Autoadjunto

En matemáticas , un elemento de un *-álgebra se llama autoadjunto si es el mismo que su adjunto (es decir, ). ${\displaystyle a=a^{*}}$

Sea una *-álgebra. Un elemento se llama autoadjunto si . ^[1]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a=a^{*}}$

El conjunto de elementos autoadjuntos se denomina .${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$

Un subconjunto que está cerrado bajo la involución *, es decir , se llama autoadjunto. ^[2]${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{*}}$

Un caso especial de particular importancia es el caso donde es un *-álgebra normada completa , que satisface la C*-identidad ( ), que se llama un C*-álgebra . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \para todo a\en {\mathcal {A}}}$

Especialmente en la literatura más antigua sobre *-álgebras y C*-álgebras, a estos elementos a menudo se les llama hermíticos. ^[1] Por eso, las notaciones , o para el conjunto de elementos autoadjuntos también se utilizan a veces, incluso en la literatura más reciente. ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{h}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}}$${\displaystyle H({\mathcal {A}})}$

• Cada elemento positivo de un C*-álgebra es autoadjunto. ^[3]
• Para cada elemento de un *-álgebra, los elementos y son autoadjuntos, ya que * es un antiautomorfismo involutivo . ^[4]${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización aa^{*}}$${\displaystyle a^{*}a}$
• Para cada elemento de un *-álgebra, las partes real e imaginaria y son autoadjuntas, donde denota la unidad imaginaria . ^[1]${\estilo de visualización a}$ ${\textstyle \operatorname {Re} (a)={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$${\textstyle \operatorname {Estoy} (a)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(aa^{*})}$${\displaystyle \mathrm {i}}$
• Si es un elemento normal de un C*-álgebra , entonces para cada función de valor real , que es continua en el espectro de , el cálculo funcional continuo define un elemento autoadjunto . ^[5]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización f(a)}$

Sea una *-álgebra. Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Sea , entonces es autoadjunto, ya que . Un cálculo similar da como resultado que también es autoadjunto. ^[6]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a^{*}a}$${\displaystyle (a^{*}a)^{*}=a^{*}(a^{*})^{*}=a^{*}a}$${\estilo de visualización aa^{*}}$
• Sea el producto de dos elementos autoadjuntos . Entonces es autoadjunto si y conmutan , ya que siempre se cumple. ^[1]$Estilo de visualización a=a_{1}a_{2}}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\estilo de visualización a}$$estilo de visualización a_{1}$$estilo de visualización a_{2}$ ${\displaystyle (a_{1}a_{2})^{*}=a_{2}^{*}a_{1}^{*}=a_{2}a_{1}}$
• Si es un C*-álgebra, entonces un elemento normal es autoadjunto si y solo si su espectro es real, es decir . ^[5]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R}}$

Sea una *-álgebra. Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Cada elemento puede descomponerse de forma única en partes reales e imaginarias, es decir, hay elementos determinados de forma única , por lo que se cumple. Donde y . ^[1]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle a=a_{1}+\mathrm {i}a_{2}}$${\textstyle a_{1}={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$${\textstyle a_{2}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(aa^{*})}$
• El conjunto de elementos autoadjuntos es un subespacio lineal real de . De la propiedad anterior se deduce que es la suma directa de dos subespacios lineales reales, es decir . ^[7]${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{sa}\oplus \mathrm {i} {\mathcal {A}}_{sa}}$
• Si es autoadjunto, entonces es normal. ^[1]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\estilo de visualización a}$
• El *-álgebra se denomina *-álgebra hermítica si cada elemento autoadjunto tiene un espectro real . ^[8]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R}}$

Sea una C*-álgebra y . Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$

• Para el espectro o se cumple, ya que es real y se cumple para el radio espectral , porque es normal. ^[9]${\displaystyle \izquierda\|a\derecha\|\en \sigma (a)}$${\displaystyle -\izquierda\|a\derecha\|\en \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma(a)}$${\displaystyle r(a)=\izquierda\|a\derecha\|}$${\estilo de visualización a}$
• Según el cálculo funcional continuo, existen elementos positivos determinados de manera única , tales que con . Para la norma, se cumple. ^[10] Los elementos y también se denominan partes positiva y negativa . Además, se cumple para el valor absoluto definido para cada elemento . ^[11]${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$${\displaystyle \left\|a\right\|=\max(\left\|a_{+}\right\|,\left\|a_{-}\right\|)}$$estilo de visualización a_{+}}$${\displaystyle a_{-}}$${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$${\textstyle |a|=(a^{*}a)^{\frac {1}{2}}}$
• Para cada e impar , existe un determinado de forma única que satisface , es decir, una raíz -ésima única , como se puede demostrar con el cálculo funcional continuo. ^[12]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N}}$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$$Estilo de visualización b^{n}=a$${\estilo de visualización n}$

• Matriz autoadjunta
• Operador autoadjunto

• Blackadar, Bruce (2006). Álgebras de operadores. Teoría de las álgebras C* y las álgebras de von Neumann . Berlín/Heidelberg: Springer. pág. 63. ISBN 3-540-28486-9.
• Dixmier, Jacques (1977). C*-álgebras . Traducido por Jellett, Francis. Ámsterdam/Nueva York/Oxford: North-Holland. ISBN 0-7204-0762-1.Traducción al inglés de Les C*-algèbres et leurs représentations (en francés). Gauthier-Villars. 1969.
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1983). Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores. Volumen 1 Teoría elemental . Nueva York/Londres: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.
• Palmer, Theodore W. (2001). Álgebras de Banach y teoría general de las *-álgebras: Volumen 2, *-álgebras . Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0.