ecuación del diodo de Shockley

La ecuación del diodo de Shockley , o ley del diodo , que recibe su nombre del coinventor del transistor William Shockley de Bell Labs , modela la relación exponencial corriente-voltaje (I-V) de los diodos semiconductores en polarización directa o inversa de corriente constante moderada :

${\displaystyle I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}-1\right),}$

dónde

${\displaystyle I_{\text{D}}}$es la corriente del diodo,

${\displaystyle I_{\text{S}}}$es la corriente de saturación en polarización inversa (o corriente de escala),

${\displaystyle V_{\text{D}}}$es el voltaje a través del diodo,

${\displaystyle V_{\text{T}}}$es el voltaje térmico y

${\displaystyle n}$es el factor de idealidad , también conocido como factor de calidad , coeficiente de emisión o constante del material .

La ecuación se denomina ecuación del diodo ideal de Shockley cuando el factor de idealidad${\displaystyle n}$es igual a 1, por lo tanto${\displaystyle n}$A veces se omite. El factor de idealidad suele variar de 1 a 2 (aunque en algunos casos puede ser mayor), dependiendo del proceso de fabricación y del material semiconductor . El factor de idealidad se añadió para tener en cuenta las uniones imperfectas observadas en transistores reales, principalmente debido a la recombinación de portadores cuando estos atraviesan la región de agotamiento .

El voltaje térmico${\displaystyle V_{\text{T}}}$se define como:

${\displaystyle V_{\text{T}}={\frac {kT}{q}},}$

dónde

${\displaystyle k}$es la constante de Boltzmann ,

${\displaystyle T}$es la temperatura absoluta de la unión p-n, y

${\displaystyle q}$es la carga elemental (la magnitud de la carga de un electrón ).

Por ejemplo, es aproximadamente 25,852  mV a 300 K (27 °C; 80 °F) .   

La corriente de saturación inversa${\displaystyle I_{\text{S}}}$no es constante para un dispositivo dado, sino que varía con la temperatura; generalmente de forma más significativa que${\displaystyle V_{\text{T}}}$, de modo que${\displaystyle V_{\text{D}}}$típicamente disminuye a medida que${\displaystyle T}$aumenta.

Bajo polarización inversa , el término exponencial de la ecuación del diodo es cercano a 0, por lo que la corriente es cercana a un valor algo constante.${\displaystyle -I_{\text{S}}}$valor de corriente inversa (aproximadamente un picoamperio para diodos de silicio o un microamperio para diodos de germanio, ^{[ 1 ]} aunque esto obviamente es una función del tamaño).

Para voltajes de polarización directa moderados , la exponencial se vuelve mucho mayor que 1, ya que el voltaje térmico es muy pequeño en comparación.${\displaystyle -1}$En la ecuación del diodo, entonces es despreciable, por lo que la corriente directa del diodo será aproximadamente

${\displaystyle I_{\text{S}}e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}.}$

El uso de la ecuación del diodo en problemas de circuitos se ilustra en el artículo sobre modelado de diodos .

La resistencia interna provoca una estabilización de la curva I-V de un diodo real a altas tensiones directas. La ecuación de Shockley no modela este fenómeno, pero añadir una resistencia en serie sí lo hará.

La región de ruptura inversa (de particular interés para los diodos Zener ) no se modela mediante la ecuación de Shockley.

La ecuación de Shockley no modela el ruido (como el ruido de Johnson-Nyquist debido a la resistencia interna o el ruido de disparo ).

La ecuación de Shockley es una relación de corriente constante (estado estacionario) y, por lo tanto, no tiene en cuenta la respuesta transitoria del diodo , que incluye la influencia de su unión interna y capacitancia de difusión y tiempo de recuperación inversa .

Shockley deduce una ecuación para el voltaje a través de una unión pn en un extenso artículo publicado en 1949. ^{[ 2 ]} Posteriormente, proporciona una ecuación correspondiente para la corriente en función del voltaje bajo supuestos adicionales, que es la ecuación que llamamos la ecuación del diodo ideal de Shockley. ^{[ 3 ]} La denomina "una fórmula de rectificación teórica que proporciona la rectificación máxima", con una nota al pie que hace referencia a un artículo de Carl Wagner , Physikalische Zeitschrift 32 , pp.  641–645 (1931).

Para derivar su ecuación para el voltaje, Shockley argumenta que la caída de voltaje total se puede dividir en tres partes:

• la caída del nivel cuasi-Fermi de los huecos desde el nivel del voltaje aplicado en el terminal p hasta su valor en el punto donde el dopaje es neutro (que podemos llamar la unión),
• la diferencia entre el nivel cuasi-Fermi de los huecos en la unión y el de los electrones en la unión,
• la caída del nivel cuasi-Fermi de los electrones desde la unión hasta el terminal n.

