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Código corto

Circuito cuántico para codificar un único cúbit lógico con el código de Shor. La letra E indica un error y el resto del circuito a la derecha decodifica el estado. En computació...

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Circuito cuántico para codificar un único cúbit lógico con el código de Shor. La letra E indica un error y el resto del circuito a la derecha decodifica el estado.

En computación cuántica , el código de Shor o código de nueve cúbits de Shor es un código fundamental en la corrección de errores cuánticos que protege la información cuántica contra la decoherencia y los errores operacionales. Fue el primer código de corrección de errores cuánticos, introducido por Peter Shor en 1995. [ 1 ] [ 2 ] Codifica un único cúbit lógico en un sistema de nueve cúbits físicos, lo que permite la corrección simultánea de errores de inversión de bit, inversión de fase o una combinación de ambos en cualquier cúbit físico. [ 2 ] Como el primer código de corrección de errores cuánticos que demostró la tolerancia a fallos en la computación cuántica , el código de Shor marcó un paso crítico hacia el desarrollo de sistemas de computación cuántica fiables.

El código Shor es un ejemplo sencillo de un código Bacon-Shor . Estos códigos tienen la propiedad de que se construyen a partir de operaciones locales y patrones repetitivos, e introducen la capacidad de cambiar la codificación dinámicamente (mientras el circuito está en funcionamiento) de manera tolerante a fallos. [ 3 ]

Descripción

Codificación de estados

Creación de cada bloque. En este diagrama, la puerta Hadamard ( H ) crea un estado|+⟩{\displaystyle |+\rangle }y los otros dos cúbits se concatenan utilizando puertas NOT controladas .

El código de Shor codifica un cúbit lógico en 9 cúbits físicos. Para construir el código, primero transformamos y codificamos un estado.α|0⟩+β|1⟩{\textstyle \alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }a una codificación de tres cúbits, como [ 4 ]|0⟩→|+++⟩{\displaystyle |0\rangle \to |+++\rangle }y|1⟩→|−−−⟩,{\displaystyle |1\rangle \to |---\rangle ,}dónde|±⟩=(|0⟩±|1⟩)/2{\textstyle |\pm \rangle =(|0\rangle \pm |1\rangle )/{\sqrt {2}}}. Para obtener el deseado Shor lógico|0L⟩{\textstyle |0_{\rm {L}}\rangle }y|1L⟩{\textstyle |1_{\rm {L}}\rangle }utilizamos concatenación, es decir, cada uno de los tres cúbits se multiplica en un bloque de tres cúbits, dado por [ 4 ].|0L⟩=122(|000⟩+|111⟩)⊗(|000⟩+|111⟩)⊗(|000⟩+|111⟩){\displaystyle |0_{\rm {L}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )}y|1L⟩=122(|000⟩−|111⟩)⊗(|000⟩−|111⟩)⊗(|000⟩−|111⟩).{\displaystyle |1_{\rm {L}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle ).}

Detección y corrección

Qubits para tres bloques (0,1,2), (3,4,5) y (6,7,8), donde cada bloque está protegido contra errores de bit y los tres bloques están protegidos en conjunto contra un cambio de fase en cualquiera de ellos. Por lo tanto, el código Shor puede corregir cualquier error de bit y/o cambio de fase en cualquier qubit individual. También puede corregir dos errores de bit siempre que ocurran en bloques separados. [ 4 ]

Debido a la discretización de errores, se puede demostrar que cualquier transformación unitaria en un solo cúbit se puede corregir simplemente corrigiendo los errores de inversión de bits e inversión de fase. [ 4 ]

Puertas lógicas

Se pueden definir compuertas lógicas de Pauli para el código de Shor, donde la compuerta lógica Z de Pauli viene dada por

