Mapa de cobertura de secuencias

En matemáticas , específicamente en topología , un mapa de recubrimiento de secuencia es cualquiera de una clase de mapas entre espacios topológicos cuyas definiciones relacionan de alguna manera secuencias en el codominio con secuencias en el dominio . Los ejemplos incluyen mapas de cociente secuencial , recubrimientos de secuencia , recubrimientos de 1 secuencia y recubrimientos de 2 secuencias . ^{[1] [2] [3] [4]} Estas clases de mapas están estrechamente relacionadas con los espacios secuenciales . Si el dominio y/o el codominio tienen ciertas propiedades topológicas adicionales (a menudo, que los espacios sean de Hausdorff y primer contable es más que suficiente), entonces estas definiciones se vuelven equivalentes a otras clases de mapas bien conocidas, como los mapas abiertos o los mapas de cociente , por ejemplo. En estas situaciones, las caracterizaciones de tales propiedades en términos de secuencias convergentes podrían proporcionar beneficios similares a los proporcionados por, digamos por ejemplo, la caracterización de la continuidad en términos de continuidad secuencial o la caracterización de la compacidad en términos de compacidad secuencial (siempre que tales caracterizaciones sean válidas).

Un subconjunto de se dice que es secuencialmente abierto en si siempre que una secuencia en converge (en ) a algún punto que pertenece a entonces esa secuencia es necesariamente eventualmente en (es decir, como máximo un número finito de puntos en la secuencia no pertenecen a ). El conjunto de todos los subconjuntos secuencialmente abiertos de forma una topología en que es más fina que la topología dada de Por definición, se llama espacio secuencial si Dada una secuencia en y un punto en si y solo si en Además, es la topología más fina en para la cual se cumple esta caracterización de convergencia de secuencia en . ${\estilo de visualización S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\estilo de visualización S,}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau =\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ).}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle x\en X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet}\to x}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x_{\bullet}\to x}$${\displaystyle (X,\nombre del operador {SeqOpen} (X,\tau )).}$${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle (X,\tau )}$

Una función se llama secuencialmente continua si es continua , lo que sucede si y solo si para cada secuencia en y cada si en entonces necesariamente en Toda función continua es secuencialmente continua aunque, en general, la inversa puede no cumplirse. De hecho, un espacio es un espacio secuencial si y solo si tiene la siguiente propiedad universal para espacios secuenciales : ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle f:(X,\nombre del operador {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\nombre del operador {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$${\displaystyle x_{\bullet}=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle x\en X,}$${\displaystyle x_{\bullet}\to x}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$${\displaystyle (Y,\sigma ).}$${\displaystyle (X,\tau )}$

Para cada espacio topológico y cada aplicación, la aplicación es continua si y sólo si es secuencialmente continua.${\displaystyle (Y,\sigma )}$${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$

El cierre secuencial en de un subconjunto es el conjunto que consiste en todos para los cuales existe una sucesión en que converge a en Un subconjunto se llama secuencialmente cerrado en si lo cual sucede si y solo si siempre que una sucesión en converge en a algún punto entonces necesariamente El espacio se llama espacio de Fréchet-Urysohn si para cada subconjunto lo cual sucede si y solo si cada subespacio de es un espacio secuencial. Todo espacio primer numerable es un espacio de Fréchet-Urysohn y por lo tanto también un espacio secuencial. Todos los espacios pseudometrizables , espacios metrizables y espacios segundo numerables son primer numerables. ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}S}$${\displaystyle x\en X}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S=\operatorname {scl} _{(X,\tau )}S,}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x\en X}$${\displaystyle x\en S.}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \nombreoperador {scl} _{X}S~=~\nombreoperador {cl} _{X}S}$${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle (X,\tau )}$

