Separación de variables

Quienes no les gustan los diferenciales como entidades separadas pueden preferir escribir esto como

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),}$

pero eso no hace del todo obvio por qué esto se llama "separación de variables". Integrar ambos lados de la ecuación con respecto a${\displaystyle x}$, tenemos

o equivalentemente,

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$

debido a la regla de sustitución para integrales .

Si se pueden evaluar las dos integrales, se puede encontrar una solución a la ecuación diferencial. Obsérvese que este proceso nos permite tratar la derivada.${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$como una fracción que se puede separar. Esto nos permite resolver ecuaciones diferenciales separables de forma más conveniente, como se muestra en el siguiente ejemplo.

(Tenga en cuenta que no necesitamos usar dos constantes de integración en la ecuación ( A1 ) como en

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2},}$

porque una sola constante${\displaystyle C=C_{2}-C_{1}}$es equivalente.)

El crecimiento de la población se suele modelar mediante la ecuación diferencial "logística".

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

dónde${\displaystyle P}$es la población con respecto al tiempo${\displaystyle t}$,${\displaystyle k}$es la tasa de crecimiento, y${\displaystyle K}$es la capacidad de carga del medio ambiente. La separación de variables ahora conduce a

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {dP}{P\left(1-P/K\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}}$

que se integra fácilmente utilizando fracciones parciales en el lado izquierdo, lo que da como resultado

${\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$

donde A es la constante de integración. Podemos encontrar ${\displaystyle A}$en términos de${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$en t=0. Observando${\displaystyle e^{0}=1}$obtenemos

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}.}$

De la misma manera que se puede hablar de una EDO separable de primer orden, también se puede hablar de una EDO separable de segundo, tercer o enésimo orden. Consideremos la EDO separable de primer orden:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

La derivada también puede escribirse de la siguiente manera para resaltar que es un operador que actúa sobre la función desconocida, y :

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}(y)}$

Así, cuando se separan las variables en ecuaciones de primer orden, en realidad se mueve el denominador dx del operador al lado de la variable x , y d ( y ) queda en el lado de la variable y . El operador de segunda derivada, por analogía, se descompone de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}(y)\right)}$

Los operadores de tercera, cuarta y enésima derivada se descomponen de la misma manera. Por lo tanto, al igual que una EDO separable de primer orden es reducible a la forma

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

una EDO de segundo orden separable es reducible a la forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f\left(y'\right)g(x)}$

y una EDO separable de orden n es reducible a

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=f\!\left(y^{(n-1)}\right)g(x)}$

Consideremos la siguiente ecuación diferencial no lineal simple de segundo orden:$${\displaystyle y''=(y')^{2}.}$$Esta ecuación es una ecuación solo de y '' e y', lo que significa que es reducible a la forma general descrita anteriormente y, por lo tanto, es separable. Dado que es una ecuación separable de segundo orden, agrupe todas las variables x en un lado y todas las variables y'variables por otro lado para obtener:$${\displaystyle {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=dx.}$$Ahora, integra el lado derecho con respecto a x y el lado izquierdo con respecto a y' :$${\displaystyle \int {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=\int dx.}$$Esto da$${\displaystyle -{\frac {1}{y'}}=x+C_{1},}$$lo cual se simplifica a:$${\displaystyle y'=-{\frac {1}{x+C_{1}}}~.}$$Ahora se trata de un sencillo problema de integración que da la respuesta final:$${\displaystyle y=C_{2}-\ln |x+C_{1}|.}$$

Consideremos la ecuación de calor unidimensional . La ecuación es

La variable u denota la temperatura. La condición de contorno es homogénea, es decir

Intentemos encontrar una solución no trivial que satisfaga las condiciones de contorno pero con la siguiente propiedad: u es un producto en el que la dependencia de u con respecto a x y t está separada, es decir:

Sustituyendo u de nuevo en la ecuación ( 1 ) y utilizando la regla del producto ,

donde λ debe ser constante ya que el lado derecho depende solo de x y el lado izquierdo solo de t . Por lo tanto:

y

− λ aquí es el valor propio para ambos operadores diferenciales, y T ( t ) y X ( x ) son las funciones propias correspondientes .

Ahora demostraremos que no pueden existir soluciones para X ( x ) para valores de λ ≤ 0:

Supongamos que λ < 0. Entonces existen números reales B y C tales que

${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.}$

De ( 2 ) obtenemos

y por lo tanto B = 0 = C lo que implica que u es idénticamente 0.

