Renormalización

La renormalización es un conjunto de técnicas de la teoría cuántica de campos , la teoría estadística de campos y la teoría de estructuras geométricas autosimilares , que se utiliza para tratar las infinitudes que surgen en cantidades calculadas alterando los valores de estas cantidades para compensar los efectos de sus autointeracciones . Incluso si no surgieran infinitudes en los diagramas de bucles en la teoría cuántica de campos, se puede demostrar que es necesario renormalizar la masa y los campos que aparecen en el lagrangiano original . ^{[ 1 ]} Este es el método dominante utilizado en la física teórica para tratar estas cantidades divergentes debido a su amplia aplicabilidad, aunque también se utilizan enfoques más limitados pero rigurosos como la teoría de perturbaciones causales .

Por ejemplo, una teoría del electrón puede comenzar postulando un electrón con una masa y carga iniciales. En la teoría cuántica de campos, una nube de partículas virtuales , como fotones , positrones y otras, rodea e interactúa con el electrón inicial. Al considerar las interacciones de las partículas circundantes (por ejemplo, colisiones a diferentes energías), se observa que el sistema electrónico se comporta como si tuviera una masa y carga diferentes a las postuladas inicialmente. La renormalización, en este ejemplo, reemplaza matemáticamente la masa y carga postuladas inicialmente para un electrón (la partícula desnuda ) con la masa y carga observadas experimentalmente (la partícula vestida ). Las matemáticas y los experimentos demuestran que los positrones y partículas más masivas, como los protones, presentan exactamente la misma carga observada que el electrón, incluso en presencia de interacciones mucho más fuertes y nubes de partículas virtuales más intensas. Los procedimientos de renormalización se basan en el requisito de que ciertas magnitudes físicas (como la masa y la carga de un electrón) sean iguales a los valores observados (experimentales).

La renormalización especifica las relaciones entre los parámetros de la teoría cuando los parámetros que describen grandes escalas de distancia difieren de los que describen pequeñas escalas de distancia. Físicamente, la acumulación de contribuciones de un número infinito de escalas involucradas en un problema puede dar lugar a cantidades infinitas adicionales. Al describir el espaciotiempo como un continuo, ciertas construcciones estadísticas y de mecánica cuántica no están bien definidas . Para definirlas de forma inequívoca, un límite continuo debe eliminar cuidadosamente el "andamio constructivo" de las redes en diversas escalas.

La renormalización se desarrolló por primera vez en la electrodinámica cuántica (QED) para dar sentido a las integrales infinitas en la teoría de perturbaciones . Inicialmente vista como un procedimiento provisional sospechoso incluso por algunos de sus creadores, la renormalización acabó siendo adoptada como un mecanismo real, importante y autoconsistente de la física de escalas en varios campos de la física y las matemáticas. A pesar de su posterior escepticismo, fue Paul Dirac quien fue pionero en la renormalización. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Hoy, gracias a los innovadores descubrimientos del grupo de renormalización de Nikolay Bogolyubov y Kenneth Wilson , los estudios sobre renormalización se centran en la variación de magnitudes físicas en escalas contiguas; las escalas distantes se relacionan entre sí mediante descripciones "efectivas" . Todas las escalas se vinculan de forma sistemática, y la física propia de cada una se extrae mediante técnicas computacionales adecuadas. Wilson clarificó qué variables de un sistema son cruciales y cuáles son redundantes.

La renormalización se realiza mediante un esquema de renormalización, un conjunto de ecuaciones que determinan cómo se reescalan los parámetros físicos dentro de la teoría. Se requieren diferentes enfoques, como la sustracción mínima o la de la capa de masas , según el tipo de interacción considerada. La renormalización se distingue de la regularización , otra técnica para controlar los infinitos asumiendo la existencia de nueva física desconocida en nuevas escalas, aunque ambas pueden utilizarse conjuntamente.