Demuestra que el primero y el tercero de estos se pueden expresar como una resistencia multiplicada por la corriente:${\displaystyle I_{\text{D}}R_{1}.}$En cuanto al segundo punto, la diferencia entre los niveles cuasi-Fermi en la unión, afirma que podemos estimar la corriente que fluye a través del diodo a partir de esta diferencia. Señala que la corriente en el terminal p es de huecos, mientras que en el terminal n es de electrones, y la suma de ambas es la corriente total constante. Por lo tanto, la corriente total es igual a la disminución de la corriente de huecos de un lado del diodo al otro. Esta disminución se debe a un exceso de recombinación de pares electrón-hueco sobre la generación de pares electrón-hueco. La tasa de recombinación es igual a la tasa de generación cuando se alcanza el equilibrio, es decir, cuando los dos niveles cuasi-Fermi son iguales. Cuando los niveles cuasi-Fermi no son iguales, la tasa de recombinación es${\displaystyle e^{(\phi _{\text{p}}-\phi _{\text{n}})/V_{\text{T}}}}$veces la tasa de generación. Luego asumimos que la mayor parte de la recombinación en exceso (o disminución de la corriente de huecos) tiene lugar en una capa que se extiende a lo largo de una longitud de difusión de huecos.${\displaystyle L_{\text{p}}}$en el material n y una longitud de difusión de electrones${\displaystyle L_{\text{n}}}$en el material p, y que la diferencia entre los niveles cuasi-Fermi es constante en esta capa en${\displaystyle V_{\text{J}}.}$Entonces encontramos que la corriente total, o la caída en la corriente de huecos, es

${\displaystyle I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{J}}}{V_{\text{T}}}}-1\right),}$

dónde

${\displaystyle I_{\text{S}}=gq(L_{\text{p}}+L_{\text{n}}),}$

y${\displaystyle g}$es la tasa de generación. Podemos resolver para${\displaystyle V_{\text{J}}}$en términos de${\displaystyle I_{\text{D}}}$:

${\displaystyle V_{\text{J}}=V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}}\right),}$

y la caída de voltaje total es entonces

${\displaystyle V=I_{\text{D}}R_{1}+V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}}\right).}$

Cuando asumimos que${\displaystyle R_{1}}$es pequeño, obtenemos${\displaystyle V=V_{\text{J}}}$y la ecuación del diodo ideal de Shockley.

La pequeña corriente que fluye bajo una alta polarización inversa es el resultado de la generación térmica de pares electrón-hueco en la capa. Los electrones fluyen hacia el terminal n y los huecos hacia el terminal p. Las concentraciones de electrones y huecos en la capa son tan bajas que la recombinación es insignificante.

En 1950, Shockley y sus colaboradores publicaron un breve artículo que describía un diodo de germanio que seguía de cerca la ecuación ideal. ^{[ 4 ]}

En 1954, Bill Pfann y W. van Roosbroek (quienes también eran de Bell Telephone Laboratories) informaron que, si bien la ecuación de Shockley era aplicable a ciertas uniones de germanio, para muchas uniones de silicio la corriente (bajo una polarización directa apreciable) era proporcional a${\displaystyle e^{V_{\text{J}}/AV_{\text{T}}},}$donde A tiene un valor tan alto como 2 o 3. ^{[ 5 ]} Este es el factor de idealidad${\displaystyle n}$arriba.

Feynman dio una derivación utilizando el trinquete browniano en The Feynman Lectures on Physics I.46. ^{[ 6 ]}

En 1981, Alexis de Vos y Herman Pauwels demostraron que un análisis más cuidadoso de la mecánica cuántica de una unión, bajo ciertas suposiciones, da una característica de corriente versus voltaje de la forma

${\displaystyle I_{\text{D}}(V)=-qA[F_{i}-2F_{o}(V)],}$

donde A es el área de la sección transversal de la unión, y F _i es el número de fotones entrantes por unidad de área, por unidad de tiempo, con energía sobre la energía de la banda prohibida, y F _o ( V ) son los fotones salientes, dados por ^{[ 7 ]}

${\displaystyle F_{o}(V)=\int _{\nu _{g}}^{\infty }{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu -qV}{kT_{c}}}\right)-1}}{\frac {2\pi \nu ^{2}}{c^{2}}}\,d\nu .}$

El factor de 2 que multiplica el flujo saliente es necesario porque los fotones se emiten desde ambos lados, pero se supone que el flujo entrante proviene de un solo lado. Aunque el análisis se realizó para células fotovoltaicas bajo iluminación, también se aplica cuando la iluminación es simplemente radiación térmica de fondo, siempre que se utilice un factor de 2 también para este flujo entrante. El análisis proporciona una expresión más rigurosa para diodos ideales en general, excepto que supone que la célula es lo suficientemente gruesa como para producir este flujo de fotones. Cuando la iluminación es solo radiación térmica de fondo, la característica es

${\displaystyle I_{\text{D}}(V)=2q[F_{o}(V)-F_{o}(0)].}$

Nótese que, a diferencia de la ley de Shockley, la corriente tiende a infinito cuando el voltaje tiende al voltaje de la brecha hν _g /q . Esto, por supuesto, requeriría un espesor infinito para proporcionar una cantidad infinita de recombinación.

Esta ecuación fue revisada recientemente para tener en cuenta la nueva escala de temperatura en la versión revisada actual.${\displaystyle I_{\text{S}}}$utilizando un modelo reciente ^{[ 8 ]} para diodos Schottky basados ​​en materiales 2D .