Serpentiles

Una rotación ortogonal que deja el hexágono en la misma orientación (con los lados planos a la izquierda y a la derecha) es de 60°. Hay seis posibles posiciones de rotación ortogonal (360°/60°) del hexágono regular de seis lados. Al examinarlo, 300 tiene simetría rotacional : cualquier rotación de 60° dará como resultado que los mismos lados se unan, por lo que 300 tiene una posición de rotación única. De manera similar, 003 tiene dos posiciones de rotación únicas; una rotación de 60° dará como resultado que lados diferentes se unan mediante las trayectorias, pero una segunda rotación de 60° en la misma dirección dará como resultado que los lados originales se unan nuevamente. De manera similar, 102 y 120 tienen tres posiciones de rotación únicas cada uno, y 021 tiene seis posiciones de rotación únicas.

Rotaciones ortogonales de 003

Orientación 12-34-56

Orientación 23-45-61, después de una rotación ortogonal.

Para describir de forma unívoca cada posición de rotación, imaginemos un sistema de referencia donde cada lado está numerado del 1 al 6 en sentido antihorario. Las trayectorias que conectan los lados pueden describirse como pares enlazados.

Por ejemplo, para 003 arriba, procediendo en sentido antihorario desde el borde inferior derecho, la notación de ruta/par es 12-34-56. Una sola rotación ortogonal de la figura sumará uno (si es en sentido antihorario) o restará uno (si es en sentido horario) a cada número, módulo 6. De esta manera, las rutas vinculadas con una rotación ortogonal (60°) en sentido antihorario cambiarían a 23-45-67, o reescribiendo usando módulo 6, 23-45-61, demostrando que diferentes lados están vinculados con una sola rotación ortogonal. El orden específico dentro de un par y el orden en que se escriben los pares no afecta la configuración. Por ejemplo, 23-45-61 es equivalente a 23-45-16 y 16-23-45. Así, con una segunda rotación ortogonal, que da como resultado 34-56-12, es sencillo demostrar que la segunda rotación ortogonal es equivalente a 12-34-56, la orientación original.

El sistema de referencia también puede numerarse secuencialmente en sentido horario. En ese caso, una rotación en sentido horario incrementaría los valores en 1, mientras que una rotación en sentido antihorario los decrementaría en 1. La orientación del sistema de referencia (horario o antihorario) solo afecta a los cálculos necesarios para rotar la pieza. Asimismo, la elección del origen (qué lado se designa como el primero) del sistema de referencia es arbitraria, pero este permanece fijo durante la rotación.

La descripción de las teselas mediante lados enlazados también incluye implícitamente la notación de Van Ness de tres dígitos. Para cualquier secuencia arbitraria de tres pares AB - CD - EF , la notación de Van Ness se puede recuperar mediante la siguiente fórmula: ${\displaystyle 10^{[min(\left\vert BA\right\vert ,6-\left\vert BA\right\vert )-1]{\bmod {3}}}+10^{[min(\left\vert DC\right\vert ,6-\left\vert DC\right\vert )-1]{\bmod {3}}}+10^{[min(\left\vert FE\right\vert ,6-\left\vert FE\right\vert )-1]{\bmod {3}}}}$

Aunque un polígono regular de seis lados (hexágono) puede cubrir una superficie plana sin dejar huecos, también se puede usar un polígono regular de cuatro lados (cuadrado). El cuadrado con dos caminos que unen sus lados se puede describir de forma similar, usando la notación de dos dígitos yz ; solo hay dos configuraciones posibles. ^{[ 3 ]}

• 4S2P: Polígonos de cuatro lados con dos caminos
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  02 , indicando que los caminos unen dos lados adyacentes
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  20 , indicando que los caminos unen dos lados opuestos

Al igual que en el caso hexagonal, el 20 (donde todos los caminos unen lados opuestos) tiene simetría rotacional. Es evidente que el 02 no tiene simetría rotacional, ya que al girar la ficha 90° en sentido horario o antihorario se unirán lados diferentes. Compárese con la misma ficha girada 90°: Las fichas cuadradas que carecen de simetría rotacional se conocen como fichas de Truchet , como se describe en una memoria de 1704 de Sébastien Truchet titulada "Mémoire sur les combinaisons" y popularizada en 1987 por Cyril Stanley Smith . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Asimismo, un polígono regular de ocho lados (octágono) puede tener cuatro caminos que emparejan los ocho lados, descritos utilizando la notación de Van Ness de manera similar con una notación de cuatro dígitos wxyz . Hay 18 combinaciones distintas: ^{[ 3 ]}

• 8S4P: Polígonos de ocho lados con cuatro caminos
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  0004
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  0022
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  0040
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  0103
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  0121 (a)
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  0121 (b)
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  0202
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  0220
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  0301
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  0400
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  1012
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  1111 (a)
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  1111 (b)
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  1210
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  2002
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  2020
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  2200
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  4000