El problema de los infinitos surgió por primera vez en la electrodinámica clásica de partículas puntuales en el siglo XIX y principios del XX. ^{[ 4 ]} La masa de una partícula cargada debe incluir la masa-energía en su campo electrostático ( masa electromagnética ). Supongamos que la partícula es una capa esférica cargada de radio r _e . La masa-energía en el campo es $${\displaystyle m_{\text{em}}c^{2}=\int {\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\,dV=\int _{r_{\text{e}}}^{\infty }{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left({\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr={\frac {q^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r_{\text{e}}}},}$$ que se vuelve infinito cuando r _e → 0. Esto implica que la partícula puntual tendría inercia infinita y, por lo tanto, no puede ser acelerada. Casualmente, el valor de r _e que hace que${\displaystyle m_{\text{em}}}$igual a la masa del electrón se llama radio clásico del electrón , que (estableciendo${\displaystyle q=e}$e ignorando el factor de${\displaystyle {1}/{2}}$) resulta ser $${\displaystyle r_{\text{e}}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}m_{\text{e}}c^{2}}}=\alpha {\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c}}\approx 2.8\times 10^{-15}~{\text{m}},}$$ dónde${\displaystyle \alpha \approx 1/137}$es la constante de estructura fina y${\displaystyle \hbar /(m_{\text{e}}c)}$es la longitud de onda Compton reducida del electrón.

La masa efectiva total de una partícula cargada esférica incluye la masa intrínseca de la capa esférica (además de la masa asociada a su campo eléctrico). Si se permite que la masa intrínseca de la capa sea negativa, podría ser posible establecer un límite puntual consistente. Este proceso se denominó renormalización, y Lorentz y Abraham intentaron desarrollar una teoría clásica del electrón de esta manera. Este trabajo inicial sirvió de inspiración para posteriores intentos de regularización y renormalización en la teoría cuántica de campos.

Al calcular las interacciones electromagnéticas de partículas cargadas , la retroalimentación del campo propio de una partícula sobre sí misma (análoga a la fuerza contraelectromotriz del análisis de circuitos) es necesaria para explicar la fricción en las partículas cargadas cuando emiten radiación. Si se supone que el electrón es un punto, el valor de la retroalimentación diverge, por la misma razón que diverge la masa, porque el campo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia .

La teoría de Abraham-Lorentz incluye una "preaceleración" retrocausal , lo que permite una solución en la que un electrón comenzaría a moverse antes de que se aplique la fuerza. Estos problemas persisten en la versión relativista de la ecuación de Abraham-Lorentz. Esto indica que el límite puntual es inconsistente y/o que se requiere un tratamiento cuántico. ^{[ 5 ]}

El problema era mayor en la teoría clásica de campos que en la teoría cuántica de campos, porque en esta última una partícula cargada experimenta Zitterbewegung ^{[ 6 ]} debido a la interferencia con pares virtuales partícula-antipartícula, lo que efectivamente difumina la carga en una región comparable a la longitud de onda de Compton. En la electrodinámica cuántica, con un acoplamiento pequeño, la masa electromagnética solo diverge como el logaritmo del radio de la partícula.

Las divergencias dentro de las teorías cuánticas de campos son comunes, pero se encontraron por primera vez en el desarrollo de la electrodinámica cuántica en la década de 1930 por Max Born , Werner Heisenberg , Pascual Jordan y Paul Dirac. Descubrieron que, al agregar correcciones perturbativas, muchas integrales dentro de la teoría divergían. ^{[ 7 ]}

Una forma de describir las divergencias de las correcciones de la teoría de perturbaciones fue descubierta en 1947–49 por Hans Kramers , ^{[ 8 ]} Hans Bethe , ^{[ 9 ]} Julian Schwinger , ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} Richard Feynman , ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} y Shin'ichiro Tomonaga , ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} y sistematizada por Freeman Dyson en 1949. ^{[ 24 ]} Las divergencias aparecen en correcciones radiativas que involucran diagramas de Feynman con bucles cerrados de partículas virtuales en ellos.