Supongamos que λ = 0. Entonces existen números reales B y C tales que

${\displaystyle X(x)=Bx+C.}$

De ( 7 ) concluimos de la misma manera que en 1 que u es idénticamente 0.

Por lo tanto, debe ser cierto que λ > 0. Entonces existen números reales A , B , C tales que

${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t},}$

y

${\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).}$

De ( 7 ) obtenemos C = 0 y que para algún entero positivo n ,

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$

Esto resuelve la ecuación del calor en el caso especial en que la dependencia de u tiene la forma especial de ( 3 ) .

En general, la suma de soluciones de ( 1 ) que satisfacen las condiciones de contorno ( 2 ) también satisface ( 1 ) y ( 3 ) . Por lo tanto, se puede dar una solución completa como

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right),}$

donde D _n son coeficientes determinados por la condición inicial.

Dada la condición inicial

podemos obtener

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}.}$

Esta es la expansión en serie de senos de Fourier de f ( x ) que es susceptible al análisis de Fourier . Multiplicando ambos lados por${\textstyle \sin {\frac {n\pi x}{L}}}$y la integración sobre [ 0, L ] da como resultado

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx.}$

Este método requiere que las autofunciones X , aquí${\textstyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$, son ortogonales y completas . En general, esto está garantizado por la teoría de Sturm-Liouville .

Supongamos que la ecuación no es homogénea,

con la misma condición de contorno que ( 2 ) y la misma condición inicial que ( 8 ) .

Expanda h ( x,t ), u ( x , t ) y f ( x ) en

donde h _n ( t ) y b _n se pueden calcular mediante integración, mientras que u _n ( t ) debe determinarse.

Sustituyendo ( 9 ) y ( 10 ) de nuevo en ( 8 ) y considerando la ortogonalidad de las funciones seno obtenemos

${\displaystyle u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t),}$

que son una secuencia de ecuaciones diferenciales lineales que se pueden resolver fácilmente con, por ejemplo, la transformada de Laplace o el factor integrante . Finalmente, podemos obtener

${\displaystyle u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right).}$

Si la condición de contorno no es homogénea, entonces la expansión de ( 9 ) y ( 10 ) deja de ser válida. Es necesario encontrar una función v que satisfaga únicamente la condición de contorno y restarla de u . La función uv entonces satisface la condición de contorno homogénea y puede resolverse con el método anterior.

Para algunas ecuaciones que involucran derivadas mixtas, la ecuación no se separa tan fácilmente como la ecuación del calor en el primer ejemplo anterior, pero aun así se puede aplicar la separación de variables. Consideremos la ecuación biarmónica bidimensional.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}u}{\partial y^{4}}}=0.}$

Procediendo de la manera habitual, buscamos soluciones de la forma

${\displaystyle u(x,y)=X(x)Y(y)}$

y obtenemos la ecuación

${\displaystyle {\frac {X^{(4)}(x)}{X(x)}}+2{\frac {X''(x)}{X(x)}}{\frac {Y''(y)}{Y(y)}}+{\frac {Y^{(4)}(y)}{Y(y)}}=0.}$

Escribiendo esta ecuación en la forma

${\displaystyle E(x)+F(x)G(y)+H(y)=0,}$

Tomando la derivada de esta expresión con respecto a${\displaystyle x}$da${\displaystyle E'(x)+F'(x)G(y)=0}$lo que significa${\displaystyle G(y)=const.}$o${\displaystyle F'(x)=0}$y asimismo, tomando derivadas con respecto a${\displaystyle y}$conduce a${\displaystyle F(x)G'(y)+H'(y)=0}$y por lo tanto${\displaystyle F(x)=const.}$o${\displaystyle G'(y)=0}$, por lo tanto, F ( x ) o G ( y ) debe ser una constante, digamos −λ. Esto implica además que o bien${\displaystyle -E(x)=F(x)G(y)+H(y)}$o${\displaystyle -H(y)=E(x)+F(x)G(y)}$son constantes. Volviendo a la ecuación para X e Y , tenemos dos casos.

