conjunto de datos de entrada. Si estos patrones pueden nombrarse, los nombres se pueden asignar a los nodos asociados en la red entrenada.

Durante el proceso de mapeo, habrá una única neurona ganadora : aquella cuyo vector de pesos se encuentre más cerca del vector de entrada. Esto se puede determinar simplemente calculando la distancia euclidiana entre el vector de entrada y el vector de pesos.

Si bien en este artículo se ha hecho hincapié en la representación de los datos de entrada como vectores, cualquier tipo de objeto que pueda representarse digitalmente, que tenga una medida de distancia adecuada asociada y en el que sean posibles las operaciones necesarias para el entrenamiento, puede utilizarse para construir un mapa autoorganizado. Esto incluye matrices, funciones continuas e incluso otros mapas autoorganizados.

Algoritmo

  1. Aleatorizar los vectores de peso de los nodos en un mapa
  2. Paras=0,1,2,...,λ{\displaystyle s=0,1,2,...,\lambda }
    1. Seleccione aleatoriamente un vector de entrada.D(t){\displaystyle {D}(t)}
    2. Encuentra el nodo en el mapa más cercano al vector de entrada. Este nodo es la unidad de mejor coincidencia (BMU). Denótalo portú{\displaystyle u}
    3. Para cada nodov{\displaystyle v}, actualiza su vector acercándolo al vector de entrada:Wv(s+1)=Wv(s)+θ(tú,v,s)⋅α(s)⋅(D(t)−Wv(s)){\displaystyle W_{v}(s+1)=W_{v}(s)+\theta (u,v,s)\cdot \alpha (s)\cdot (D(t)-W_{v}(s))}

Los nombres de las variables significan lo siguiente, con los vectores en negrita:

  • s{\displaystyle s}es la iteración actual
  • λ{\displaystyle \lambda }es el límite de iteración
  • t{\displaystyle t}es el índice del vector de datos de entrada objetivo en el conjunto de datos de entrada.D{\displaystyle \mathbf {D} }
  • D(t){\displaystyle {D}(t)}es un vector de datos de entrada objetivo
  • v{\displaystyle v}es el índice del nodo en el mapa
  • Wv{\displaystyle \mathbf {W} _ {v}}es el vector de peso actual del nodov{\displaystyle v}
  • tú{\displaystyle u}es el índice de la unidad de mejor coincidencia (BMU) en el mapa
  • θ(tú,v,s){\displaystyle \theta (u,v,s)}es la función de vecindario,
  • α(s){\displaystyle \alpha (s)}es el programa de tasa de aprendizaje.

Las decisiones clave de diseño son la forma del SOM, la función de vecindad y el esquema de tasa de aprendizaje. La función de vecindad busca que la BMU se actualice con mayor frecuencia, sus vecinos inmediatos con menor frecuencia, y así sucesivamente. El esquema de tasa de aprendizaje busca que las actualizaciones del mapa sean significativas al principio y disminuyan gradualmente.

Por ejemplo, si queremos aprender un SOM usando una cuadrícula cuadrada, podemos indexarlo usando(i,j){\displaystyle (i,j)}donde ambosi,j∈1:norte{\displaystyle i,j\in 1:N}La función de vecindario puede hacer que la BMU se actualice por completo, los vecinos más cercanos se actualicen a la mitad, y sus vecinos se actualicen a la mitad nuevamente, etc.θ((i,j),(i′,j′),s)=12|i−i′|+|j−j′|={1si i=i′,j=j′1/2si |i−i′|+|j−j′|=11/4si |i−i′|+|j−j′|=2⋯⋯{\displaystyle \theta ((i,j),(i',j'),s)={\frac {1}{2^{|ii'|+|jj'|}}}={\begin{cases}1&{\text{si }}i=i',j=j'\\1/2&{\text{si }}|ii'|+|jj'|=1\\1/4&{\text{si }}|ii'|+|jj'|=2\\\cdots &\cdots \end{cases}}}Y podemos utilizar un programa de tasa de aprendizaje lineal simple.α(s)=1−s/λ{\displaystyle \alpha (s)=1-s/\lambda }.

Nótese en particular que la tasa de actualización no depende de dónde se encuentre el punto en el espacio euclidiano, sino solo de dónde se encuentre en el propio SOM. Por ejemplo, los puntos(1,1),(1,2){\displaystyle (1,1),(1,2)}están cerca en el SOM, por lo que siempre se actualizarán de forma similar, incluso cuando estén muy separados en el espacio euclidiano. Por el contrario, incluso si los puntos(1,1),(1,100){\displaystyle (1,1),(1,100)}Aunque terminen superponiéndose (como si el SOM pareciera una toalla doblada), no se actualizan de forma similar.