Si bien las partículas virtuales obedecen la conservación de la energía y el momento , pueden tener cualquier energía y momento, incluso valores fuera de la capa de masas que no están permitidos por la relación energía-momento relativista para la masa observada de dicha partícula. Cuando existe un bucle, el momento de las partículas involucradas en él no está determinado unívocamente por las energías y los momentos de las partículas entrantes y salientes. Una variación en la energía de una partícula en el bucle puede ser compensada por un cambio igual y opuesto en la energía de otra partícula en el bucle, sin afectar a las partículas entrantes y salientes. Por lo tanto, son posibles muchas variaciones. Encontrar la amplitud del proceso del bucle requiere la integración sobre todas las combinaciones posibles de energía y momento que podrían viajar a través del bucle. Estas integrales suelen ser divergentes.

Ejemplo de cálculo

El diagrama de la Figura 2 muestra una de las diversas contribuciones de un bucle a la dispersión electrón-electrón en QED. El electrón del lado izquierdo del diagrama, representado por la línea continua, comienza con un cuadrimomento p ^μ y termina con un cuadrimomento r ^μ . Emite un fotón virtual con r ^μ − p ^μ para transferir energía y momento al otro electrón (la línea curva negra). Pero en este diagrama, antes de que esto ocurra, emite otro fotón virtual con un cuadrimomento q ^μ , que se reabsorbe después de emitir el primer fotón virtual. La conservación de la energía y el momento no determina el cuadrimomento q ^μ de forma única, por lo que todas las posibilidades contribuyen por igual y debemos integrar.

La amplitud de este diagrama termina teniendo, entre otras cosas, un factor del bucle de $${\displaystyle -ie^{3}\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}\gamma ^{\mu }{\frac {i(\gamma ^{\alpha }(r-q)_{\alpha }+m)}{(r-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\rho }{\frac {i(\gamma ^{\beta }(p-q)_{\beta }+m)}{(p-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\nu }{\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}+i\epsilon }}.}$$Los diversos factores γ ^μ en esta expresión son matrices gamma como en la formulación covariante de la ecuación de Dirac ; tienen que ver con el espín del electrón. Aquí e es la constante de acoplamiento eléctrico, y${\displaystyle i}$es la unidad imaginaria . La clave aquí es la dependencia de q ^μ de los tres factores fraccionarios en el integrando, que provienen de los propagadores de las dos líneas de electrones y la línea de fotones en el bucle.

Al expandir el integrando, hay un término con dos potencias de q ^μ en el numerador que domina para valores grandes de q ^μ : ^{[ 26 ]}$${\displaystyle e^{3}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\beta }\gamma _{\mu }\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{(r-q)^{2}(p-q)^{2}q^{2}}}.}$$Esta integral es divergente, a menos que la energía y el momento se trunquen en algún valor finito.

La solución al problema de las divergencias consistió en tener en cuenta que los valores iniciales de magnitudes como la carga eléctrica y la masa del electrón no se correspondían con las constantes físicas medidas en el laboratorio. Tal como estaba formulada, la teoría utilizaba partículas desnudas que no consideraban la contribución de los efectos de bucle de partículas virtuales a las constantes físicas. En general, estos efectos serían tan divergentes como las amplitudes consideradas inicialmente, por lo que las magnitudes medidas finitas implicarían magnitudes desnudas divergentes.

Para relacionar estos valores básicos con los resultados experimentales, las fórmulas tendrían que reescribirse en términos de cantidades medibles y renormalizadas. La carga del electrón, por ejemplo, podría definirse en función de una cantidad medida en un punto de renormalización cinemática o de sustracción específico (que tendrá una energía característica, denominada escala de energía de renormalización ). Los términos restantes, que involucran las porciones restantes de las cantidades básicas, podrían reinterpretarse como contra-términos en un nuevo conjunto de diagramas que anulan exactamente el conjunto anterior de diagramas divergentes.

