Dibujo infantil

En matemáticas , un dessin d'enfant es un tipo de incrustación de grafos que se utiliza para estudiar superficies de Riemann y para proporcionar invariantes combinatorios para la acción del grupo de Galois absoluto de los números racionales . El nombre de estas incrustaciones proviene del francés y significa "dibujo infantil"; su plural es dessins d'enfant , "dibujos infantiles", o dessins d'enfants , "dibujos de niños".

Un dibujo infantil es un grafo cuyos vértices están coloreados alternativamente en blanco y negro, incrustado en una superficie orientada que, en muchos casos, es simplemente un plano . Para que exista la coloración, el grafo debe ser bipartito . Se requiere que las caras de la incrustación sean discos topológicos. La superficie y la incrustación pueden describirse combinatoriamente mediante un sistema de rotación , un ordenamiento cíclico de las aristas que rodean cada vértice del grafo y que describe el orden en que las aristas serían cruzadas por un camino que recorre la superficie en sentido horario en un pequeño bucle alrededor del vértice.

Cualquier dibujo puede dotar a la superficie en la que está incrustado de una estructura de superficie de Riemann. Es natural preguntarse qué superficies de Riemann surgen de esta manera. La respuesta la proporciona el teorema de Belyi , que establece que las superficies de Riemann que pueden describirse mediante dibujos son precisamente aquellas que pueden definirse como curvas algebraicas sobre el cuerpo de los números algebraicos . El grupo de Galois absoluto transforma estas curvas particulares entre sí, y por consiguiente, también transforma los dibujos subyacentes.

Para un tratamiento más detallado de este tema, véase Schneps (1994) o Lando y Zvonkin (2004) .

Los números complejos , junto con un punto adicional designado como${\displaystyle \infty }$, forman un espacio topológico conocido como la esfera de Riemann . Cualquier polinomio , y más generalmente cualquier función racional${\displaystyle p(x)/q(x)}$dónde${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son polinomios, transforma la esfera de Riemann mapeándola sobre sí misma. Consideremos, por ejemplo, ^{[ 6 ]} la función racional$${\displaystyle f(x)=-{\frac {(x-1)^{3}(x-9)}{64x}}=1-{\frac {(x^{2}-6x-3)^{2}}{64x}}.}$$

En la mayoría de los puntos de la esfera de Riemann, esta transformación es un homeomorfismo local : mapea un pequeño disco centrado en cualquier punto de forma biyectiva sobre otro disco. Sin embargo, en ciertos puntos críticos , el mapeo es más complicado y mapea un disco centrado en el punto de forma biyectiva.${\displaystyle k}$-a-una forma de su imagen. El número${\displaystyle k}$se conoce como el grado del punto crítico y la imagen transformada de un punto crítico se conoce como un valor crítico . El ejemplo dado anteriormente,${\displaystyle f}$, tiene los siguientes puntos críticos y valores críticos. (También se incluyen algunos puntos de la esfera de Riemann que, si bien no son críticos en sí mismos, se corresponden con uno de los valores críticos; estos se indican con grado uno).

Se puede formar un dibujo infantil a partir de${\displaystyle f}$colocando puntos negros en las preimágenes de 0 (es decir, en 1 y 9), puntos blancos en las preimágenes de 1 (es decir, en${\displaystyle 3\pm 2{\sqrt {3}}}$), y arcos en las preimágenes del segmento de línea [0,  1]. Este segmento de línea tiene cuatro preimágenes, dos a lo largo del segmento de línea de 1 a 9 y dos que forman una curva cerrada simple que se repite desde 1 sobre sí misma, rodeando 0; el dibujo resultante se muestra en la figura.

En la otra dirección, a partir de este dibujo, descrito como un objeto combinatorio sin especificar las ubicaciones de los puntos críticos, se puede formar una superficie de Riemann compacta y un mapeo de esa superficie a la esfera de Riemann, equivalente al mapeo a partir del cual se construyó originalmente el dibujo. Para ello, coloque un punto etiquetado${\displaystyle \infty }$dentro de cada región del dibujo (mostradas como los puntos rojos en la segunda figura), y triangule cada región conectando este punto con los puntos negros y blancos que forman el límite de la región, conectándolo varias veces al mismo punto negro o blanco si aparece varias veces en el límite de la región. Cada triángulo en la triangulación tiene tres vértices etiquetados como 0 (para los puntos negros), 1 (para los puntos blancos) o${\displaystyle \infty }$. Para cada triángulo, sustituya un semiplano , ya sea el semiplano superior por un triángulo que tenga 0, 1 y${\displaystyle \infty }$en sentido antihorario o el semiplano inferior para un triángulo que los tenga en sentido horario, y para cada par de triángulos adyacentes, pegar los semiplanos correspondientes a lo largo de la porción de sus límites indicada por las etiquetas de los vértices. La superficie de Riemann resultante se puede mapear a la esfera de Riemann usando el mapa identidad dentro de cada semiplano. Así, el dibujo infantil formado a partir de${\displaystyle f}$es suficiente para describir${\displaystyle f}$ella misma hasta el biholomorfismo . Sin embargo, esta construcción identifica la superficie de Riemann solo como una variedad con estructura compleja; no le proporciona una geometría uniforme ni construye una incrustación de esta variedad como una curva algebraica en el plano proyectivo complejo , aunque ambas existen siempre.