Una secuencia en un conjunto es por definición una función cuyo valor en se denota por (aunque la notación usual usada con funciones, como paréntesis o composición, podría usarse en ciertas situaciones para mejorar la legibilidad). Declaraciones como "la secuencia es inyectiva " o "la imagen (es decir, rango) de una secuencia es infinita", así como otra terminología y notación que se define para funciones, pueden aplicarse a secuencias. Se dice que una secuencia es una subsecuencia de otra secuencia si existe una función estrictamente creciente (posiblemente denotada por en su lugar) tal que para cada donde esta condición puede expresarse en términos de composición de funciones como: Como es usual, si se declara (como por definición) una subsecuencia de entonces debería asumirse inmediatamente que es estrictamente creciente. La notación y significa que la secuencia tiene un valor en el conjunto .${\displaystyle x_{\bullet}=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle x_{\bullet}:\mathbb {N} \to X}$${\displaystyle i\in \mathbb {N}}$$Estilo de visualización x_{i}}$${\displaystyle x_{\bullet}(i)}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet},}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle \nombre del operador {Im} x_{\bullet }}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle s_{\bullet}}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle l_{\bullet}:\mathbb {N} \a \mathbb {N} }$${\displaystyle l_{\bullet}=\left(l_{k}\right)_{k=1}^{\infty}}$${\displaystyle s_{k}=x_{l_{k}}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ ${\estilo de visualización \circ}$${\displaystyle s_{\bullet}=x_{\bullet}\circ l_{\bullet}.}$${\displaystyle x_{l_{\bullet}}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty}}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle l_{\bullet}:\mathbb {N} \a \mathbb {N} }$${\displaystyle x_{\bullet}\subseteq S}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }\subseteq S}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\estilo de visualización S.}$

La función se llama a${\displaystyle f:X\to Y}$secuencia que cubre si para cada secuencia convergenteen existe una secuenciatal que se llama${\displaystyle y_{\bullet}}$${\estilo de visualización Y,}$${\displaystyle x_{\bullet}\subseteq X}$${\displaystyle y_{\bullet}=f\circ x_{\bullet}.}$1-secuencia que cubre si para cadaexiste algunatal que cada secuenciaque converge aenexiste una secuenciatal queyconverge aen Es una${\displaystyle y\en Y}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$${\displaystyle y_{\bullet}\subseteq Y}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle (Y,\sigma ),}$${\displaystyle x_{\bullet}\subseteq X}$${\displaystyle y_{\bullet}=f\circ x_{\bullet}}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$Un recubrimiento de 2 secuencias sies sobreyectivo y también para cadaunade las secuenciasy converge aenexiste una secuenciatal queyconverge aen Un mapaes unrecubrimiento compactosi para cada compactoexiste algún subconjunto compactotal que${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\en Y}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y),}$${\displaystyle y_{\bullet}\subseteq Y}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle (Y,\sigma ),}$${\displaystyle x_{\bullet}\subseteq X}$${\displaystyle y_{\bullet}=f\circ x_{\bullet}}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle K\subseteq Y}$${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle f(C)=K.}$

En analogía con la definición de continuidad secuencial, un mapa se denomina${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$Mapa de cocientes secuencial si

${\displaystyle f:(X,\nombre del operador {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\nombre del operador {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$

es un mapa cociente , ^[5] lo cual sucede si y solo si para cualquier subconjunto es secuencialmente abierto si y solo si esto es cierto para en Los mapas cocientes secuenciales fueron introducidos en Boone & Siwiec 1976 quienes los definieron como arriba. ^[5]${\displaystyle S\subseteq Y,}$ ${\estilo de visualización S}$${\displaystyle (Y,\sigma )}$$estilo de visualización f^{-1}(S)}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

Toda función cociente secuencial es necesariamente sobreyectiva y secuencialmente continua, aunque puede no serlo. Si es una sobreyección secuencialmente continua cuyo dominio es un espacio secuencial , entonces es una función cociente si y solo si es un espacio secuencial y es una función cociente secuencial. ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle (Y,\sigma )}$${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$

Llamemos a un espacio secuencialmente Hausdorff si es un espacio de Hausdorff . ^[6] De manera análoga, una "versión secuencial" de cualquier otro axioma de separación puede definirse en términos de si el espacio lo posee o no. Todo espacio de Hausdorff es necesariamente secuencialmente Hausdorff. Un espacio secuencial es Hausdorff si y solo si es secuencialmente Hausdorff. ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle (Y,\nombre del operador {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$${\displaystyle (Y,\nombre del operador {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$

