operador autoadjunto

Un operador autoadjunto acotado${\displaystyle A:H\to H}$definido en${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A\right)=H}$tiene las siguientes propiedades: ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• ${\displaystyle A:H\to \operatorname {Im} A\subseteq H}$es invertible si la imagen de${\displaystyle A}$es denso en${\displaystyle H.}$
• La norma del operador viene dada por${\displaystyle \left\|A\right\|=\sup \left\{|\langle x,Ax\rangle |:\|x\|=1\right\}}$
• Si${\displaystyle \lambda }$es un valor propio de${\displaystyle A}$entonces${\displaystyle |\lambda |\leq \sup \left\{|\langle x,Ax\rangle |:\|x\|\leq 1\right\}}$; los valores propios son reales y los vectores propios correspondientes son ortogonales.

Los operadores autoadjuntos acotados no necesariamente tienen un valor propio. Sin embargo, si${\displaystyle A}$Si es un operador autoadjunto compacto, entonces siempre tiene un valor propio.${\displaystyle |\lambda |=\|A\|}$y el vector propio normalizado correspondiente. ^{[ 10 ]}

En primer lugar, dejemos${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$sea ​​un espacio de medida σ-finita y${\displaystyle h:X\to \mathbb {R} }$una función medible en${\displaystyle X}$. Entonces el operador${\displaystyle T_{h}:\operatorname {Dom} T_{h}\to L^{2}(X,\mu )}$, definido por

${\displaystyle T_{h}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in \operatorname {Dom} T_{h},}$

dónde

${\displaystyle \operatorname {Dom} T_{h}:=\left\{\psi \in L^{2}(X,\mu )\;|\;h\psi \in L^{2}(X,\mu )\right\},}$

se denomina operador de multiplicación . ^{[ 17 ]} Cualquier operador de multiplicación es un operador autoadjunto. ^{[ 18 ]}

En segundo lugar, dos operadores${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$con dominios densos${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq H_{1}}$y${\displaystyle \operatorname {Dom} B\subseteq H_{2}}$en espacios de Hilbert${\displaystyle H_{1}}$y${\displaystyle H_{2}}$, respectivamente, son unitariamente equivalentes si y solo si existe una transformación unitaria.${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$de tal manera que: ^{[ 19 ]}

• ${\displaystyle U\operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} B,}$
• ${\displaystyle UAU^{-1}\xi =B\xi ,\quad \forall \xi \in \operatorname {Dom} B.}$

Si son unitariamente equivalentes${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$están delimitados, entonces${\displaystyle \|A\|_{H_{1}}=\|B\|_{H_{2}}}$; si${\displaystyle A}$es autoadjunto, entonces también lo es${\displaystyle B}$.

El teorema espectral se cumple tanto para operadores autoadjuntos acotados como no acotados. La demostración de este último se obtiene por reducción al teorema espectral para operadores unitarios . ^{[ 21 ]} Podríamos observar que si${\displaystyle T}$es la multiplicación por${\displaystyle h}$, entonces el espectro de${\displaystyle T}$es simplemente la gama esencial de${\displaystyle h}$.

También existen versiones más completas del teorema espectral que involucran integrales directas y conllevan la noción de "autovectores generalizados". ^{[ 22 ]}

Una aplicación del teorema espectral es definir un cálculo funcional . Es decir, si${\displaystyle f}$es una función en la recta real y${\displaystyle T}$es un operador autoadjunto, deseamos definir el operador${\displaystyle f(T)}$. El teorema espectral muestra que si${\displaystyle T}$se representa como el operador de multiplicación por${\displaystyle h}$, entonces${\displaystyle f(T)}$es el operador de multiplicación por la composición${\displaystyle f\circ h}$.