Renormalización en QED

Por ejemplo, en el lagrangiano de QED$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{B}\left[i\gamma _{\mu }\left(\partial ^{\mu }+ie_{B}A_{B}^{\mu }\right)-m_{B}\right]\psi _{B}-{\frac {1}{4}}F_{B\mu \nu }F_{B}^{\mu \nu }}$$ Los campos y la constante de acoplamiento son realmente cantidades desnudas, de ahí el subíndice B anterior. Convencionalmente, las cantidades desnudas se escriben de manera que los términos lagrangianos correspondientes sean múltiplos de los renormalizados: $${\displaystyle \left({\bar {\psi }}m\psi \right)_{B}=Z_{0}{\bar {\psi }}m\psi }$$$${\displaystyle \left({\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi \right)_{B}=Z_{1}{\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi }$$$${\displaystyle \left(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)_{B}=Z_{2}\,F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.}$$Nótese que la invariancia de gauge , mediante una identidad de Ward-Takahashi , se utiliza en la segunda línea de manera que los dos términos de la derivada covariante puedan renormalizarse juntos. ^{[ 27 ]}

La interacción electrón-fotón representada en la Figura 1 se puede escribir entonces $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{I}=-e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -(Z_{1}-1)e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi }$$La carga del electrón e puede definirse entonces en términos de algún experimento específico: igualando la escala de renormalización a la característica energética de este experimento, el primer término da la interacción observada en el laboratorio (salvo pequeñas correcciones finitas de los diagramas de bucle). El resto es el contra-término. Si la teoría es renormalizable como en QED, las partes divergentes de los diagramas de bucle pueden descomponerse en partes con tres o menos ramas, con una forma algebraica que puede cancelarse con el segundo término (o con los contra-términos similares que provienen de Z ₀ y Z ₃ ) .

El diagrama con el vértice de interacción del contra-término Z ₁ colocado como en la Figura 3 cancela la divergencia del bucle en la Figura 2.

Históricamente, la división de los "términos desnudos" en términos originales y contratérminos precedió a la idea del grupo de renormalización debida a Kenneth Wilson . ^{[ 28 ]} Según estas ideas del grupo de renormalización, esta división no es física, ya que todas las escalas del problema entran de forma continua y sistemática.

Dado que la cantidad ∞ − ∞ está mal definida, la cancelación de divergencias puede hacerse matemáticamente rigurosa utilizando la teoría de límites , en un proceso conocido como regularización . ^{[ 29 ]} Las integrales pueden hacerse converger a altos momentos y energía introduciendo una modificación adicional a su forma conocida como regulador. Un regulador tiene una escala de energía característica conocida como corte ; al llevar este corte al infinito (o, equivalentemente, la escala de longitud/tiempo correspondiente a cero) se recuperan las integrales originales. Los términos divergentes en las integrales se vuelven entonces finitos pero dependientes del corte, que pueden cancelarse con contra-términos dependientes del corte. El corte se lleva al infinito y se recuperan resultados físicos finitos; si la física en escalas medibles es independiente de lo que sucede en escalas de distancia y tiempo muy cortas, entonces debería ser posible obtener resultados independientes del corte.

En la teoría cuántica de campos se utilizan muchos tipos diferentes de reguladores. Uno de los más populares es la regularización dimensional ^{[ 30 ]} , en la que las integrales se extienden a un espacio con un número fraccional ficticio de dimensiones. Otro es la regularización de Pauli-Villars , que añade partículas ficticias con masas muy grandes a la teoría, de modo que los integrandos de bucle que involucran a las partículas masivas cancelan los bucles existentes en momentos grandes. Otro esquema de regularización es la regularización de red , que coloca el espaciotiempo de cuatro dimensiones en una red con un tamaño de cuadrícula fijo; este tamaño restringe el momento que una partícula puede poseer al propagarse en la red. Después de tratar varias redes con diferentes tamaños de cuadrícula, el resultado físico se extrapola a un tamaño de cuadrícula cero, es decir, el límite continuo , produciendo la física del universo natural.

