ecuación séptica

En álgebra , una ecuación séptica es una ecuación de la forma

${\displaystyle ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,}$

donde a ≠ 0 .

Una función séptica es una función de la forma

${\displaystyle f(x)=ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h\,}$

donde a ≠ 0. En otras palabras, es un polinomio de grado siete. Si a = 0 , entonces f es una función séxtica ( b ≠ 0 ), una función quíntica ( b = 0, c ≠ 0 ), etc.

La ecuación se puede obtener a partir de la función estableciendo f ( x ) = 0 .

Los coeficientes a , b , c , d , e , f , g , h pueden ser números enteros , números racionales , números reales , números complejos o, más generalmente, miembros de cualquier cuerpo o anillo .

Debido a su grado impar, las funciones sépticas se asemejan a las funciones quínticas y cúbicas al graficarse, con la excepción de que pueden presentar máximos y mínimos locales adicionales (hasta tres máximos y tres mínimos). La derivada de una función séptica es una función séxtica , salvo posiblemente cuando la característica del anillo que contiene los coeficientes es divisible por 7.

Algunas ecuaciones de séptimo grado se pueden resolver factorizando en radicales , pero otras ecuaciones sépticas no. Évariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podía resolverse mediante radicales, lo que dio origen al campo de la teoría de Galois . Para dar un ejemplo de una ecuación séptica irreducible pero resoluble, se puede generalizar la ecuación quíntica resoluble de De Moivre para obtener:

${\displaystyle x^{7}+7\alpha x^{5}+14\alpha ^{2}x^{3}+7\alpha ^{3}x+\beta =0\,}$,

donde la ecuación auxiliar es

${\displaystyle y^{2}+\beta y-\alpha ^{7}=0\,}$.

Esto significa que el séptico se obtiene eliminando u y v entre x = u + v , uv + α = 0 y u ⁷ + v ⁷ + β = 0 .

De ello se deduce que las siete raíces del sistema séptico están dadas por

${\displaystyle x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_{2}}}}$

donde ω _k es cualquiera de las 7 raíces séptimas de la unidad . El grupo de Galois de este problema es el grupo resoluble máximo de orden 42. Esto se generaliza fácilmente a cualquier otro grado k , no necesariamente primo.

Otra familia resoluble es,

${\displaystyle x^{7}-2x^{6}+(\alpha +1)x^{5}+(\alpha -1)x^{4}-\alpha x^{3}-(\alpha +5)x^{2}-6x-4=0\,}$

cuyos miembros aparecen en la base de datos de campos numéricos de Kluner . Su discriminante es

${\displaystyle \Delta =-4^{4}\left(4\alpha ^{3}+99\alpha ^{2}-34\alpha +467\right)^{3}\,}$

El grupo de Galois de estos sépticos es el grupo diedral de orden 14.

La ecuación séptica general puede resolverse con los grupos de Galois alternantes o simétricos A ₇ o S ₇ . ^{[ 1 ]} Dichas ecuaciones requieren funciones hiperelípticas y funciones theta asociadas de género 3 para su solución. ^{[ 1 ]} Sin embargo, estas ecuaciones no fueron estudiadas específicamente por los matemáticos del siglo XIX que estudiaban las soluciones de ecuaciones algebraicas, porque las soluciones de las ecuaciones séxticas ya estaban en los límites de sus capacidades computacionales sin computadoras. ^{[ 1 ]}

Las ecuaciones sépticas son las ecuaciones de orden más bajo para las cuales no es obvio que sus soluciones puedan obtenerse componiendo funciones continuas de dos variables. El decimotercer problema de Hilbert fue la conjetura de que esto no era posible en el caso general para ecuaciones de séptimo grado. Vladimir Arnold lo resolvió en 1957, demostrando que siempre era posible. ^{[ 2 ]} Sin embargo, el propio Arnold consideraba que el verdadero problema de Hilbert era si, para las ecuaciones sépticas, sus soluciones podían obtenerse superponiendo funciones algebraicas de dos variables. ^{[ 3 ]} A fecha de 2023, el problema sigue abierto.

Existen siete grupos de Galois para los sépticos: ^{[ 4 ]}

• Las ecuaciones sépticas resolubles mediante radicales tienen un grupo de Galois que es o bien el grupo cíclico de orden 7, o bien el grupo diedral de orden 14, o bien un grupo metacíclico de orden 21 o 42. ^{[ 1 ]}
• El grupo de Galois L (3, 2) (de orden 168) se forma mediante las permutaciones de las 7 etiquetas de los vértices que preservan las 7 "líneas" en el plano de Fano . ^{[ 1 ]} Las ecuaciones sépticas con este grupo de Galois L (3, 2) requieren funciones elípticas , pero no hiperelípticas, para su solución. ^{[ 1 ]}
• De lo contrario, el grupo de Galois de un séptico es el grupo alternante de orden${\displaystyle 7!/2=2520}$o el grupo simétrico de orden${\displaystyle 7!=5040.}$

El cuadrado del área de un pentágono cíclico es una raíz de una ecuación séptica cuyos coeficientes son funciones simétricas de los lados del pentágono. ^{[ 5 ]} Lo mismo ocurre con el cuadrado del área de un hexágono cíclico . ^{[ 6 ]}

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