Un ejemplo de la mecánica cuántica es el caso donde${\displaystyle T}$es el operador hamiltoniano${\displaystyle {\hat {H}}}$. Si${\displaystyle {\hat {H}}}$tiene una base ortonormal verdadera de autovectores${\displaystyle e_{j}}$con valores propios${\displaystyle \lambda _{j}}$, entonces${\displaystyle f({\hat {H}}):=e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}$puede definirse como el único operador acotado con valores propios${\displaystyle f(\lambda _{j}):=e^{-it\lambda _{j}/\hbar }}$de tal manera que:

${\displaystyle f({\hat {H}})e_{j}=f(\lambda _{j})e_{j}.}$

El objetivo del cálculo funcional es extender esta idea al caso donde${\displaystyle T}$tiene espectro continuo (es decir, donde${\displaystyle T}$no tiene autovectores normalizables).

Ha sido costumbre introducir la siguiente notación

${\displaystyle \operatorname {E} (\lambda )=\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}(T)}$

dónde${\displaystyle \mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}}$es la función indicadora del intervalo${\displaystyle (-\infty ,\lambda ]}$La familia de operadores de proyección E(λ) se denomina resolución de la identidad para T. Además, se puede demostrar la siguiente representación integral de Stieltjes para T :

${\displaystyle T=\int _{-\infty }^{+\infty }\lambda d\operatorname {E} (\lambda ).}$

En mecánica cuántica, la notación de Dirac se utiliza como expresión combinada tanto para el teorema espectral como para el cálculo funcional de Borel . Es decir, si H es autoadjunto y f es una función de Borel ,

${\displaystyle f(H)=\int dE\left|\Psi _{E}\rangle f(E)\langle \Psi _{E}\right|}$

con

${\displaystyle H\left|\Psi _{E}\right\rangle =E\left|\Psi _{E}\right\rangle }$

donde la integral recorre todo el espectro de H. La notación sugiere que H está diagonalizada por los autovectores Ψ _E. Dicha notación es puramente formal . La resolución de la identidad (a veces llamada medidas con valores de proyección ) se asemeja formalmente a las proyecciones de rango 1.${\displaystyle \left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}$En la notación de Dirac, las mediciones (proyectivas) se describen mediante valores propios y estados propios , ambos objetos puramente formales. Como era de esperar, esto no se conserva al pasar a la resolución de la identidad. En esta última formulación, las mediciones se describen utilizando la medida espectral de${\displaystyle |\Psi \rangle }$, si el sistema está preparado en${\displaystyle |\Psi \rangle }$antes de la medición. Alternativamente, si se desea preservar la noción de autoestados y hacerla rigurosa, en lugar de meramente formal, se puede reemplazar el espacio de estados por un espacio de Hilbert adecuado .

Si f = 1 , el teorema se denomina resolución de la unidad:

${\displaystyle I=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}$

En el caso${\displaystyle H_{\text{eff}}=H-i\Gamma }$es la suma de una matriz hermitiana H y un operador antihermitiano (véase matriz antihermitiana ).${\displaystyle -i\Gamma }$, se define el conjunto de bases biorthogonales

${\displaystyle H_{\text{eff}}^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle =E^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle }$

y escribe el teorema espectral como:

${\displaystyle f\left(H_{\text{eff}}\right)=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle f(E)\left\langle \Psi _{E}^{*}\right|}$

(Véase la partición de Feshbach-Fano para el contexto en el que aparecen dichos operadores en la teoría de la dispersión ).

El teorema espectral se aplica solo a operadores autoadjuntos, y no en general a operadores simétricos. Sin embargo, en este punto podemos dar un ejemplo simple de un operador simétrico (específicamente, un operador esencialmente autoadjunto) que tiene una base ortonormal de autovectores. Consideremos el espacio de Hilbert complejo L ² [0,1] y el operador diferencial

${\displaystyle A=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$

con${\displaystyle \mathrm {Dom} (A)}$que consta de todas las funciones f infinitamente diferenciables de valor complejo en [0, 1] que satisfacen las condiciones de contorno

${\displaystyle f(0)=f(1)=0.}$

Luego, la integración por partes del producto interno muestra que A es simétrica. ^{[ nb 1 ]} Las funciones propias de A son las sinusoides

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(n\pi x)\qquad n=1,2,\ldots }$

con los autovalores reales n ² π ² ; la conocida ortogonalidad de las funciones seno se deduce como consecuencia de que A sea simétrico.