La misma construcción se aplica de forma más general cuando${\displaystyle X}$es cualquier superficie de Riemann y${\displaystyle f}$es una función de Belyi ; es decir, una función holomorfa${\displaystyle f}$de${\displaystyle X}$a la esfera de Riemann que tiene solo 0, 1 y${\displaystyle \infty }$como valores críticos. Un par${\displaystyle (X,f)}$De este tipo se conoce como par Belyi . De cualquier par Belyi${\displaystyle (X,f)}$se puede formar un dessin d'enfant, dibujado en la superficie${\displaystyle X}$, que tiene sus puntos negros en las preimágenes${\displaystyle f^{-1}(0)}$de 0, sus puntos blancos en las preimágenes${\displaystyle f^{-1}(1)}$de 1, y sus bordes colocados a lo largo de las preimágenes${\displaystyle f^{-1}([0,1])}$del segmento de línea${\displaystyle [0,1]}$. Por el contrario, cualquier diseño infantil sobre cualquier superficie${\displaystyle X}$puede utilizarse para definir instrucciones de pegado para una colección de semiespacios que juntos forman una superficie de Riemann homeomorfa a${\displaystyle X}$Al mapear cada semiplano mediante la identidad a la esfera de Riemann, se obtiene una función de Belyi.${\displaystyle f}$en${\displaystyle X}$y, por lo tanto, conduce a un par de Belyi.${\displaystyle (X,f)}$Cualquier par de Belyi${\displaystyle (X,f)}$que conducen a dibujos infantiles combinatoriamente equivalentes son biholomorfos, y el teorema de Belyi implica que, para cualquier superficie de Riemann compacta${\displaystyle X}$definida sobre los números algebraicos , hay una función de Belyi${\displaystyle f}$y un dibujo infantil que proporciona una descripción combinatoria de ambos${\displaystyle X}$y${\displaystyle f}$.

Un vértice en un dibujo tiene un grado de teoría de grafos , el número de aristas incidentes, que es igual a su grado como punto crítico de la función de Belyi. En el ejemplo anterior, todos los puntos blancos tienen grado dos; los dibujos con la propiedad de que cada punto blanco tiene dos aristas se conocen como limpios , y sus funciones de Belyi correspondientes se llaman puras . Cuando esto sucede, se puede describir el dibujo mediante un grafo incrustado más simple, uno que solo tiene los puntos negros como vértices y que tiene una arista para cada punto blanco con extremos en los dos vecinos negros del punto blanco. Por ejemplo, el dibujo que se muestra en la figura podría dibujarse de forma más simple de esta manera como un par de puntos negros con una arista entre ellos y un bucle en uno de los puntos. Es común dibujar solo los puntos negros de un dibujo limpio y dejar los puntos blancos sin marcar; se puede recuperar el dibujo completo agregando un punto blanco en el punto medio de cada arista del mapa.

Así, cualquier incrustación de un grafo en una superficie en la que cada cara es un disco (es decir, un mapa topológico) da lugar a un dibujo al tratar los vértices del grafo como puntos negros de un dibujo y colocar puntos blancos en el punto medio de cada arista del grafo incrustado. Si un mapa corresponde a una función de Belyi${\displaystyle f}$, su mapa dual (el dibujo formado a partir de las preimágenes del segmento de línea${\displaystyle [1,\infty ]}$) corresponde al inverso multiplicativo${\displaystyle 1/f}$. ^{[ 7 ]}

Un dibujo que no está limpio se puede transformar en un dibujo limpio en la misma superficie, recoloreando todos sus puntos de negro y agregando nuevos puntos blancos en cada uno de sus bordes. La transformación correspondiente de pares de Belyi es reemplazar una función de Belyi.${\displaystyle \beta }$mediante la función Belyi pura${\displaystyle \gamma =4\beta (1-\beta )}$. Se pueden calcular los puntos críticos de${\displaystyle \gamma }$directamente de esta fórmula:${\displaystyle \gamma ^{-1}(0)=\beta ^{-1}(0)\cup \beta ^{-1}(1)}$,${\displaystyle \gamma ^{-1}(\infty )=\beta ^{-1}(\infty )}$, y${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)=\beta ^{-1}({\tfrac {1}{2}})}$. De este modo,${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)}$es la preimagen bajo${\displaystyle \beta }$del punto medio del segmento de línea${\displaystyle [0,1]}$y los bordes del dibujo formados a partir de${\displaystyle \gamma }$subdividir los bordes del dibujo formado a partir de${\displaystyle \beta }$.