ZL=incógnita⊗incógnita⊗incógnita⊗incógnita⊗incógnita⊗incógnita⊗incógnita⊗incógnita⊗incógnita,{\displaystyle Z_{\mathrm {L} }=X\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X,}

dóndeincógnita{\textstyle X}es la puerta X de Pauli de un solo cúbit. De la misma manera, una puerta X de Pauli lógica viene dada por

incógnitaL=Z⊗Z⊗Z⊗Z⊗Z⊗Z⊗Z⊗Z⊗Z,{\displaystyle X_{\mathrm {L} }=Z\otimes Z\otimes Z\otimes Z\otimes Z\otimes Z\otimes Z\otimes Z\otimes Z,}dóndeZ{\textstyle Z}es la puerta Z de Pauli de un solo qubit. [ 4 ]

umbral de error aleatorio

Según el teorema del umbral, un código de corrección de errores cuánticos puede corregir errores físicos si la tasa de error está por debajo de un cierto umbral. Si p es la probabilidad de que ocurra un error aleatorio en un solo cúbit, el código de Shor falla si dos cúbits se ven afectados, esto ocurre con probabilidad [ 5 ] [ 6 ].PAG2(pag)=1−(1−pag)9−9pag(1−pag)8≈36pag2,{\displaystyle P_{2}(p)=1-(1-p)^{9}-9p(1-p)^{8}\approx 36p^{2},}CuandoPAG2(pag){\textstyle P_{2}(p)}es mayor que p mismo (donde despreciamos los términos con potencia mayor que p 3 ), es mejor no usar el código Shor en absoluto. En este caso, el umbral es aproximadamente p =1/36=2,78%. Sin embargo, incluyendo errores en la corrección de errores propiamente dicha, este valor puede caer a 10 −4 . [ 5 ]

formalismo estabilizador

El código Shor es un código [[9,1,3]] (9 cúbits, 1 cúbit lógico, distancia 3), el último número indica que puede corregir como máximo un único error de cúbit. [ 2 ] En el formalismo del estabilizador , el código Shor tiene 8 generadores (6 comprobaciones de paridad de inversión de bits y 2 de inversión de fase): [ 4 ]

123456789gramo1ZZIIIIIIIgramo2IZZIIIIIIgramo3IIIZZIIIIgramo4IIIIZZIIIgramo5IIIIIIZZIgramo6IIIIIIIZZgramo7incógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnitaIIIgramo8IIIincógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnita{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccccc}&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline g_{1}&Z&Z&I&I&I&I&I&I&I\\g_{2}&I&Z&Z&I&I&I&I&I&I\\g_{3}&I&I&I&Z&Z&I&I&I&I\\g_{4}&I&I&I&I&Z&Z&I&I&I\\g_{5}&I&I&I&I&I&I&Z&Z&I\\g_{6}&I&I&I&I&I&I&I&Z&Z\\g_{7}&X&X&X&X&X&X&I&I&I\\g_{8}&I&I&I&X&X&X&X&X&X\\\end{array}}}

Como el código Shor solo tiene estabilizadores X y estabilizadores Z (no mezcla X y Z en el estabilizador), se considera un código CSS . [ 2 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Shor, Peter W. (1995-10-01). "Esquema para reducir la decoherencia en la memoria de computadoras cuánticas". Physical Review A. 52 ( 4): R2493– R2496. doi : 10.1103/physreva.52.r2493 . ISSN 1050-2947 . 
  2. 1 2 3 4 Williams, Colin P. (2010-12-07). Exploraciones en computación cuántica . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-84628-887-6.
  3. ↑ Devitt, Simon J; Munro, William J; Nemoto, Kae (2013-07-01). "Corrección de errores cuánticos para principiantes" . Reports on Progress in Physics . 76 (7) 076001. arXiv : 0905.2794 . doi : 10.1088/0034-4885/76/7/076001 . ISSN 0034-4885 . 
  4. 1 2 3 4 5 6 Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2010-12-09). Computación cuántica e información cuántica: Edición del 10.º aniversario . Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-49548-6.
  5. 1 2 Herbert, Steven (2026-01-04). Computación cuántica: fundamentos y práctica . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-269469-0.
  6. ↑ Nakahara, Mikio; Ohmi, Tetsuo (11 de marzo de 2008). Computación cuántica: del álgebra lineal a las realizaciones físicas . CRC Press. ISBN 978-1-040-06974-5.