Módulo semisimple

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un módulo semisimple o módulo completamente reducible es un tipo de módulo que se puede entender fácilmente a partir de sus partes. Un anillo que es un módulo semisimple sobre sí mismo se conoce como anillo semisimple artiniano . Algunos anillos importantes, como los anillos de grupos finitos sobre cuerpos de característica cero , son anillos semisimples. Un anillo artiniano se entiende inicialmente a través de su cociente semisimple más grande. La estructura de los anillos semisimples artinianos se entiende bien mediante el teorema de Artin-Wedderburn , que muestra estos anillos como productos directos finitos de anillos matriciales .

Para un análogo de la misma noción en la teoría de grupos, véase Representación semisimple .

Se dice que un módulo sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) es semisimple (o completamente reducible ) si es la suma directa de submódulos simples (irreducibles).

Para un módulo M son equivalentes:

1. M es semisimple, es decir, una suma directa de módulos irreducibles.
2. M es la suma de sus submódulos irreducibles.
3. Cada submódulo de M es un sumando directo : para cada submódulo N de M , existe un complemento P tal que M = N ⊕ P.

Para la prueba de las equivalencias, véase Representación semisimple § Caracterizaciones equivalentes .

El ejemplo más básico de un módulo semisimple es un módulo sobre un cuerpo, es decir, un espacio vectorial . Por otra parte, el anillo Z de números enteros no es un módulo semisimple sobre sí mismo, ya que el submódulo 2 Z no es un sumando directo.

Semisimple es más fuerte que completamente descomponible , que es una suma directa de submódulos indecomponibles .

Sea A un álgebra sobre un cuerpo K . Entonces se dice que un módulo izquierdo M sobre A es absolutamente semisimple si, para cualquier extensión de cuerpo F de K , F ⊗ _K M es un módulo semisimple sobre F ⊗ _K A .

• Si M es semisimple y N es un submódulo , entonces N y M / N también son semisimples.
• Una suma directa arbitraria de módulos semisimples es semisimple.
• Un módulo M es finitamente generado y semisimple si y sólo si es artiniano y su radical es cero.

• Un módulo semisimple M sobre un anillo R también puede considerarse como un homomorfismo de anillo de R en el anillo de endomorfismos de grupo abeliano de M. La imagen de este homomorfismo es un anillo semiprimitivo , y cada anillo semiprimitivo es isomorfo a dicha imagen.
• El anillo de endomorfismo de un módulo semisimple no sólo es semiprimitivo, sino también regular de von Neumann . ^[1]

Se dice que un anillo es semisimple (izquierdo) si es semisimple como módulo izquierdo sobre sí mismo. ^[2] Sorprendentemente, un anillo semisimple izquierdo también es semisimple derecho y viceversa. Por lo tanto, la distinción entre izquierdo y derecho es innecesaria y se puede hablar de anillos semisimples sin ambigüedad.

Un anillo semisimple puede caracterizarse en términos de álgebra homológica : es decir, un anillo R es semisimple si y solo si cualquier secuencia corta exacta de módulos R izquierdos (o derechos) se divide. Es decir, para una secuencia corta exacta

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0}$

Existe s  : C → B tal que la composición g ∘ s  : C → C es la identidad. La función s se conoce como sección. De esto se sigue que

${\displaystyle B\cong A\oplus C}$

o en términos más exactos

${\displaystyle B\cong f(A)\oplus s(C).}$

En particular, cualquier módulo sobre un anillo semisimple es inyectivo y proyectivo . Como "proyectivo" implica "plano", un anillo semisimple es un anillo regular de von Neumann .

Los anillos semisimples son de particular interés para los algebristas. Por ejemplo, si el anillo base R es semisimple, entonces todos los R -módulos serían automáticamente semisimples. Además, cada R -módulo simple (izquierdo) es isomorfo a un ideal izquierdo mínimo de R , es decir, R es un anillo de Kasch izquierdo .

Los anillos semisimples son artinianos y noetherianos . De las propiedades anteriores, un anillo es semisimple si y solo si es artiniano y su radical de Jacobson es cero.

Si un anillo semisimple artiniano contiene un campo como subanillo central , se denomina álgebra semisimple .

• Para un anillo conmutativo , las cuatro propiedades siguientes son equivalentes: ser un anillo semisimple ; ser artiniano y reducido ; ^[3] ser un anillo noetheriano reducido de dimensión de Krull 0; y ser isomorfo a un producto directo finito de campos.
• Si K es un cuerpo y G es un grupo finito de orden n , entonces el anillo de grupo K [ G ] es semisimple si y sólo si la característica de K no divide a n . Este es el teorema de Maschke , un resultado importante en la teoría de representación de grupos .
• Por el teorema de Wedderburn-Artin , un anillo unital R es semisimple si y solo si es (isomorfo a) M _{n 1} ( D ₁ ) × M _{n 2} ( D ₂ ) × ... × M _{n r} ( D _r ) , donde cada D _i es un anillo de división y cada n _i es un entero positivo, y M _n ( D ) denota el anillo de matrices n -por- n con entradas en D .
• Un ejemplo de un anillo no unitario semisimple es M _∞ ( K ), las matrices infinitas, finitas en filas y finitas en columnas sobre un cuerpo K .

Hay que tener en cuenta que, a pesar de la terminología, no todos los anillos simples son semisimples . El problema es que el anillo puede ser "demasiado grande", es decir, no artiniano (izquierdo/derecho). De hecho, si R es un anillo simple con un ideal mínimo izquierdo/derecho, entonces R es semisimple.

Ejemplos clásicos de anillos simples, pero no semisimples, son las álgebras de Weyl , como el álgebra Q

${\displaystyle A=\mathbf {Q} {\langle x,y\rangle }/\langle xy-yx-1\rangle \ ,}$

que es un dominio no conmutativo simple . Estos y muchos otros buenos ejemplos se analizan con más detalle en varios textos de teoría de anillos no conmutativos, incluido el capítulo 3 del texto de Lam, en el que se los describe como anillos simples no artinianos. La teoría de módulos para las álgebras de Weyl está bien estudiada y difiere significativamente de la de los anillos semisimples.

Un anillo se llama semisimple de Jacobson (o J-semisimple o semiprimitivo ) si la intersección de los ideales izquierdos máximos es cero, es decir, si el radical de Jacobson es cero. Todo anillo que es semisimple como módulo sobre sí mismo tiene radical de Jacobson cero, pero no todo anillo con radical de Jacobson cero es semisimple como módulo sobre sí mismo. Un anillo J-semisimple es semisimple si y solo si es un anillo artiniano , por lo que los anillos semisimples a menudo se denominan anillos semisimples artinianos para evitar confusiones.

Por ejemplo, el anillo de números enteros, Z , es J-semisimple, pero no semisimple artiniano.

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