Si es una sobreyección secuencialmente continua, entonces asumiendo que es secuencialmente Hausdorff, las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle (Y,\sigma )}$

1. ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$es cociente secuencial.
2. Siempre que hay una secuencia convergente en entonces existe una secuencia convergente en tal que y es una subsecuencia de${\displaystyle y_{\bullet }\a y}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle x_{\bullet}\to x}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f\circ x_{\bullet}}$${\displaystyle y_{\bullet}.}$
3. Siempre que hay una secuencia convergente en entonces existe una secuencia convergente en tal que es una subsecuencia de${\displaystyle y_{\bullet}}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle f\circ x_{\bullet}}$${\displaystyle y_{\bullet}.}$
   • Esta afirmación difiere de (2) anterior sólo en que no hay requisitos impuestos a los límites de las secuencias (lo que se convierte en una diferencia importante sólo cuando no es secuencialmente Hausdorff).${\estilo de visualización Y}$
   • Si es una sobreyección continua sobre un espacio secuencialmente compacto , entonces esta condición se cumple incluso si no es secuencialmente Hausdorff.${\displaystyle f:X\to Y}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización Y}$

Si se eliminara el supuesto de que es secuencialmente Hausdorff, entonces la afirmación (2) aún implicaría las otras dos afirmaciones, pero ya no se garantizaría que la caracterización anterior se mantuviera (sin embargo, si se requiriera que los puntos en el codominio fueran secuencialmente cerrados, entonces cualquier mapa secuencialmente cociente necesariamente satisfaría la condición (3)). Esto sigue siendo cierto incluso si el requisito de continuidad secuencial se fortaleciera para requerir continuidad (ordinaria). En lugar de usar la definición original, algunos autores definen "mapa secuencialmente cociente" para significar una sobreyección continua que satisface la condición (2) o, alternativamente, la condición (3). Si el codominio es secuencialmente Hausdorff, entonces estas definiciones difieren de la original solo en el requisito agregado de continuidad (en lugar de simplemente requerir continuidad secuencial). ${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$

El mapa se llama${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$presecuencial si para cada secuencia convergenteental queno es eventualmente igualal conjuntonoessecuencialmente cerrado en^[5]donde este conjunto también puede describirse como: ${\displaystyle y_{\bullet }\a y}$${\displaystyle (Y,\sigma )}$${\displaystyle y_{\bullet}}$${\estilo de visualización y,}$${\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)}$${\displaystyle (X,\tau ),}$

${\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)~=~f^{-1}\left(\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus \{y\}\right)~=~f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus f^{-1}(y)}$

De manera equivalente, es presecuencial si y solo si para cada secuencia convergente en tal que el conjunto no esté secuencialmente cerrado en${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle y_{\bullet }\to y}$${\displaystyle (Y,\sigma )}$${\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y\setminus \{y\},}$${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

Una función sobreyectiva entre espacios de Hausdorff es secuencialmente cociente si y sólo si es secuencialmente continua y una función presecuencial. ^[5]${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$

Si es una sobreyección continua entre dos espacios de Hausdorff contables primeros , entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas: ^{[7] [8] [9 ] [ 10] [11] [12] [3] [4]}${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$

• ${\displaystyle f}$está casi abierto si y sólo si es una cubierta de 1 secuencia.
  • Una función casi abierta es una función sobreyectiva con la propiedad de que para cada existe algún tal que es un punto de apertura para lo que por definición significa que para cada entorno abierto de es un entorno de en${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y.}$
• ${\displaystyle f}$es un mapa abierto si y sólo si es una cobertura de 2 secuencias.
• Si es un mapa de cobertura compacto entonces es un mapa cociente.${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$
• Los siguientes son equivalentes:
  1. ${\displaystyle f}$es un mapa de cocientes.
  2. ${\displaystyle f}$es un mapa de cociente secuencial.
  3. ${\displaystyle f}$es una secuencia que cubre.
  4. ${\displaystyle f}$es un mapa pseudoabierto.
     • Una función se denomina pseudoabierta si para cada uno de los vecindarios abiertos de (es decir, un subconjunto abierto tal que ), necesariamente pertenece al interior (tomado en ) de${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq U}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(U).}$

  y si además tanto como son espacios métricos separables entonces a esta lista se puede añadir: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

  5. ${\displaystyle f}$es un mapa de cociente hereditario .