Al igual que con los ejemplos anteriores de hexágono y cuadrado, el caso que une todos los lados opuestos ( 4000 ) tiene simetría rotacional. Nótese que para el octágono, la notación ya no describe de forma única la configuración de la trayectoria. Hay dos notaciones duplicadas en la galería: 0121 y 1111. El par 1111 son imágenes especulares. La notación de posición rotacional se puede aplicar para distinguir estas teselas; con un marco de referencia numerado en sentido antihorario comenzando desde el borde inferior, 0121 (a) arriba se puede escribir como " 0121 12-36-47-68", que es distinto de 0121 (b): " 0121 12-38-46-57". Del mismo modo, 1111 (a) es " 1111 12-36-48-57", distinto de 1111 (b): " 1111 13-25-48-67". Utilizando aritmética modular (módulo 8), 1111 (a) y (b) pueden rotarse cada uno mediante una rotación ortogonal (45°) en sentido antihorario a las posiciones "15-24-36-78" y "15-68-47-23", respectivamente, demostrando su simetría reflectante emparejada.

Estas baldosas octogonales podrían combinarse con las baldosas cuadradas descritas aquí (rotadas 45° para rellenar los espacios intersticiales) para cubrir completamente una superficie con caminos a través de todos los bordes. ^{[ 6 ]}

La discusión anterior abarcó los casos de polígonos regulares de 4, 6 y 8 lados con un único punto de entrada por lado, y cada lado conectado por un camino. Dado que los caminos conectan dos lados diferentes, el uso de un único punto de entrada por lado requiere polígonos regulares de 2n lados con un número par de lados para garantizar que todos los puntos de entrada estén conectados por caminos. Si existen teselas con un número impar de lados, un número par de puntos de entrada garantizaría igualmente que todos los puntos de entrada estén conectados por caminos.

• 3S3P: Polígonos de tres lados con tres caminos
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  003 (a) 12-34-56
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  003 (b) 16-23-45
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  021 (a) 12-35-46
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  021 (b) 13-26-45
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  102 12-36-45
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  120 15-24-36
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  300 14-25-36

Por ejemplo, un polígono regular de 3 lados ( triángulo equilátero ) podría tener 2 puntos de entrada por lado. Hay 7 combinaciones posibles usando 3 caminos por casilla, como se muestra arriba. ^{[ 3 ]} Aunque la notación de Van Ness se puede aplicar modificándola para contar la adyacencia en lugar de los lados, cada casilla no se describe de forma única mediante la notación de Van Ness, aunque la relación entre los casos 003 (a) y (b) se puede ver inscribiendo un triángulo, como el ejemplo que se muestra aquí. Se podría inscribir un triángulo similar para el caso 021 (a) para demostrar su relación con 021 (b).

Puede que sea más sencillo describir la ficha mediante pares de caminos. En el conjunto de fichas de tres lados con dos puntos de entrada por lado y tres caminos, la numeración comienza desde el punto izquierdo del borde inferior y continúa secuencialmente en sentido contrario a las agujas del reloj.

Una rotación completa hace girar la pieza 120° (=360°/3 lados). La aritmética de rotación se realiza sumando dos, módulo seis. Consideremos la pieza (12-34-56). Al girar la pieza una o más rotaciones completas, a simple vista, no se modifican los puntos que están conectados. Para demostrarlo, una rotación en sentido antihorario da como resultado la configuración (34-56-78), o, después de realizar la aritmética del módulo, (34-56-12), que se puede reordenar a (12-34-56), lo que muestra que una rotación no afecta las trayectorias conectadas y, por lo tanto, hay una posición de rotación distinta para esta pieza. Por otro lado, consideremos la pieza (13-26-45). Las dos primeras rotaciones en sentido antihorario de esta pieza dan como resultado las configuraciones (16-24-35) y (15-23-46), respectivamente, por lo que esta pieza tiene tres posiciones de rotación distintas.

De manera similar, un polígono regular de 4 lados (cuadrado) con 2 puntos de entrada por lado tiene 35 combinaciones potenciales usando 4 caminos por casilla. ^{[ 3 ]} La rotación completa es de 90° y la simetría rotacional se puede determinar sumando 2, módulo 8 de manera similar a como se hizo para el caso del triángulo equilátero mencionado anteriormente. Este conjunto de polígonos de cuatro lados con dos puntos de entrada por lado y cuatro caminos por casilla se utiliza en el juego de mesa comercial Tsuro .

• 4S4P: Polígonos de cuatro lados con cuatro caminos
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  0004 (a) 12-34-56-78
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  0004 (b) 18-23-45-67
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  0022 (a) 12-34-57-68
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  0022 (b) 18-23-46-57
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  0040 (a) 17-24-35-68
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  0040 (b) 17-28-35-46
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  0103 (a) 12-34-58-67
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  0103 (b) 12-38-45-67
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  0121 (a) 12-35-47-68
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  0121 (b) 17-23-46-58
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  0121 (x) 12-38-46-57
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  0121 (y) 17-28-36-45
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  0202 (a) 12-38-47-56
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  0202 (b) 18-27-36-45
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  0220 (a) 16-28-35-47
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  0220 (b) 17-24-36-58
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  0301 (a) 12-36-47-58
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  0301 (b) 16-23-47-58
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  0400 (a) 14-27-36-58
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  0400 (b) 16-25-38-47
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  1012 (a) 12-35-48-67
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  1012 (b) 12-37-45-68
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  1111 (a) 16-28-37-45
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  1111 (b) 13-25-48-67
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  1111 (x) 12-36-48-57
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  1111 (y) 12-37-46-58
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  1210 (a) 13-26-47-58
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  1210 (b) 15-28-36-47
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  2002 (a) 12-37-48-56
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  2002 (b) 18-26-37-45
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  2020 (a) 13-26-48-57
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  2020 (b) 15-28-37-46
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  2200 (a) 16-25-37-48
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  2200 (b) 15-27-36-48
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  4000 15-26-37-48

