Teorema de Sharkovskii

En matemáticas , el teorema de Sharkovskii (también escrito Sharkovsky , Sharkovskiy , Šarkovskii o Sarkovskii ), que lleva el nombre de Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky , quien lo publicó en 1964, es un resultado sobre sistemas dinámicos discretos . ^{[ 1 ]} Una de las implicaciones del teorema es que si un sistema dinámico discreto en la recta real tiene un punto periódico de período  3, entonces debe tener puntos periódicos de todos los demás períodos.

Durante algún intervalo${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$, supongamos que $${\displaystyle f:I\to I}$$ es una función continua . El número${\displaystyle x}$se denomina punto periódico del período${\displaystyle m}$si${\displaystyle f^{(m)}(x)=x}$, dónde${\displaystyle f^{(m)}}$denota la función iterada obtenida por composición de${\displaystyle m}$copias de${\displaystyle f}$. El número${\displaystyle x}$Se dice que tiene el período más corto.${\displaystyle m}$si, además,${\displaystyle f^{(k)}(x)\neq x}$a pesar de${\displaystyle 0<k<m}$El teorema de Sharkovskii se refiere a los posibles períodos mínimos de puntos periódicos de${\displaystyle f}$. Consideremos el siguiente ordenamiento de los enteros positivos , a veces llamado ordenamiento de Sharkovskii: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}3&5&7&9&11&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{0}&\ldots \\3\cdot 2&5\cdot 2&7\cdot 2&9\cdot 2&11\cdot 2&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{1}&\ldots \\3\cdot 2^{2}&5\cdot 2^{2}&7\cdot 2^{2}&9\cdot 2^{2}&11\cdot 2^{2}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{2}&\ldots \\3\cdot 2^{3}&5\cdot 2^{3}&7\cdot 2^{3}&9\cdot 2^{3}&11\cdot 2^{3}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{3}&\ldots \\&\vdots \\\ldots &2^{n}&\ldots &2^{4}&2^{3}&2^{2}&2&1\end{array}}}$$

Consta de:

• los números impares excluyendo${\displaystyle 1}$${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{0}}$en orden creciente ,
• 2 veces los números impares${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{1}}$en orden creciente ,
• 4 veces los números impares${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{2}}$en orden creciente ,
• 8 veces los números impares${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{3}}$,
• etc.${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{m}}$
• Finalmente, las potencias de dos${\displaystyle =2^{n}}$en orden descendente .

Este ordenamiento es un orden total : cada entero positivo aparece exactamente una vez en algún lugar de esta lista. Sin embargo, no es un buen ordenamiento . En un buen ordenamiento, cada subconjunto tendría un elemento inicial, pero en este orden no existe una potencia de dos inicial.

El teorema de Sharkovskii establece que si${\displaystyle f}$tiene un punto periódico de período mínimo${\displaystyle m}$, y${\displaystyle m}$precede${\displaystyle n}$en el orden anterior, entonces${\displaystyle f}$También tiene un punto periódico de período mínimo.${\displaystyle n}$.

Una consecuencia es que si${\displaystyle f}$Si un sistema tiene un número finito de puntos periódicos, entonces todos ellos deben tener periodos que sean potencias de dos. Además, si existe un punto periódico de periodo tres, entonces existen puntos periódicos de todos los demás periodos.

El teorema de Sharkovskii no afirma que existan ciclos estables de esos periodos, sino simplemente que existen ciclos de esos periodos. Para sistemas como el mapa logístico , el diagrama de bifurcación muestra un rango de valores de parámetros para el cual, aparentemente, el único ciclo tiene periodo 3. De hecho, debe haber ciclos de todos los periodos, pero no son estables y, por lo tanto, no son visibles en la imagen generada por computadora.

La suposición de continuidad es importante. Sin esta suposición, la función lineal a trozos discontinua${\displaystyle f:[0,3)\to [0,3)}$definido como: $${\displaystyle f:x\mapsto {\begin{cases}x+1&\mathrm {para\ } 0\leq x<2\\x-2&\mathrm {para\ } 2\leq x<3\end{cases}}}$$ para el cual cada valor tiene un período 3, sería un contraejemplo. Igualmente esencial es la suposición de${\displaystyle f}$estar definido en un intervalo. De lo contrario${\displaystyle f:x\mapsto (1-x)^{-1}}$, que se define en números reales excepto uno:${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{1\},}$y para el cual cada valor distinto de cero tiene un período de 3, sería un contraejemplo.

Sharkovskii también demostró el teorema recíproco: todo conjunto superior del orden anterior es el conjunto de períodos de alguna función continua de un intervalo a sí mismo. De hecho, todos esos conjuntos de períodos se obtienen mediante la familia de funciones.${\displaystyle T_{h}:[0,1]\to [0,1]}$,${\displaystyle x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)}$para${\displaystyle h\in [0,1]}$, excepto por el conjunto vacío de períodos que se logra mediante${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$,${\displaystyle x\mapsto x+1}$. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Por otro lado, con información adicional sobre la estructura combinatoria del mapa de intervalos que actúa sobre los puntos de una órbita periódica, un punto de periodo n puede forzar un periodo 3 (y, por lo tanto, todos los periodos). Es decir, si el tipo de órbita (la permutación cíclica generada por el mapa que actúa sobre los puntos de la órbita periódica) tiene un par de estiramiento, entonces esto implica la existencia de un punto periódico de periodo 3. Se puede demostrar (en un sentido asintótico) que casi todas las permutaciones cíclicas admiten al menos un par de estiramiento, y por lo tanto, casi todos los tipos de órbita implican un periodo 3. ^{[ 5 ]}

Tien-Yien Li y James A. Yorke demostraron en 1975 que la existencia de un ciclo de periodo 3 no solo implica la existencia de ciclos de todos los periodos, sino que además implica la existencia de una infinidad incontable de puntos que nunca se corresponden con ningún ciclo ( puntos caóticos ), una propiedad conocida como periodo tres implica caos . ^{[ 6 ]}

El teorema de Sharkovskii no se aplica directamente a sistemas dinámicos en otros espacios topológicos. Es fácil encontrar una aplicación circular con puntos periódicos de periodo 3 únicamente: basta con una rotación de 120 grados, por ejemplo. Sin embargo, son posibles algunas generalizaciones, que suelen involucrar el grupo de clases de la aplicación del espacio menos una órbita periódica. Por ejemplo, Peter Kloeden demostró que el teorema de Sharkovskii se cumple para aplicaciones triangulares, es decir, aplicaciones para las cuales la componente f _i depende solo de las primeras i componentes x ₁ ,..., x _i . ^{[ 7 ]}

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Sharkovsky" . MathWorld .
• El teorema de Sharkovskii en PlanetMath .
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Misiurewicz, Michal (noviembre de 1997). "Comentarios sobre el teorema de Sharkovsky". The American Mathematical Monthly . 104 (9): 846– 847. doi : 10.1080/00029890.1997.11990727 .
• Keith Burns y Boris Hasselblatt, El teorema de Sharkovsky: una demostración directa natural.
• Scholarpedia: El encargo de Sharkovsky por Aleksandr Nikolayevich Sharkovsky