La siguiente es una condición suficiente para que una sobreyección continua sea secuencialmente abierta, lo que con suposiciones adicionales, da como resultado una caracterización de funciones abiertas . Suponga que es una sobreyección continua de un espacio regular a un espacio de Hausdorff Si la restricción es secuencialmente cociente para cada subconjunto abierto de entonces las funciones abiertas de los subconjuntos de a los subconjuntos abiertos secuencialmente de En consecuencia, si y también son espacios secuenciales , entonces es una función abierta si y solo si es secuencialmente cociente (o equivalentemente, cociente ) para cada subconjunto abierto de${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X.}$

Dado un elemento en el codominio de una función continua (no necesariamente sobreyectiva) lo siguiente da una condición suficiente para pertenecer a la imagen de : Se dice que una familia de subconjuntos de un espacio topológico es localmente finita en un punto si existe algún entorno abierto de tal que el conjunto sea finito. Supóngase que es una función continua entre dos espacios numerables de Hausdorff y sea Si existe una sucesión en tal que (1) y (2) existe alguna tal que no sea localmente finita en entonces La recíproca es verdadera si no hay ningún punto en el que sea localmente constante ; es decir, si no existe ningún subconjunto abierto no vacío de en el que se restrinja a una función constante. ${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y\in \operatorname {Im} f:=f(X).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left\{B\in {\mathcal {B}}~:~U\cap B\neq \varnothing \right\}}$${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y.}$${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y_{\bullet }\to y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \left\{f^{-1}\left(y_{i}\right)~:~i\in \mathbb {N} \right\}}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle y\in \operatorname {Im} f=f(X).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

Supongamos que es una sobreyección abierta continua de un espacio de primer orden contable sobre un espacio de Hausdorff , sea cualquier subconjunto no vacío, y sea donde denota la clausura de en Entonces, dado cualquier y cualquier secuencia en que converge a , existe una secuencia en que converge a, así como una subsecuencia de tal que para todo En resumen, esto establece que dada una secuencia convergente tal que, entonces, para cualquier otra perteneciente a la misma fibra como, siempre es posible encontrar una subsecuencia tal que pueda ser "elevada" por a una secuencia que converge a${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$${\displaystyle D\subseteq Y}$${\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{Y}D}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle x,z\in f^{-1}(y)}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle f^{-1}(D)}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle z_{\bullet }}$${\displaystyle f^{-1}(D)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle f(z_{k})=f\left(x_{l_{k}}\right)}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq f^{-1}(D)}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle z\in f^{-1}(f(x))}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x_{l_{\bullet }}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle f\circ x_{l_{\bullet }}=\left(f\left(x_{l_{k}}\right)\right)_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z.}$

Lo siguiente muestra que bajo ciertas condiciones, el hecho de que la fibra de una función sea un conjunto numerable es suficiente para garantizar la existencia de un punto de apertura . Si es una sucesión que cubre desde un espacio secuencial de Hausdorff hasta un espacio numerable de Hausdorff y si es tal que la fibra es un conjunto numerable, entonces existe algún tal que es un punto de apertura para En consecuencia, si es una función cociente entre dos espacios numerables de Hausdorff y si cada fibra de es numerable, entonces es una función casi abierta y, en consecuencia, también una 1-secuencia que cubre. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f:X\to Y.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:X\to Y}$

• Espacio de Fréchet-Urysohn  – Propiedad del espacio topológico
• Mapa abierto  : una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Mapa perfecto  – Mapa sobreyectivo cerrado continuo, cada una de cuyas fibras son también conjuntos compactos
• Mapa propio  – Mapa entre espacios topológicos con la propiedad de que la preimagen de cada compacto es compacto
• Espacio secuencial  – Espacio topológico caracterizado por secuencias
• Espacio secuencialmente compacto  : espacio topológico donde cada secuencia tiene una subsecuencia convergente