Relaciones inscritas

0400 (a), inscrito 0400 (b)

1111 (x), inscrito 1111 (a)

En algunos casos, los pares (a) y (b) [o (a) y (x)] se pueden recuperar trazando un cuadrado de forma similar. En otros casos, los conjuntos [(a) y (b)] o [(x) y (y)] son ​​pares simétricos.

Para el caso general donde las teselas son polígonos regulares de n lados con m puntos de entrada por lado, el producto${\displaystyle m\cdot n}$es par, el número de combinaciones distintas se puede calcular como${\displaystyle A(n,m)}$. ^{[ 3 ]}

${\displaystyle A(n,m)={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{n=pq}\varphi (p)\cdot \alpha (p,mq)}$

${\displaystyle \varphi (p)}$es la función totiente de Euler , donde${\displaystyle \varphi (p)=r\prod _{p\mid r}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

${\displaystyle \alpha (p,mq)}$es una función condicional definida como:

${\displaystyle \alpha (p,mq)={\begin{cases}\sum _{0\leq 2j\leq mq}p^{j}{\dbinom {mq}{2j}}(2j-1)&{\text{si }}p{\text{ es par}}\\p^{\frac {mq}{2}}(mq-1)&{\text{si }}p{\text{ es impar}}\end{cases}}}$

Por ejemplo, un decágono de 10 lados con un solo camino por lado (5 caminos en total) tiene 105 combinaciones. ^{[ 3 ]}

(Muchos de los valores de la fuente original aparecen como N/C, lo que significa que no se han calculado) ^{[ 3 ]}

Una partida de Psyche-Paths requiere de uno a seis jugadores. Los jugadores se turnan para colocar fichas. Cada ficha colocada junto a fichas ya colocadas debe continuar el color del/de los camino(s) en el/los borde(s) adyacente(s) existente(s). Se proporcionan seis fichas en blanco como "comodines" y se consideran que continúan cualquier camino adyacente. Se roba una ficha al comienzo de la partida y se coloca en el centro del tablero para "sembrar" el juego. ^{[ 7 ]}

En "Beginner" Psyche-Paths, los jugadores roban una ficha de un conjunto de fichas boca abajo cuando es su turno. Se otorga un punto por cada camino conectado. Si el jugador no puede jugar la ficha o realiza una jugada ilegal, esta se retiene y el jugador es penalizado con una cantidad de puntos igual al número de caminos que pasan por la ficha retenida al final de la partida. ^{[ 7 ]}

En Psyche-Paths "Estándar", de dos a cuatro jugadores roban una mano de seis fichas al inicio del juego. Durante cada turno, los jugadores pueden jugar cualquiera o todas sus fichas, reponiendo su mano hasta tener seis fichas al final de su turno con las fichas boca abajo. Al colocar fichas, se otorgan puntos solo cuando se conectan dos o más extremos de un camino existente. El jugador obtiene una cantidad de puntos igual al número de fichas que contienen el camino de color conectado. Se otorgan tres puntos si el camino se cruza a sí mismo, y la puntuación se duplica si el camino se cierra. No se aplica ninguna penalización por las fichas sobrantes. ^{[ 7 ]} Psyche-Paths "Clásico" es similar a "Estándar", pero añade la regla de que cada movimiento debe resultar en un único camino a través de todas las fichas de ese movimiento. ^{[ 7 ]}

El juego "Solitario" Psyche-Paths no tiene reglas específicas, sino más bien sugerencias, como construir filas alternas de ocho y nueve piezas utilizando movimientos legales. ^{[ 7 ]}

Las fichas cuadradas se utilizan en juegos de conexión como Black Path Game (con un camino de un solo color) y Trax (con caminos de dos colores). Las fichas octogonales con un solo color de camino se utilizan con espacios intermedios y un tablero de juego con enlaces preimpresos para el juego Octiles . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

El juego Serpentiles (2008) fue desarrollado por Brett J. Gilbert ^{[ 10 ]} y publicado por ThinkFun en 2008. ^{[ 11 ]} El juego Serpentiles (2008) incluye 19 fichas de plástico: 4 fichas cuadradas (1×1) y 12 rectangulares (2×1) con un camino impreso verde o azul en cada una, y 3 fichas de nodo cuadradas (1×1) con extremos de camino azul y verde coincidentes. El juego de 2008 también incluye 40 tarjetas de desafío que proporcionan una lista de fichas (incluyendo dos de los nodos) que deben organizarse de manera que se forme un camino contiguo de cada color. ^{[ 12 ]}