Si se interpreta un dibujo limpio como un mapa, un dibujo arbitrario es un hipermapa : es decir, un dibujo de un hipergrafo en el que los puntos negros representan vértices y los puntos blancos representan hiperaristas.

Los cinco sólidos platónicos —el tetraedro , el cubo , el octaedro , el dodecaedro y el icosaedro— , vistos como superficies bidimensionales, poseen la propiedad de que cualquier bandera (una terna formada por un vértice, una arista y una cara que se intersecan) puede transformarse en cualquier otra bandera mediante una simetría de la superficie. De forma más general, una aplicación incrustada en una superficie con la misma propiedad, es decir, que cualquier bandera puede transformarse en cualquier otra bandera mediante una simetría, se denomina aplicación regular .

Si se utiliza un mapa regular para generar un dibujo limpio, y el dibujo resultante se utiliza para generar una superficie de Riemann triangulada, entonces los bordes de los triángulos se encuentran a lo largo de las líneas de simetría de la superficie, y las reflexiones a través de esas líneas generan un grupo de simetría llamado grupo triangular , para el cual los triángulos forman los dominios fundamentales. ^{[ 8 ]} Por ejemplo, la figura muestra el conjunto de triángulos generados de esta manera a partir de un dodecaedro regular. Cuando el mapa regular se encuentra en una superficie cuyo género es mayor que uno, el recubrimiento universal de la superficie es el plano hiperbólico , y el grupo triangular en el plano hiperbólico formado a partir de la triangulación elevada es un grupo fuchsiano (cocompacto) que representa un conjunto discreto de isometrías del plano hiperbólico. En este caso, la superficie inicial es el cociente del plano hiperbólico por un subgrupo de índice finito Γ en este grupo.

Por el contrario, dada una superficie de Riemann que es un cociente de una${\displaystyle (2,3,n)}$teselado (un teselado de la esfera, el plano euclidiano o el plano hiperbólico mediante triángulos con ángulos${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$,${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$, y${\displaystyle {\tfrac {\pi }{n}}}$), el dibujo asociado es el grafo de Cayley dado por los generadores de orden dos y orden tres del grupo, o equivalentemente, el teselado de la misma superficie por${\displaystyle n}$-gonos que se encuentran tres por vértice. Los vértices de este teselado dan puntos negros del dibujo, los centros de las aristas dan puntos blancos y los centros de las caras dan los puntos sobre el infinito.

Los grafos bipartitos más simples son los árboles . Cualquier incrustación de un árbol tiene una única región y, por lo tanto, según la fórmula de Euler, se encuentra en una superficie esférica. El par de Belyi correspondiente forma una transformación de la esfera de Riemann que, si se coloca el polo en${\displaystyle \infty }$, puede representarse como un polinomio . Recíprocamente, cualquier polinomio con 0 y 1 como sus valores críticos finitos forma una función de Belyi de la esfera de Riemann a sí misma, que tiene un único punto crítico de valor infinito y corresponde a un dessin d'enfant que es un árbol. El grado del polinomio es igual al número de aristas en el árbol correspondiente. Dicha función de Belyi polinómica se conoce como polinomio de Shabat , ^{[ 9 ]} en honor a George Shabat .

Por ejemplo, tomemos${\displaystyle p}$ser el monomio${\displaystyle p(x)=x^{d}}$tener solo un punto crítico finito y un valor crítico, ambos cero . Aunque 1 no es un valor crítico para${\displaystyle p}$, todavía es posible interpretar${\displaystyle p}$como una función de Belyi de la esfera de Riemann a sí misma porque todos sus valores críticos se encuentran en el conjunto${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$. El dibujo infantil correspondiente es una estrella que tiene un vértice central negro conectado a${\displaystyle d}$hojas blancas (un grafo bipartito completo)${\displaystyle K_{1,d}}$).

De forma más general, un polinomio${\displaystyle p(x)}$tener dos valores críticos${\displaystyle y_{1}}$y${\displaystyle y_{2}}$puede denominarse polinomio de Shabat. Dicho polinomio puede normalizarse en una función de Belyi, con sus valores críticos en 0 y 1, mediante la fórmula $${\displaystyle q(x)={\frac {p(x)-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}},}$$ pero puede ser más conveniente irse${\displaystyle p}$en su forma no normalizada. ^{[ 10 ]}

Una familia importante de ejemplos de polinomios de Shabat la constituyen los polinomios de Chebyshev de primera especie.${\displaystyle T_{n}(x)}$, que tienen −1 y 1 como valores críticos. Los dibujos correspondientes toman la forma de grafos de caminos , alternando entre vértices blancos y negros, con${\displaystyle n}$aristas en el camino. Debido a la conexión entre los polinomios de Shabat y los polinomios de Chebyshev, los polinomios de Shabat a veces se denominan polinomios de Chebyshev generalizados. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

En general, distintos árboles corresponderán a distintos polinomios de Shabat, al igual que distintas incrustaciones o coloraciones del mismo árbol. Salvo normalización y transformaciones lineales de su argumento, el polinomio de Shabat se determina de forma única a partir de una coloración de un árbol incrustado, pero no siempre es sencillo encontrar un polinomio de Shabat que tenga como su dibujo original un árbol incrustado dado.

