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Curtosis

La curtosis (del griego κυρτός ( kyrtos o kurtos ) , que significa «curvo, arqueado») se refiere al grado de asimetría en la distribución de probabilidad de una variable aleator...

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La curtosis (del griego κυρτός ( kyrtos o kurtos ) , que significa «curvo, arqueado») se refiere al grado de asimetría en la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de valor real en la teoría de la probabilidad y la estadística . Al igual que la asimetría , la curtosis proporciona información sobre características específicas de una distribución. Existen diversos métodos para cuantificar la curtosis en distribuciones teóricas, y las técnicas correspondientes permiten su estimación a partir de datos de muestra de una población. Las diferentes medidas de curtosis pueden dar lugar a distintas interpretaciones .

La medida estándar de la curtosis de una distribución, originada por Karl Pearson , [ 1 ] es una versión escalada del cuarto momento de la distribución. Este número se relaciona con las colas de la distribución, no con su pico; [ 2 ] por lo tanto, la caracterización a veces vista de la curtosis como apuntamiento es incorrecta. Para esta medida, una curtosis más alta corresponde a una mayor extremidad de las desviaciones (o valores atípicos ), y no a la configuración de los datos cerca de la media .

La curtosis de exceso, que normalmente se compara con un valor de 0, caracteriza la asimetría de una distribución. Una distribución normal univariada tiene una curtosis de exceso de 0. Una curtosis de exceso negativa indica una distribución platicúrtica , que no necesariamente tiene una cima plana, pero produce menos valores atípicos o valores menos extremos que la distribución normal. Por ejemplo, la distribución uniforme (es decir, una que es uniformemente finita en un límite y cero en el resto) es platicúrtica. Por otro lado, una curtosis de exceso positiva indica una distribución leptocúrtica . La distribución de Laplace , por ejemplo, tiene colas que decaen más lentamente que una distribución normal, lo que resulta en más valores atípicos. Para simplificar la comparación con la distribución normal, la curtosis de exceso se calcula como la curtosis de Pearson menos 3. Algunos autores y paquetes de software utilizan el término «curtosis» para referirse específicamente a la curtosis de exceso, pero este artículo distingue entre ambas para mayor claridad.

Las medidas alternativas de curtosis son: la curtosis L , que es una versión escalada del cuarto momento L ; medidas basadas en cuatro cuantiles de la población o de la muestra . [ 3 ] Estas son análogas a las medidas alternativas de asimetría que no se basan en momentos ordinarios. [ 3 ]

Momentos de Pearson

La curtosis es el cuarto momento estandarizado , definido como Kurt⁡[incógnita]:=μ~4≡μ4σ4=mi⁡[(incógnita−μσ)4]=mi⁡[(incógnita−μ)4](mi⁡[(incógnita−μ)2])2{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Kurt} [X]&:={\tilde {\mu }}_{4}\equiv {\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}\\&=\operatorname {E} \left[{\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)}^{4}\right]={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{\left(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}

donde μ 4 es el cuarto momento central y σ es la desviación estándar . En la literatura se utilizan varias letras para denotar la curtosis. Una opción muy común es κ , que está bien siempre que quede claro que no se refiere a un cumulante . Otras opciones incluyen γ 2 , para ser similar a la notación de asimetría, aunque a veces esta se reserva para la curtosis de exceso. Pearson utiliza sistemáticamente β 2 .

La curtosis está acotada inferiormente por la asimetría al cuadrado más 1: [ 4 ] : 432μ4σ4≥(μ3σ3)2+1,{\displaystyle {\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}\geq \left({\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}+1,} donde μ 3 es el tercer momento central. El límite inferior se alcanza mediante la distribución de Bernoulli . No existe un límite superior para la curtosis de una distribución de probabilidad general, y esta puede ser infinita.

Una razón por la que algunos autores favorecen la curtosis de exceso es que los cumulantes son extensivos . Las fórmulas relacionadas con la propiedad extensiva se expresan de forma más natural en términos de la curtosis de exceso. Por ejemplo, sean X 1 , ..., X n variables aleatorias independientes para las que existe el cuarto momento, y sea Y la variable aleatoria definida por la suma de las X i . La curtosis de exceso de Y esKurt⁡[Y]−3=∑i=1norteσi4⋅(Kurt⁡[incógnitai]−3)(∑j=1norteσj2)2,{\displaystyle \operatorname {Kurt} [Y]-3={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{\,4}\cdot \left(\operatorname {Kurt} \left[X_{i}\right]-3\right)}{\left(\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{\,2}\right)^{2}}},}dóndeσi{\displaystyle \sigma _{i}}es la desviación estándar de X i . En particular, si todos los X i tienen la misma varianza, entonces esto se simplifica aKurt⁡[Y]−3=1norte2∑i=1norte(Kurt⁡[incógnitai]−3).{\displaystyle \operatorname {Kurt} [Y]-3={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {Kurt} \left[X_{i}\right]-3\right).}

La razón para no restar 3 es que el momento simple se generaliza mejor a distribuciones multivariadas , especialmente cuando no se asume independencia. La cocurtosis entre pares de variables es un tensor de orden cuatro . Para una distribución normal bivariada, el tensor de cocurtosis tiene términos fuera de la diagonal que no son ni 0 ni 3 en general, por lo que intentar "corregir" un exceso resulta confuso. Sin embargo, es cierto que los cumulantes conjuntos de grado mayor que dos para cualquier distribución normal multivariada son cero.