Algoritmo alternativo

  1. Aleatorizar los vectores de peso de los nodos del mapa
  2. Recorra cada vector de entrada en el conjunto de datos de entrada.
    1. Recorre cada nodo del mapa.
      1. Utilice la fórmula de distancia euclidiana para encontrar la similitud entre el vector de entrada y el vector de pesos de los nodos del mapa.
      2. Rastrea el nodo que produce la distancia más pequeña (este nodo es la unidad de mejor coincidencia, BMU).
    2. Actualizar los nodos en la vecindad de la BMU (incluida la propia BMU) acercándolos al vector de entrada.
      1. Wv(s+1)=Wv(s)+θ(tú,v,s)⋅α(s)⋅(D(t)−Wv(s)){\displaystyle W_{v}(s+1)=W_{v}(s)+\theta (u,v,s)\cdot \alpha (s)\cdot (D(t)-W_{v}(s))}
  3. Aumentars{\displaystyle s}y repita desde el paso 2 mientrass<λ{\displaystyle s<\lambda }

Opciones de inicialización

La selección de pesos iniciales como buenas aproximaciones de los pesos finales es un problema bien conocido en todos los métodos iterativos de redes neuronales artificiales, incluidos los mapas autoorganizados. Kohonen propuso originalmente la inicialización aleatoria de pesos. [ 10 ] (Este enfoque se refleja en los algoritmos descritos anteriormente). Más recientemente, la inicialización de componentes principales, en la que los pesos iniciales del mapa se eligen del espacio de los primeros componentes principales, se ha popularizado debido a la reproducibilidad exacta de los resultados. [ 11 ]

Representación cartográfica de un mapa autoorganizado ( matriz U ) basado en datos de artículos destacados de Wikipedia (frecuencia de palabras). La distancia es inversamente proporcional a la similitud. Las "montañas" representan las aristas entre los grupos. Las líneas rojas indican los enlaces entre los artículos.

Sin embargo, una comparación minuciosa entre la inicialización aleatoria y la inicialización por componentes principales para un mapa unidimensional reveló que las ventajas de la inicialización por componentes principales no son universales. El mejor método de inicialización depende de la geometría del conjunto de datos específico. La inicialización por componentes principales fue preferible (para un mapa unidimensional) cuando la curva principal que aproxima el conjunto de datos podía proyectarse de forma univalente y lineal sobre el primer componente principal (conjuntos cuasilineales). Para conjuntos de datos no lineales, sin embargo, la inicialización aleatoria tuvo un mejor desempeño. [ 12 ]

Interpretación

SOM unidimensional frente a análisis de componentes principales (PCA) para la aproximación de datos. SOM es una línea discontinua roja con cuadrados, 20 nodos. El primer componente principal se representa con una línea azul. Los puntos de datos son los pequeños círculos grises. Para PCA, la fracción de varianza no explicada en este ejemplo es del 23,23 %, mientras que para SOM es del 6,86 %. [ 13 ]

Existen dos maneras de interpretar un SOM. Dado que en la fase de entrenamiento los pesos de todo el vecindario se mueven en la misma dirección, los elementos similares tienden a excitar las neuronas adyacentes. Por lo tanto, el SOM forma un mapa semántico donde las muestras similares se ubican cerca unas de otras y las disímiles separadas. Esto puede visualizarse mediante una matriz U (distancia euclidiana entre los vectores de peso de las células vecinas) del SOM. [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]

Otra forma de entenderlo es considerar los pesos neuronales como indicadores del espacio de entrada. Estos forman una aproximación discreta de la distribución de las muestras de entrenamiento. Un mayor número de neuronas apunta a regiones con alta concentración de muestras de entrenamiento, y un menor número apunta a regiones donde las muestras son escasas.

SOM puede considerarse una generalización no lineal del análisis de componentes principales (PCA). [ 17 ] Se ha demostrado, utilizando datos geofísicos tanto artificiales como reales, que SOM tiene muchas ventajas [ 18 ] [ 19 ] sobre los métodos convencionales de extracción de características, como las funciones ortogonales empíricas (EOF) o PCA. Además, los investigadores descubrieron que el agrupamiento y PCA reflejan diferentes facetas del mismo circuito de retroalimentación local del cerebro humano, y que SOM proporciona las reglas de aprendizaje compartidas que guían ambos procesos. En otras palabras, el agrupamiento y PCA se sinergizan a través de SOM. [ 20 ]

Originalmente, SOM no se formuló como una solución a un problema de optimización. Sin embargo, ha habido varios intentos de modificar la definición de SOM y formular un problema de optimización que dé resultados similares. [ 21 ] Por ejemplo, los mapas elásticos usan la metáfora mecánica de la elasticidad para aproximar variedades principales : [ 22 ] la analogía es una membrana y una placa elásticas.