Los primeros formuladores de la electrodinámica cuántica (QED) y otras teorías cuánticas de campos, por lo general, estaban insatisfechos con esta situación. Les parecía ilegítimo realizar una acción equivalente a restar infinitos de infinitos para obtener respuestas finitas. Dyson argumentó que estos infinitos son de naturaleza fundamental y no pueden eliminarse mediante ningún procedimiento matemático formal, como el método de renormalización. ^{[ 31 ] [ 32 ]}

La crítica de Dirac fue la más persistente. ^{[ 33 ]} Todavía en 1975, decía: ^{[ 34 ]}

La mayoría de los físicos están muy satisfechos con la situación. Dicen: «La electrodinámica cuántica es una buena teoría y ya no tenemos que preocuparnos por ella». Debo decir que estoy muy insatisfecho con la situación porque esta supuesta «buena teoría» implica ignorar los infinitos que aparecen en sus ecuaciones, ignorándolos de forma arbitraria. Esto no es matemática sensata. La matemática sensata implica ignorar una cantidad cuando es pequeña, ¡no ignorarla solo porque es infinitamente grande y no nos interesa!

Otro crítico importante fue Feynman. A pesar de su papel crucial en el desarrollo de la electrodinámica cuántica, escribió lo siguiente en 1985: ^{[ 35 ]}

El juego de adivinanzas que usamos para encontrar n y j se llama técnicamente «renormalización». Pero por muy ingenioso que suene el término, ¡sigue siendo un proceso bastante engorroso! Tener que recurrir a semejante truco nos ha impedido demostrar que la teoría de la electrodinámica cuántica es matemáticamente autoconsistente. Resulta sorprendente que la teoría aún no se haya demostrado autoconsistente de una forma u otra; sospecho que la renormalización no es matemáticamente legítima.

A Feynman le preocupaba que todas las teorías de campos conocidas en la década de 1960 tuvieran la propiedad de que las interacciones se volvieran infinitamente fuertes a escalas de distancia suficientemente cortas. Estos polos de Landau hacían plausible que todas las teorías cuánticas de campos fueran inconsistentes. En 1974, David Gross , Hugh David Politzer y Frank Wilczek demostraron que otra teoría cuántica de campos, la cromodinámica cuántica, no tiene un polo de Landau. Feynman, junto con la mayoría, aceptó que la cromodinámica cuántica era una teoría completamente consistente.

La inquietud general era casi universal en los textos hasta las décadas de 1970 y 1980. Sin embargo, a partir de la década de 1970, inspirados por el trabajo sobre el grupo de renormalización y la teoría de campos efectiva, y a pesar de que Dirac y otros nunca retiraron sus críticas, las actitudes comenzaron a cambiar. Kenneth G. Wilson y otros demostraron que el grupo de renormalización es útil en la teoría de campos estadística aplicada a la física de la materia condensada , donde proporciona información importante sobre el comportamiento de las transiciones de fase . En la física de la materia condensada, existe un regulador físico de corto alcance: la materia deja de ser continua a escala atómica . Las divergencias de corto alcance en la física de la materia condensada no presentan un problema filosófico, ya que la teoría de campos es solo una representación efectiva y suavizada del comportamiento de la materia; no hay infinitos, puesto que el límite de corte es siempre finito, y las cantidades desnudas dependen de dicho límite.

Si la teoría cuántica de campos se mantiene más allá de la longitud de Planck , entonces es posible que tampoco haya problemas con las divergencias de corta distancia en la física de partículas , y todas las teorías de campos podrían ser simplemente teorías de campos efectivas.

Sin embargo, Abdus Salam comentó ^{[ 36 ]} en 1972:

Las infinitudes de la teoría de campos —que aparecieron por primera vez en el cálculo de la masa propia del electrón realizado por Lorentz— han persistido en la electrodinámica clásica durante setenta años y en la electrodinámica cuántica durante unos treinta y cinco. Estos largos años de frustración han dejado en la disciplina una curiosa fascinación por las infinitudes y la firme convicción de que son una parte inevitable de la naturaleza; hasta tal punto que incluso la mera sugerencia de que, después de todo, puedan evitarse —y que se puedan calcular valores finitos para las constantes de renormalización— se considera irracional.

