Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias

En matemáticas , el método de series de potencias se utiliza para buscar una solución en serie de potencias para ciertas ecuaciones diferenciales . En general, dicha solución supone una serie de potencias con coeficientes desconocidos y luego sustituye esa solución en la ecuación diferencial para hallar una relación de recurrencia para los coeficientes.

Consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden.$${\displaystyle a_{2}(z)f''(z)+a_{1}(z)f'(z)+a_{0}(z)f(z)=0.}$$ Supongamos que a ₂ es distinto de cero para todo z . Entonces podemos dividir en todo momento para obtener $${\displaystyle f''+{a_{1}(z) \over a_{2}(z)}f'+{a_{0}(z) \over a_{2}(z)}f=0.}$$ Supongamos además que a ₁ / a ₂ y a ₀ / a ₂ son funciones analíticas .

El método de series de potencias requiere la construcción de una solución de series de potencias. $${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}.}$$

Si a ₂ es cero para algún z , entonces el método de Frobenius , una variación de este método, es adecuado para tratar los llamados " puntos singulares ". El método funciona de forma análoga para ecuaciones de orden superior, así como para sistemas.

Analicemos la ecuación diferencial de Hermite , $${\displaystyle f''-2zf'+\lambda f=0;\;\lambda =1}$$

Podemos intentar construir una solución en serie. $${\displaystyle {\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\\f'&=\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}\\f''&=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}\end{alineado}}}$$

Sustituyendo estos en la ecuación diferencial $${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-2z\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}=0\\=&\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\end{aligned}}}$$

Realizar un cambio en la primera suma $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\\&=2A_{2}+\sum _{k=1}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}z^{k}\\&=2A_{2}+A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}\right)z^{k}\end{aligned}}}$$

Si esta serie es una solución, entonces todos estos coeficientes deben ser cero, por lo que tanto para k = 0 como para k > 0: $${\displaystyle (k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}=0}$$

Podemos reorganizar esto para obtener una relación de recurrencia para A _{k +2} . $${\displaystyle (k+2)(k+1)A_{k+2}=-(-2k+1)A_{k}}$$$${\displaystyle A_{k+2}={(2k-1) \over (k+2)(k+1)}A_{k}}$$

Ahora tenemos $${\displaystyle A_{2}={-1 \over (2)(1)}A_{0}={-1 \over 2}A_{0},\,A_{3}={1 \over (3)(2)}A_{1}={1 \over 6}A_{1}}$$

Podemos determinar A ₀ y A ₁ si existen condiciones iniciales, es decir, si tenemos un problema de valor inicial .

Entonces tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{4}&={1 \over 4}A_{2}=\left({1 \over 4}\right)\left({-1 \over 2}\right)A_{0}={-1 \over 8}A_{0}\\[8pt]A_{5}&={1 \over 4}A_{3}=\left({1 \over 4}\right)\left({1 \over 6}\right)A_{1}={1 \over 24}A_{1}\\[8pt]A_{6}&={7 \over 30}A_{4}=\left({7 \over 30}\right)\left({-1 \over 8}\right)A_{0}={-7 \over 240}A_{0}\\[8pt]A_{7}&={3 \over 14}A_{5}=\left({3 \over 14}\right)\left({1 \over 24}\right)A_{1}={1 \over 112}A_{1}\end{aligned}}}$$ y la solución en serie es $${\displaystyle {\begin{aligned}f&=A_{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+A_{2}z^{2}+A_{3}z^{3}+A_{4}z^{4}+A_{5}z^{5}+A_{6}z^{6}+A_{7}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{1 \over 24}A_{1}z^{5}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+{1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+A_{1}z+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{1 \over 24}A_{1}z^{5}+{1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \end{aligned}}}$$ que podemos descomponer en la suma de dos soluciones en serie linealmente independientes: $${\displaystyle f=A_{0}\left(1+{-1 \over 2}z^{2}+{-1 \over 8}z^{4}+{-7 \over 240}z^{6}+\cdots \right)+A_{1}\left(z+{1 \over 6}z^{3}+{1 \over 24}z^{5}+{1 \over 112}z^{7}+\cdots \right)}$$ que puede simplificarse aún más mediante el uso de series hipergeométricas .