El polinomio $${\displaystyle p(x)=x^{3}(x^{2}-2x+a)^{2}\,}$$ puede convertirse en un polinomio de Shabat eligiendo ^{[ 12 ]}$${\displaystyle a={\frac {34\pm 6{\sqrt {21}}}{7}}.}$$ Las dos opciones de${\displaystyle a}$conducen a dos funciones de Belyi${\displaystyle f_{1}}$y${\displaystyle f_{2}}$Estas funciones, aunque estrechamente relacionadas entre sí, no son equivalentes, tal como se describe en los dos árboles no isomorfos que se muestran en la figura.

Sin embargo, dado que estos polinomios se definen sobre el cuerpo de los números algebraicos,${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$, pueden ser transformados por la acción del grupo absoluto de Galois.${\displaystyle \Gamma }$de los números racionales. Un elemento de${\displaystyle \Gamma }$que transforma${\displaystyle {\sqrt {21}}}$a${\displaystyle -{\sqrt {21}}}$se transformará${\displaystyle f_{1}}$en${\displaystyle f_{2}}$y viceversa, y por lo tanto también se puede decir que transforma cada uno de los dos árboles mostrados en la figura en el otro árbol. De manera más general, debido al hecho de que los valores críticos de cualquier función de Belyi son los racionales puros 0, 1 y${\displaystyle \infty }$Estos valores críticos no se ven afectados por la acción de Galois, por lo que esta acción transforma pares de Belyi en otros pares de Belyi. Se puede definir una acción de${\displaystyle \Gamma }$en cualquier dibujo infantil mediante la acción correspondiente en pares de Belyi; esta acción, por ejemplo, permuta los dos árboles que se muestran en la figura.

Debido al teorema de Belyi, la acción de${\displaystyle \Gamma }$en dibujos es fiel (es decir, cada dos elementos de${\displaystyle \Gamma }$definir diferentes permutaciones en el conjunto de dessins), ^{[ 13 ]} por lo que el estudio de dessins d'enfants puede decirnos mucho sobre${\displaystyle \Gamma }$en sí mismo. A esta luz, es de gran interés comprender qué diseños pueden transformarse unos en otros por la acción de${\displaystyle \Gamma }$y que puede que no. Por ejemplo, se puede observar que los dos árboles mostrados tienen las mismas secuencias de grados para sus nodos negros y blancos: ambos tienen un nodo negro con grado tres, dos nodos negros con grado dos, dos nodos blancos con grado dos y tres nodos blancos con grado uno. Esta igualdad no es una coincidencia: siempre que${\displaystyle \Gamma }$Si un dibujo se transforma en otro, ambos tendrán la misma secuencia de grados. La secuencia de grados es un invariante conocido de la acción de Galois, pero no el único.

El estabilizador de un dibujo es el subgrupo de${\displaystyle \Gamma }$compuesto por elementos de grupo que dejan el dibujo sin cambios. Debido a la correspondencia de Galois entre subgrupos de${\displaystyle \Gamma }$y campos de números algebraicos, el estabilizador corresponde a un campo, el campo de módulos del dessin . Una órbita de un dessin es el conjunto de todos los demás dessin en los que puede transformarse; debido al invariante de grado, las órbitas son necesariamente finitas y los estabilizadores tienen un índice finito . De manera similar, se puede definir el estabilizador de una órbita (el subgrupo que fija todos los elementos de la órbita) y el campo de módulos correspondiente de la órbita, otro invariante del dessin. El estabilizador de la órbita es el subgrupo normal maximal de${\displaystyle \Gamma }$contenido en el estabilizador del dibujo, y el campo de módulos de la órbita corresponde a la extensión normal más pequeña de${\displaystyle \mathbb {Q} }$que contiene el campo de módulos del dibujo. Por ejemplo, para los dos dibujos conjugados considerados en esta sección, el campo de módulos de la órbita es${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$Las dos funciones de Belyi${\displaystyle f_{1}}$y${\displaystyle f_{2}}$de este ejemplo se definen sobre el campo de módulos, pero existen diseños para los cuales el campo de definición de la función de Belyi debe ser mayor que el campo de módulos. ^{[ 14 ]}