Hispanopedia WikiEn teoría de grupos , un grupo metacíclico es una extensión de un grupo cíclico mediante un grupo cíclico. De forma equivalente, un grupo metacíclico es un grupotener un subgrupo normal cíclico, de tal manera que el cocienteTambién es cíclico.
Los grupos metacíclicos son metabelianos y supersolubles . En particular, son solubles .
Definición
Un grupoes metacíclico si tiene un subgrupo normal.de tal manera queyambos son cíclicos. [ 1 ]
En algunos libros más antiguos se utiliza una definición no equivalente: un grupoes metacíclico si el subgrupo conmutadoryson ambos cíclicos. [ 2 ] Esta es una propiedad estrictamente más fuerte que la utilizada en este artículo: por ejemplo, el grupo de cuaterniones no es metacíclico según esta definición.
![{\displaystyle [G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddf7a724a331d1e12ffa6571ba246ebf08f1335)
![{\displaystyle G/[G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169489000a5a3370a8d0a56d35924011e53b6ab1)
Ejemplos
- Cualquier grupo cíclico es metacíclico.
- El producto directo o semidirecto de dos grupos cíclicos es metacíclico. Estos incluyen los grupos diedrales y los grupos cuasidiédricos .
- Los grupos dicíclicos son metacíclicos. (Cabe señalar que un grupo dicíclico no es necesariamente un producto semidirecto de dos grupos cíclicos).
- Todo grupo finito de orden libre de cuadrados es metacíclico.
- En términos más generales, todo grupo Z es metacíclico. Un grupo Z es un grupo finito cuyos subgrupos de Sylow son cíclicos.
Referencias
- ^ Kida, Masanari (2012). «Sobre extensiones metacíclicas» . Journal de Théorie des Nombres de Burdeos . 24 (2): 339– 353. ISSN 1246-7405 .
- ↑ Hall, Marshall Jr. (1959). La teoría de los grupos . Nueva York: Macmillan. MR 0103215 .
Categorías :
- Grupos resolubles
- Esbozos de álgebra abstracta
