Solución autosimilar

En el estudio de ecuaciones diferenciales parciales , particularmente en dinámica de fluidos , una solución autosimilar es una forma de solución que es similar a sí misma si las variables independientes y dependientes están adecuadamente escaladas. Las soluciones autosimilares aparecen siempre que el problema carece de una longitud o escala de tiempo característica (por ejemplo, la capa límite de Blasius de una placa infinita, pero no de una placa de longitud finita). Estas incluyen, por ejemplo, la capa límite de Blasius o la capa de Sedov-Taylor . ^{[1] [2]}

Una herramienta poderosa en física es el concepto de análisis dimensional y leyes de escala. Al examinar los efectos físicos presentes en un sistema, podemos estimar su tamaño y, por lo tanto, cuáles, por ejemplo, podrían ignorarse. En algunos casos, el sistema puede no tener una longitud natural fija o una escala de tiempo, mientras que la solución depende del espacio o el tiempo. Entonces es necesario construir una escala utilizando el espacio o el tiempo y las otras cantidades dimensionales presentes, como la viscosidad . Estas construcciones no se "adivina", sino que se derivan inmediatamente del escalamiento de las ecuaciones que lo gobiernan. ${\displaystyle \nu }$

La solución autosimilar normal también se denomina solución autosimilar de primer tipo , ya que existe otro tipo de autosimilar para problemas de tamaño finito, que no se puede derivar del análisis dimensional , conocida como solución autosimilar de segundo tipo .

La identificación temprana de soluciones autosimilares del segundo tipo se puede encontrar en problemas de ondas de choque implosionantes ( problema de Guderley–Landau–Stanyukovich ), analizado por G. Guderley (1942) y Lev Landau y KP Stanyukovich (1944), ^[3] y la propagación de ondas de choque por un impulso corto, analizado por Carl Friedrich von Weizsäcker ^[4] y Yakov Borisovich Zel'dovich (1956), quienes también lo clasificaron como el segundo tipo por primera vez. ^[5] Una descripción completa fue hecha en 1972 por Grigory Barenblatt y Yakov Borisovich Zel'dovich . ^[6] La solución autosimilar del segundo tipo también aparece en diferentes contextos como en problemas de capa límite sometidos a pequeñas perturbaciones, ^[7] como fue identificado por Keith Stewartson , ^[8] Paul A. Libby y Herbert Fox. ^[9] Los remolinos de Moffatt son también una solución autosimilar del segundo tipo.

Un ejemplo simple es un dominio semi-infinito delimitado por una pared rígida y lleno de fluido viscoso. ^[10] En el momento en que se hace que la pared se mueva con velocidad constante en una dirección fija (para mayor precisión, digamos la dirección y consideremos solo el plano), se puede ver que no hay una escala de longitud distinguida dada en el problema. Esto se conoce como el problema de Rayleigh . Las condiciones de contorno del deslizamiento son ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x-y}$$${\displaystyle u{(y\!=\!0)}=U}$$

Además, se cumple la condición de que la placa no tiene efecto sobre el fluido en el infinito. $${\displaystyle u{(y\!\to \!\infty )}=0.}$$

Ahora bien, a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes se puede observar que este flujo será rectilíneo , con gradientes en la dirección y flujo en la dirección, y que el término de presión no tendrá componente tangencial, de modo que . El componente de las ecuaciones de Navier-Stokes se convierte entonces en y los argumentos de escala se pueden aplicar para mostrar que lo que da como resultado la escala de la coordenada como . $${\displaystyle \rho \left({\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+{\vec {u}}\cdot \nabla {\vec {u}}\right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}{\vec {u}}}$$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\dfrac {\partial p}{\partial y}}=0}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}=\nu \partial _{y}^{2}{\vec {u}}}$$$${\displaystyle {\frac {U}{t}}\sim \nu {\frac {U}{y^{2}}}}$$${\displaystyle y}$$${\displaystyle y\sim (\nu t)^{1/2}}$$

Esto permite plantear un ansatz autosimilar tal que, con y adimensional, ${\displaystyle f}$${\displaystyle \eta }$$${\displaystyle u=Uf\left(\eta \equiv {\dfrac {y}{(\nu t)^{1/2}}}\right)}$$

Lo anterior contiene toda la física relevante y el siguiente paso es resolver las ecuaciones, que en muchos casos incluirán métodos numéricos. Esta ecuación tiene una solución que satisface las condiciones de contorno, es decir, es una solución autosimilar de primera clase. $${\displaystyle -\eta f'/2=f''}$$$${\displaystyle f=1-\operatorname {erf} (\eta /2)\quad {\text{ or }}\quad u=U\left(1-\operatorname {erf} \left(y/(4\nu t)^{1/2}\right)\right)}$$

En aplicaciones de transferencia de calor transitoria , como el calentamiento por impacto en la cubierta de un barco durante el lanzamiento de misiles y el dimensionamiento de sistemas de protección térmica , se pueden encontrar soluciones autosimilares para sólidos semiinfinitos. ^{[11] [12]} La ecuación gobernante cuando la conducción de calor es el mecanismo principal de transferencia de calor es la ecuación de energía unidimensional: donde es la densidad del material , es la capacidad calorífica específica del material , es la conductividad térmica del material . En el caso en que se supone que el material es homogéneo y sus propiedades constantes, la ecuación de energía se reduce a la ecuación de calor : con siendo la difusividad térmica . Al introducir la variable de similitud y suponer que , la EDP se puede transformar en la EDO: Si se supone un modelo simple de dimensionamiento del sistema de protección térmica, donde se ignoran la descomposición, el flujo de gas de pirólisis y la recesión de la superficie, con la temperatura inicial y una temperatura de superficie constante , entonces la EDO se puede resolver para la temperatura a una profundidad y tiempo : ^[12] donde es la función de error . $${\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(k{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle c_{p}}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}},\quad \alpha ={\frac {k}{\rho c_{p}}}}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \eta =x/{\sqrt {t}}}$${\displaystyle T(t,x)=f(\eta )}$$${\displaystyle f''(\eta )+{\frac {1}{2\alpha }}\eta f'(\eta )=0}$$${\displaystyle T(0,x)=f(\infty )=T_{i}}$${\displaystyle T(t,0)=f(0)=T_{s}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle T(t,x)={\text{erf}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {\alpha t}}}}\right)\left(T_{i}-T_{s}\right)+T_{s}}$$${\displaystyle {\text{erf}}(\cdot )}$