${\displaystyle {\begin{aligned}X''(x)&=-\lambda _{1}X(x)\\X^{(4)}(x)&=\mu _{1}X(x)\\Y^{(4)}(y)-2\lambda _{1}Y''(y)&=-\mu _{1}Y(y)\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}Y''(y)&=-\lambda _{2}Y(y)\\Y^{(4)}(y)&=\mu _{2}Y(y)\\X^{(4)}(x)-2\lambda _{2}X''(x)&=-\mu _{2}X(x)\end{aligned}}}$

que cada uno puede resolverse considerando los casos separados para${\displaystyle \lambda _{i}<0,\lambda _{i}=0,\lambda _{i}>0}$y observando que${\displaystyle \mu _{i}=\lambda _{i}^{2}}$.

En coordenadas curvilíneas ortogonales , aún se puede utilizar la separación de variables, pero con algunas diferencias respecto a las coordenadas cartesianas. Por ejemplo, la regularidad o la periodicidad pueden determinar los autovalores en lugar de las condiciones de contorno. Véase, por ejemplo, el caso de los armónicos esféricos .

Para muchas EDP, como la ecuación de onda, la ecuación de Helmholtz y la ecuación de Schrödinger, la aplicabilidad de la separación de variables es resultado del teorema espectral . En algunos casos, la separación de variables puede no ser posible. La separación de variables puede ser posible en algunos sistemas de coordenadas pero no en otros, ^{[ 2 ]} y qué sistemas de coordenadas permiten la separación depende de las propiedades de simetría de la ecuación. ^{[ 3 ]} A continuación se presenta un esquema de un argumento que demuestra la aplicabilidad del método a ciertas ecuaciones lineales, aunque el método preciso puede variar en casos individuales (por ejemplo, en la ecuación biarmónica anterior).

Consideremos un problema de valores iniciales y de contorno para una función.${\displaystyle u(x,t)}$en${\displaystyle D=\{(x,t):x\in [0,l],t\geq 0\}}$en dos variables:

${\displaystyle (Tu)(x,t)=(Su)(x,t)}$

dónde${\displaystyle T}$es un operador diferencial con respecto a${\displaystyle x}$y${\displaystyle S}$es un operador diferencial con respecto a${\displaystyle t}$con datos de límites:

${\displaystyle (Tu)(0,t)=(Tu)(l,t)=0}$para${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle (Su)(x,0)=h(x)}$para${\displaystyle 0\leq x\leq l}$

dónde${\displaystyle h}$es una función conocida.

Buscamos soluciones de la forma${\displaystyle u(x,t)=f(x)g(t)}$. Dividiendo la EDP por${\displaystyle f(x)g(t)}$da

${\displaystyle {\frac {Tf}{f}}={\frac {Sg}{g}}}$

El lado derecho depende únicamente de${\displaystyle x}$y el lado izquierdo solamente en${\displaystyle t}$por lo tanto ambos deben ser iguales a una constante${\displaystyle K}$, lo que da como resultado dos ecuaciones diferenciales ordinarias

${\displaystyle Tf=Kf,Sg=Kg}$

que podemos reconocer como problemas de valores propios para los operadores para${\displaystyle T}$y${\displaystyle S}$. Si${\displaystyle T}$es un operador compacto y autoadjunto en el espacio${\displaystyle L^{2}[0,l]}$junto con las condiciones de contorno relevantes, entonces por el teorema espectral existe una base para${\displaystyle L^{2}[0,l]}$que consta de funciones propias para${\displaystyle T}$. Dejemos que el espectro de${\displaystyle T}$ser${\displaystyle E}$y dejar${\displaystyle f_{\lambda }}$ser una función propia con valor propio${\displaystyle \lambda \in E}$. Entonces, para cualquier función que en cada momento${\displaystyle t}$es de cuadrado integrable con respecto a${\displaystyle x}$, podemos escribir esta función como una combinación lineal de la${\displaystyle f_{\lambda }}$En particular, conocemos la solución.${\displaystyle u}$se puede escribir como

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{\lambda \in E}c_{\lambda }(t)f_{\lambda }(x)}$

Para algunas funciones${\displaystyle c_{\lambda }(t)}$. En la separación de variables, estas funciones vienen dadas por soluciones de${\displaystyle Sg=Kg}$

Por lo tanto, el teorema espectral garantiza que la separación de variables (cuando sea posible) encontrará todas las soluciones.

Para muchos operadores diferenciales, como${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$Podemos demostrar que son autoadjuntos mediante integración por partes. Si bien estos operadores pueden no ser compactos, sus inversos (cuando existen) sí pueden serlo, como en el caso de la ecuación de onda, y estos inversos tienen las mismas autofunciones y autovalores que el operador original (con la posible excepción de cero). ^{[ 4 ]}