Se puede observar que el operador A tiene un inverso compacto , lo que significa que la ecuación diferencial correspondiente Af = g se resuelve mediante algún operador integral (y por lo tanto compacto) G. El operador simétrico compacto G tiene entonces una familia numerable de autovectores que son completos en ^L² . Lo mismo puede decirse de A.

Un operador autoadjunto A en H tiene un espectro de punto puro si y solo si H tiene una base ortonormal { e _i } _{i ∈ I} que consiste en autovectores para A.

Ejemplo . El hamiltoniano para el oscilador armónico tiene un potencial cuadrático V , es decir

${\displaystyle -\Delta +|x|^{2}.}$

Este hamiltoniano tiene un espectro de punto puro; esto es típico de los hamiltonianos de estados ligados en mecánica cuántica. ^{[ 23 ]} Como se señaló en un ejemplo anterior, una condición suficiente para que un operador simétrico no acotado tenga autovectores que formen una base de espacio de Hilbert es que tenga un inverso compacto.

En el caso en que el espacio de Hilbert sea un espacio de funciones en un dominio acotado, estas distinciones tienen que ver con un problema familiar en la física cuántica: no se puede definir un operador —como el operador de momento o el operador hamiltoniano— en un dominio acotado sin especificar condiciones de contorno . En términos matemáticos, elegir las condiciones de contorno equivale a elegir un dominio apropiado para el operador. Consideremos, por ejemplo, el espacio de Hilbert.${\displaystyle L^{2}([0,1])}$(el espacio de funciones de cuadrado integrable en el intervalo [0,1]). Definamos un operador de momento A en este espacio mediante la fórmula usual, estableciendo la constante de Planck en 1:

${\displaystyle Af=-i{\frac {df}{dx}}.}$

Ahora debemos especificar un dominio para A , lo que equivale a elegir condiciones de contorno. Si elegimos

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\right\},}$

entonces A no es simétrico (porque los términos de frontera en la integración por partes no se anulan).

Si elegimos

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)=0\right\},}$

Luego, mediante la integración por partes, se puede verificar fácilmente que A es simétrico. Este operador no es esencialmente autoadjunto, ^{[ 24 ]} sin embargo, básicamente porque hemos especificado demasiadas condiciones de contorno en el dominio de A , lo que hace que el dominio del adjunto sea demasiado grande (véase también el ejemplo a continuación).

Específicamente, con la elección anterior del dominio para A , el dominio del cierre${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$de A es

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{\mathrm {cl} }\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\mid f(0)=f(1)=0\right\},}$

mientras que el dominio del adjunto${\displaystyle A^{*}}$de A es

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{*}\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\right\}.}$

Es decir, el dominio del cierre tiene las mismas condiciones de contorno que el dominio de A mismo, solo que con una suposición de suavidad menos estricta. Mientras tanto, dado que hay "demasiadas" condiciones de contorno en A , hay "muy pocas" (de hecho, ninguna en este caso) para${\displaystyle A^{*}}$. Si calculamos${\displaystyle \langle g,Af\rangle }$para${\displaystyle f\in \operatorname {Dom} (A)}$utilizando la integración por partes, entonces dado que${\displaystyle f}$se desvanece en ambos extremos del intervalo, sin condiciones de contorno en${\displaystyle g}$son necesarios para cancelar los términos de frontera en la integración por partes. Por lo tanto, cualquier función suficientemente suave${\displaystyle g}$está en el dominio de${\displaystyle A^{*}}$, con${\displaystyle A^{*}g=-i\,dg/dx}$. ^{[ 25 ]}

Dado que el dominio de la clausura y el dominio del adjunto no coinciden, A no es esencialmente autoadjunto. Después de todo, un resultado general dice que el dominio del adjunto de${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$es el mismo que el dominio del adjunto de A. Por lo tanto, en este caso, el dominio del adjunto de${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$es más grande que el dominio de${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$sí mismo, demostrando que${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$no es autoadjunto, lo que por definición significa que A no es esencialmente autoadjunto.