En la teoría cuántica de campos, el valor de una constante física depende de la escala que se elija como punto de renormalización. Las constantes de acoplamiento en el Modelo Estándar de la física de partículas varían de diferentes maneras con el aumento de la escala de energía: el acoplamiento de la cromodinámica cuántica y el acoplamiento de isospín débil de la fuerza electrodébil tienden a disminuir, y el acoplamiento de hipercarga débil de la fuerza electrodébil tiende a aumentar. En una escala de energía de 10 ¹⁵ GeV (muy por encima del alcance de los aceleradores de partículas actuales ), todas se vuelven aproximadamente del mismo tamaño ^{[ 37 ]} , una motivación importante para las especulaciones sobre la teoría de la gran unificación .

Si una teoría renormalizada solo puede interpretarse como una teoría de campo efectiva, entonces persiste el problema de descubrir una teoría más precisa que no presente estos problemas de renormalización. Como lo expresó Lewis Ryder : «En la teoría cuántica, estas divergencias [clásicas] no desaparecen; al contrario, parecen empeorar. Y a pesar del éxito relativo de la teoría de la renormalización, persiste la sensación de que debería existir una forma más satisfactoria de abordar el tema». ^{[ 38 ]}

No todas las teorías se prestan a la renormalización de la manera descrita anteriormente, con un suministro finito de contra-términos y donde todas las cantidades se vuelven independientes del punto de corte al final del cálculo. Si el lagrangiano contiene combinaciones de operadores de campo de dimensión suficientemente alta en unidades de energía, se requiere un número infinito de contra-términos para cancelar todas las divergencias. A primera vista, la teoría parecería adquirir un número infinito de parámetros libres y, por lo tanto, perder todo su poder predictivo. Dichas teorías se denominan "no renormalizables".

El Modelo Estándar de la física de partículas contiene solo operadores renormalizables, pero las interacciones de la relatividad general se vuelven no renormalizables si se intenta construir una teoría de campos de la gravedad cuántica de la manera más directa (tratando la métrica en el lagrangiano de Einstein-Hilbert como una perturbación alrededor de la métrica de Minkowski ), lo que sugiere que la teoría de perturbaciones no es satisfactoria en su aplicación a la gravedad cuántica.

Sin embargo, en una teoría de campos efectiva , el término "renormalizabilidad" es inapropiado . En una teoría de campos efectiva no renormalizable, los términos del lagrangiano se multiplican hasta el infinito, pero sus coeficientes se ven suprimidos por potencias inversas cada vez mayores del límite de energía. Si este límite es una magnitud física —es decir, si la teoría solo ofrece una descripción efectiva de la física hasta una energía máxima o una distancia mínima—, entonces estos términos adicionales podrían representar interacciones físicas reales. Suponiendo que las constantes adimensionales de la teoría no sean demasiado grandes, se pueden agrupar los cálculos por potencias inversas del límite y obtener predicciones aproximadas de orden finito que aún conserven un número finito de parámetros libres. Esto permite renormalizar estas interacciones "no renormalizables".

Las interacciones no renormalizables en las teorías de campo efectivas se debilitan rápidamente a medida que la escala de energía se vuelve mucho menor que el límite de corte. El ejemplo clásico es la teoría de Fermi de la fuerza nuclear débil , una teoría efectiva no renormalizable cuyo límite de corte es comparable a la masa de la partícula W. Este hecho también puede proporcionar una posible explicación de por qué casi todas las interacciones de partículas que observamos son descriptibles mediante teorías renormalizables: otras que pueden existir en la escala GUT o de Planck simplemente se vuelven demasiado débiles para ser observables. Hay una excepción: la gravedad , cuya interacción extremadamente débil se magnifica por la presencia de las enormes masas de las estrellas y los planetas .

• Historia de la teoría cuántica de campos
• Trivialidad cuántica
• Las paradojas de Zenón
• Corrección no oblicua

• Citas relacionadas con la renormalización en Wikiquote