El método de series de potencias puede aplicarse a ciertas ecuaciones diferenciales no lineales , aunque con menor flexibilidad. Una amplia clase de ecuaciones no lineales puede resolverse analíticamente mediante el método de Parker-Sochacki . Dado que este método implica una expansión del sistema original de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante ecuaciones auxiliares, no se le denomina simplemente método de series de potencias. El método de Parker-Sochacki se realiza antes del método de series de potencias para que este último sea aplicable a muchos problemas no lineales. Un problema de EDO puede expandirse con variables auxiliares, lo que simplifica el método de series de potencias para un sistema equivalente de mayor tamaño. Expandir el problema de EDO con variables auxiliares produce los mismos coeficientes (ya que la serie de potencias de una función es única), pero a costa de calcular también los coeficientes de las ecuaciones auxiliares. En muchos casos, sin utilizar variables auxiliares, no existe una forma conocida de obtener la serie de potencias para la solución de un sistema; por lo tanto, el método de series de potencias por sí solo es difícil de aplicar a la mayoría de las ecuaciones no lineales.

El método de series de potencias solo proporciona soluciones para problemas de valor inicial (a diferencia de los problemas de contorno ); esto no representa un problema al tratar con ecuaciones lineales, ya que la solución puede arrojar múltiples soluciones linealmente independientes que pueden combinarse (por superposición ) para resolver también problemas de contorno. Otra restricción es que los coeficientes de la serie se especifican mediante una recurrencia no lineal (las no linealidades se heredan de la ecuación diferencial).

Para que el método de solución funcione, al igual que en las ecuaciones lineales, es necesario expresar cada término de la ecuación no lineal como una serie de potencias, de modo que todos los términos puedan combinarse en una sola serie de potencias.

Como ejemplo, consideremos el problema del valor inicial. $${\displaystyle FF''+2F'^{2}+\eta F'=0\quad$$ ;\quad F(1)=0\ ,\ F'(1)=-{\frac {1}{2}}} que describe una solución al flujo impulsado por capilaridad en una ranura. Hay dos no linealidades: el primer y el segundo término involucran productos. Los valores iniciales se dan en${\displaystyle \eta =1}$, lo que sugiere que la serie de potencias debe plantearse de la siguiente manera: $${\displaystyle F(\eta )=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}(\eta -1)^{i}}$$ ya que de esta manera $${\displaystyle \left.{\frac {d^{n}F}{d\eta ^{n}}}\right|_{\eta =1}=n!\ c_{n}}$$ lo que hace que los valores iniciales sean muy fáciles de evaluar. Es necesario reescribir ligeramente la ecuación a la luz de la definición de la serie de potencias, $${\displaystyle FF''+2F'^{2}+(\eta -1)F'+F'=0\quad$$ ;\quad F(1)=0\ ,\ F'(1)=-{\frac {1}{2}}} de modo que el tercer término contiene la misma forma${\displaystyle \eta -1}$Eso se ve reflejado en la serie Power.

La última consideración es qué hacer con los productos; sustituir la serie de potencias daría como resultado productos de series de potencias cuando es necesario que cada término sea su propia serie de potencias. Aquí es donde entra en juego el producto de Cauchy.$${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}\sum _{j=0}^{i}a_{i-j}b_{j}}$$ es útil; sustituir la serie de potencias en la ecuación diferencial y aplicar esta identidad conduce a una ecuación donde cada término es una serie de potencias. Después de muchos reordenamientos, la recurrencia $${\displaystyle \sum _{j=0}^{i}\left((j+1)(j+2)c_{i-j}c_{j+2}+2(i-j+1)(j+1)c_{i-j+1}c_{j+1}\right)+ic_{i}+(i+1)c_{i+1}=0}$$ se obtiene especificando los valores exactos de los coeficientes de la serie. A partir de los valores iniciales,${\displaystyle c_{0}=0}$y${\displaystyle c_{1}=-1/2}$A continuación se utiliza la recurrencia anterior. Por ejemplo, los siguientes coeficientes: $${\displaystyle c_{2}=-{\frac {1}{6}}\quad$$ ;\quad c_{3}=-{\frac {1}{108}}\quad  ;\quad c_{4}={\frac {7}{3240}}\quad  ;\quad c_{5}=-{\frac {19}{48600}}\ \dots }

En este ejemplo se evidencia una limitación de la solución mediante series de potencias. Una solución numérica del problema muestra que la función es suave y siempre decreciente a la izquierda de${\displaystyle \eta =1}$y cero a la derecha. En${\displaystyle \eta =1}$, existe una discontinuidad de pendiente, una característica que la serie de potencias es incapaz de representar, por esta razón la solución en serie continúa decreciendo a la derecha de${\displaystyle \eta =1}$en lugar de volverse repentinamente cero. Sin embargo, es posible que la solución de la serie de potencias se pueda reconstruir como una resuma (como una resuma de Euler ) o una aproximación (como una aproximación de Padé ) para sortear los problemas causados ​​por las singularidades, así como otros problemas como una tasa de convergencia lenta. ^{[ 1 ]}

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