El problema con el ejemplo anterior es que impusimos demasiadas condiciones de contorno en el dominio de A. Una mejor elección de dominio sería utilizar condiciones de contorno periódicas:

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)\}.}$

Con este dominio, A es esencialmente autoadjunto. ^{[ 26 ]}

En este caso, podemos comprender las implicaciones de los problemas de dominio para el teorema espectral. Si utilizamos la primera elección de dominio (sin condiciones de contorno), todas las funciones${\displaystyle f_{\beta }(x)=e^{\beta x}}$para${\displaystyle \beta \in \mathbb {C} }$son vectores propios, con valores propios${\displaystyle -i\beta }$, y por lo tanto el espectro es todo el plano complejo. Si usamos la segunda elección de dominio (con condiciones de contorno de Dirichlet), A no tiene ningún vector propio. Si usamos la tercera elección de dominio (con condiciones de contorno periódicas), podemos encontrar una base ortonormal de vectores propios para A , las funciones${\displaystyle f_{n}(x):=e^{2\pi inx}}$Por lo tanto, en este caso, encontrar un dominio tal que A sea autoadjunto es un compromiso: el dominio tiene que ser lo suficientemente pequeño para que A sea simétrico, pero lo suficientemente grande para que${\displaystyle D(A^{*})=D(A)}$.

Un ejemplo más sutil de la distinción entre operadores simétricos y (esencialmente) autoadjuntos proviene de los operadores de Schrödinger en mecánica cuántica. Si la energía potencial es singular —particularmente si el potencial no está acotado inferiormente— el operador de Schrödinger asociado puede no ser esencialmente autoadjunto. En una dimensión, por ejemplo, el operador

${\displaystyle {\hat {H}}:={\frac {P^{2}}{2m}}-X^{4}}$

no es esencialmente autoadjunto en el espacio de funciones suaves y de rápido decaimiento. ^{[ 27 ]} En este caso, el fallo de la autoadjuntividad esencial refleja una patología en el sistema clásico subyacente: una partícula clásica con una${\displaystyle -x^{4}}$escapes potenciales al infinito en tiempo finito. Este operador no tiene un autoadjunto único , pero sí admite extensiones autoadjuntas obtenidas al especificar "condiciones de contorno en el infinito". (Dado que${\displaystyle {\hat {H}}}$Es un operador real, conmuta con la conjugación compleja. Por lo tanto, los índices de deficiencia son automáticamente iguales, lo cual es condición para tener una extensión autoadjunta.

En este caso, si inicialmente definimos${\displaystyle {\hat {H}}}$en el espacio de funciones suaves y de decaimiento rápido, el adjunto será "el mismo" operador (es decir, dado por la misma fórmula) pero en el dominio más grande posible, a saber:

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left({\hat {H}}^{*}\right)=\left\{{\text{twice differentiable functions }}f\in L^{2}(\mathbb {R} )\left|\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-x^{4}f(x)\right)\in L^{2}(\mathbb {R} )\right.\right\}.}$

Entonces es posible demostrar que${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$no es un operador simétrico, lo que ciertamente implica que${\displaystyle {\hat {H}}}$no es esencialmente autoadjunto. De hecho,${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$tiene autovectores con autovalores puramente imaginarios, ^{[ 28 ] [ 29 ]} lo cual es imposible para un operador simétrico. Este extraño suceso es posible debido a una cancelación entre los dos términos en${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$: Hay funciones${\displaystyle f}$en el dominio de${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$para lo cual ni${\displaystyle d^{2}f/dx^{2}}$ni${\displaystyle x^{4}f(x)}$está por separado en${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$, pero la combinación de ellos que se produce en${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$está en${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$Esto permite${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ser asimétrico, aunque ambos${\displaystyle d^{2}/dx^{2}}$y${\displaystyle X^{4}}$son operadores simétricos. Este tipo de cancelación no ocurre si reemplazamos el potencial repulsivo.${\displaystyle -x^{4}}$con el potencial de confinamiento${\displaystyle x^{4}}$.