Ejemplos

Enfoques alternativos

  • El mapa topográfico generativo (GTM) es una alternativa potencial a los SOM. En el sentido de que un GTM requiere explícitamente un mapeo suave y continuo del espacio de entrada al espacio del mapa, preserva la topología. Sin embargo, en la práctica, esta medida de preservación topológica es insuficiente. [ 32 ]
  • El mapa autoorganizado creciente (GSOM) es una variante creciente del mapa autoorganizado. El GSOM se desarrolló para abordar el problema de identificar un tamaño de mapa adecuado en el SOM. Comienza con un número mínimo de nodos (generalmente cuatro) y agrega nuevos nodos en el límite según una heurística. Mediante un valor denominado factor de propagación , el analista de datos puede controlar el crecimiento del GSOM. [ 33 ]
  • El enfoque de mapeo conforme utiliza el mapeo conforme para interpolar cada muestra de entrenamiento entre los nodos de la cuadrícula en una superficie continua. En este enfoque es posible un mapeo suave uno a uno. [ 34 ] [ 35 ]
  • La red de mapas autoorganizados adaptativos en el tiempo (TASOM) es una extensión del SOM básico. El TASOM emplea tasas de aprendizaje adaptativas y funciones de vecindad. También incluye un parámetro de escala para que la red sea invariante a la escala, la traslación y la rotación del espacio de entrada. El TASOM y sus variantes se han utilizado en varias aplicaciones, incluyendo agrupamiento adaptativo, umbralización multinivel, aproximación del espacio de entrada y modelado de contornos activos. [ 36 ] Además, se ha propuesto un árbol binario TASOM o BTASOM, que se asemeja a un árbol binario natural con nodos compuestos por redes TASOM, donde el número de niveles y el número de nodos se adaptan a su entorno. [ 37 ]
  • El enfoque del mapa elástico toma prestada de la interpolación spline la idea de minimizar la energía elástica . En el aprendizaje, minimiza la suma de la energía cuadrática de flexión y estiramiento con el error de aproximación de mínimos cuadrados . [ 38 ]
  • El mapa orientado y escalable (OS-Map) generaliza la función de vecindad y la selección del ganador. [ 39 ] La función de vecindad gaussiana homogénea se reemplaza por la exponencial matricial. Por lo tanto, se puede especificar la orientación ya sea en el espacio del mapa o en el espacio de datos. SOM tiene una escala fija (=1), de modo que los mapas "describen de forma óptima el dominio de observación". Pero ¿qué sucede con un mapa que cubre el dominio dos veces o en n pliegues? Esto implica el concepto de escalado. El OS-Map considera la escala como una descripción estadística de cuántos nodos de mejor coincidencia tiene una entrada en el mapa.

Véase también

Lecturas adicionales

  • Kohonen, Teuvo (enero de 2013). " Fundamentos del mapa autoorganizado" . Redes neuronales . 37 : 52–65 . doi : 10.1016/j.neunet.2012.09.018 . PMID 23067803. S2CID 17289060 .  
  • Kohonen, Teuvo (2001). Mapas autoorganizados: con 22 tablas . Springer Series in Information Sciences (3.ª  ed.). Berlín Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-67921-9.
  • Kohonen, Teuvo (1988). «Autoorganización y memoria asociativa» . Springer Series in Information Sciences . 8. doi : 10.1007/978-3-662-00784-6 . ISBN 978-3-540-18314-3ISSN 0720-678X​​ 
  • Kaski, Samuel, Jari Kangas y Teuvo Kohonen. « Bibliografía de artículos sobre mapas autoorganizados (SOM): 1981–1997 ». Neural computing surveys 1.3&4 (1998): 1-176.
  • Oja, Merja, Samuel Kaski y Teuvo Kohonen. " Bibliografía de artículos sobre mapas autoorganizados (SOM): apéndice 1998-2001 ". Encuestas de computación neuronal 3.1 (2003): 1-156.

Referencias

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  2. ↑ Kohonen, Teuvo (1982). "Formación autoorganizada de mapas de características topológicamente correctos". Cibernética biológica . 43 (1): 59– 69. doi : 10.1007/bf00337288 . S2CID 206775459 . 
  3. ↑ Von der Malsburg, C (1973). "Autoorganización de células sensibles a la orientación en la corteza estriada". Kybernetik . 14 (2): 85– 100. doi : 10.1007/bf00288907 . PMID 4786750 . S2CID 3351573 .  
  4. ↑ Turing, Alan (1952). "La base química de la morfogénesis". Phil. Trans. R. Soc . 237 (641): 37– 72. Bibcode : 1952RSPTB.237...37T . doi : 10.1098/rstb.1952.0012 .
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  6. 1 2 Haykin, Simon (1999). "9. Mapas autoorganizados". Redes neuronales: una base integral (2.ª ed.). Prentice-Hall. ISBN  978-0-13-908385-3.
  7. ^ Kohonen, Teuvo (2005). "Introducción a SOM" . Caja de herramientas SOM . Consultado el 18 de junio de 2006 .
  8. ^ Kohonen, Teuvo; Honkela, Timo (2011). "Red Kohonen" . Scholarpedia . 2 (1): 1568. Código bibliográfico : 2007SchpJ...2.1568K . doi : 10.4249/scholarpedia.1568 .
  9. ^ Vrieze, DO (1995). "Red Kohonen" (PDF) . Redes neuronales artificiales . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 931. Universidad de Limburgo, Maastricht. págs. 83–100 . doi : 10.1007/BFb0027024 . ISBN   978-3-540-59488-8Consultado el 1 de julio de 2020 .{{cite book}}: |website=ignorado ( ayuda )
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  13. ↑ La ilustración se ha elaborado utilizando el software libre: Mirkes, Evgeny M.; Análisis de componentes principales y mapas autoorganizados: applet , Universidad de Leicester, 2011.
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