En mecánica cuántica, las observables corresponden a operadores autoadjuntos. Según el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro , los operadores autoadjuntos son precisamente los generadores infinitesimales de grupos unitarios de operadores de evolución temporal . Sin embargo, muchos problemas físicos se formulan como una ecuación de evolución temporal que involucra operadores diferenciales cuyo hamiltoniano es solo simétrico. En tales casos, o bien el hamiltoniano es esencialmente autoadjunto, en cuyo caso el problema físico tiene soluciones únicas, o bien se intenta encontrar extensiones autoadjuntas del hamiltoniano que correspondan a diferentes tipos de condiciones de contorno o condiciones en el infinito.

Ejemplo. El operador de Schrödinger unidimensional con el potencial${\displaystyle V(x)=-(1+|x|)^{\alpha }}$, definida inicialmente sobre funciones suaves con soporte compacto, es esencialmente autoadjunta para 0 < α ≤ 2 pero no para α > 2 . ^{[ 30 ] [ 31 ]}

El fracaso de la autoadjuntividad esencial para${\displaystyle \alpha >2}$tiene una contraparte en la dinámica clásica de una partícula con potencial${\displaystyle V(x)}$: La partícula clásica escapa al infinito en un tiempo finito. ^{[ 32 ]}

Ejemplo. No existe un operador de momento autoadjunto.${\displaystyle p}$para una partícula que se mueve en una semirrecta. Sin embargo, el hamiltoniano${\displaystyle p^{2}}$La de una partícula "libre" en una semirrecta tiene varias extensiones autoadjuntas que corresponden a diferentes tipos de condiciones de contorno. Físicamente, estas condiciones de contorno están relacionadas con reflexiones de la partícula en el origen. ^{[ 33 ]}

Primero consideramos el espacio de Hilbert.${\displaystyle L^{2}[0,1]}$y el operador diferencial

${\displaystyle D:\phi \mapsto {\frac {1}{i}}\phi '}$

definidas en el espacio de funciones de valores complejos continuamente diferenciables en [0,1], que satisfacen las condiciones de contorno.

${\displaystyle \phi (0)=\phi (1)=0.}$

Entonces D es un operador simétrico, como se puede demostrar mediante integración por partes . Los espacios N ₊ , N ₋ (definidos a continuación) están dados respectivamente por las soluciones distribucionales de la ecuación

${\displaystyle {\begin{aligned}-iu'&=iu\\-iu'&=-iu\end{aligned}}}$

que están en L ² [0, 1]. Se puede demostrar que cada uno de estos espacios de soluciones es unidimensional, generado por las funciones x → e ^−x y x → e ^x respectivamente. Esto muestra que D no es esencialmente autoadjunto, ^{[ 34 ]} pero sí tiene extensiones autoadjuntas. Estas extensiones autoadjuntas están parametrizadas por el espacio de aplicaciones unitarias N ₊ → N ₋ , que en este caso resulta ser el círculo unitario T .

En este caso, el fallo de la autoadjuntividad esencial se debe a una elección "incorrecta" de las condiciones de contorno en la definición del dominio de${\displaystyle D}$. Desde${\displaystyle D}$es un operador de primer orden, solo se necesita una condición de contorno para asegurar que${\displaystyle D}$es simétrico. Si reemplazamos las condiciones de contorno dadas anteriormente por la condición de contorno única

${\displaystyle \phi (0)=\phi (1)}$,

Entonces D seguiría siendo simétrico y, de hecho, sería esencialmente autoadjunto. Este cambio de condiciones de contorno da lugar a una extensión esencialmente autoadjunta particular de D. Otras extensiones esencialmente autoadjuntas provienen de la imposición de condiciones de contorno de la forma${\displaystyle \phi (1)=e^{i\theta }\phi (0)}$.

Este sencillo ejemplo ilustra un hecho general sobre las extensiones autoadjuntas de operadores diferenciales simétricos P en un conjunto abierto M. Estas extensiones están determinadas por las aplicaciones unitarias entre los espacios de valores propios.

${\displaystyle N_{\pm }=\left\{u\in L^{2}(M):P_{\operatorname {dist} }u=\pm iu\right\}}$

donde P _dist es la extensión distribucional de P.

A continuación, presentamos el ejemplo de operadores diferenciales con coeficientes constantes . Sea

${\displaystyle P\left({\vec {x}}\right)=\sum _{\alpha }c_{\alpha }x^{\alpha }}$

sea ​​un polinomio en R ⁿ con coeficientes reales , donde α varía sobre un conjunto (finito) de multiíndices . Por lo tanto,

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

y

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.}$

También utilizamos la notación

${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {1}{i^{|\alpha |}}}\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\partial _{x_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}.}$

Entonces, el operador P (D) definido en el espacio de funciones infinitamente diferenciables de soporte compacto en R ⁿ por

${\displaystyle P(\operatorname {D} )\phi =\sum _{\alpha }c_{\alpha }\operatorname {D} ^{\alpha }\phi }$

es esencialmente autoadjunto en L ² ( R ⁿ ).

De forma más general, consideremos operadores diferenciales lineales que actúan sobre funciones de valores complejos infinitamente diferenciables de soporte compacto. Si M es un subconjunto abierto de R ⁿ

${\displaystyle P\phi (x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }(x)\left[D^{\alpha }\phi \right](x)}$

donde a y _α son funciones infinitamente diferenciables (no necesariamente constantes). P es un operador lineal.

${\displaystyle C_{0}^{\infty }(M)\to C_{0}^{\infty }(M).}$

Correspondiente a P existe otro operador diferencial, el adjunto formal de P.

${\displaystyle P^{\mathrm {*form} }\phi =\sum _{\alpha }D^{\alpha }\left({\overline {a_{\alpha }}}\phi \right)}$

Primero definimos la multiplicidad uniforme :

Definición . Un operador autoadjunto A tiene multiplicidad uniforme n donde n es tal que 1 ≤ n ≤ ω si y solo si A es unitariamente equivalente al operador M _f de multiplicación por la función f ( λ ) = λ en

${\displaystyle L_{\mu }^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{n}\right)=\left\{\psi$ :\mathbf {R} \to \mathbf {H} _{n}:\psi {\text{ medible y }}\int _{\mathbf {R} }\|\psi (t)\|^{2}d\mu (t)<\infty \right\}}

donde H _n es un espacio de Hilbert de dimensión n . El dominio de M _f consiste en funciones vectoriales ψ en R tales que

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }|\lambda |^{2}\ \|\psi (\lambda )\|^{2}\,d\mu (\lambda )<\infty .}$

Las medidas aditivas numerables no negativas μ y ν son mutuamente singulares si y solo si están soportadas en conjuntos de Borel disjuntos.

Esta representación es única en el siguiente sentido: para cualesquiera dos representaciones de este tipo de la misma A , las medidas correspondientes son equivalentes en el sentido de que tienen los mismos conjuntos de medida 0.

El teorema de multiplicidad espectral puede reformularse utilizando el lenguaje de las integrales directas de espacios de Hilbert:

A diferencia de la versión del teorema espectral con operador de multiplicación, la versión de integral directa es única en el sentido de que la clase de equivalencia de medida de μ (o equivalentemente sus conjuntos de medida 0) está determinada de forma única y la función medible${\displaystyle \lambda \mapsto \mathrm {dim} (H_{\lambda })}$se determina casi en todas partes con respecto a μ . ^{[ 36 ]} La función${\displaystyle \lambda \mapsto \operatorname {dim} \left(H_{\lambda }\right)}$es la función de multiplicidad espectral del operador.

Ahora podemos enunciar el resultado de clasificación para operadores autoadjuntos: Dos operadores autoadjuntos son unitariamente equivalentes si y solo si (1) sus espectros coinciden como conjuntos, (2) las medidas que aparecen en sus representaciones de integral directa tienen los mismos conjuntos de medida cero, y (3) sus funciones de multiplicidad espectral coinciden casi en todas partes con respecto a la medida en la integral directa. ^{[ 37 ]}

El laplaciano en R ⁿ es el operador

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}\partial _{x_{i}}^{2}.}$

Como se mencionó anteriormente, el laplaciano se diagonaliza mediante la transformada de Fourier. En realidad, es más natural considerar el negativo del laplaciano −Δ ya que como operador es no negativo; (véase operador elíptico ).