Para dos variables aleatorias, X e Y , no necesariamente independientes, la curtosis de la suma, X + Y , es Kurt⁡[incógnita+Y]=1σincógnita+Y4(σincógnita4Kurt⁡[incógnita]+4σincógnita3σYCokurt⁡[incógnita,incógnita,incógnita,Y]+6σincógnita2σY2Cokurt⁡[incógnita,incógnita,Y,Y]+4σincógnitaσY3Cokurt⁡[incógnita,Y,Y,Y]+σY4Kurt⁡[Y]).{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Kurt} [X+Y]&={\frac {1}{\sigma _{X+Y}^{4}}}{\big (}\sigma _{X}^{4}\operatorname {Kurt} [X]\\&{}+4\sigma _{X}^{3}\sigma _{Y}\operatorname {Cokurt} [X,X,X,Y]\\[6pt]&{}+6\sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}\operatorname {Cokurt} [X,X,Y,Y]\\[6pt]&{}+4\sigma _{X}\sigma _{Y}^{3}\operatorname {Cokurt} [X,Y,Y,Y]\\[6pt]&{}+\sigma _{Y}^{4}\operatorname {Kurt} [Y]{\big )}.\end{aligned}}}Nótese que los coeficientes binomiales de cuarta potencia (1, 4, 6, 4, 1) aparecen en la ecuación anterior.

Interpretación

La interpretación de la medida de curtosis de Pearson (o exceso de curtosis) fue objeto de debate en el pasado, pero ahora está bien establecida. Como señaló Westfall en 2014 [ 2 ] , "...  su interpretación inequívoca se relaciona con la cola extrema". Específicamente, refleja la presencia de valores atípicos existentes (para la curtosis de la muestra) o la tendencia a producirlos (para la curtosis de una distribución de probabilidad). La lógica subyacente es sencilla: la curtosis representa el promedio (o valor esperado ) de los datos estandarizados elevados a la cuarta potencia. Los valores estandarizados menores que 1 —que corresponden a datos dentro de una desviación estándar de la media (donde se produce el pico)— contribuyen mínimamente a la curtosis. Esto se debe a que elevar un número menor que 1 a la cuarta potencia lo acerca a cero. Los contribuyentes significativos a la curtosis son los valores de datos fuera de la región del pico, es decir, los valores atípicos. Por lo tanto, la curtosis mide principalmente los valores atípicos y no proporciona información sobre el pico central.

Numerosos conceptos erróneos sobre la curtosis se relacionan con la noción de agudeza. Uno de estos conceptos erróneos es que la curtosis mide tanto la agudeza de una distribución como la densidad de su cola . [ 5 ] Otras interpretaciones incorrectas incluyen nociones como la falta de hombros (donde el hombro se refiere vagamente al área entre el pico y la cola, o más específicamente, a la región alrededor de una desviación estándar de la media) o la bimodalidad. [ 6 ] Balanda y MacGillivray argumentan que la definición estándar de curtosis "captura de manera deficiente la curtosis, la agudeza o la densidad de la cola de una distribución". En cambio, proponen una definición vaga de curtosis como el movimiento, independiente de la ubicación y la escala, de la masa de probabilidad desde los hombros de la distribución hacia su centro y colas. [ 5 ]

La interpretación de los moros

En 1986, Moors dio una interpretación de la curtosis. [ 7 ] DejemosZ=incógnita−μσ,{\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }},}donde X es una variable aleatoria, μ es la media y σ es la desviación estándar.

Ahora, por definición de la curtosisκ{\displaystyle \kappa }y por la conocida identidadmi⁡[V2]=var⁡[V]+mi⁡[V]2,{\displaystyle \operatorname {E} \left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+\operatorname {E} [V]^{2},}κ=mi⁡[Z4]=var⁡[Z2]+mi⁡[Z2]2=var⁡[Z2]+var⁡[Z]2=var⁡[Z2]+1.{\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &=\operatorname {E} \left[Z^{4}\right]\\&=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+\operatorname {E} {\!\left[Z^{2}\right]}^{2}\\&=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+\operatorname {var} [Z]^{2}=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+1.\end{aligned}}}

La curtosis puede ahora verse como una medida de la dispersión de Z 2 alrededor de su esperanza. Alternativamente, puede verse como una medida de la dispersión de Z alrededor de +1 y −1 . κ alcanza su valor mínimo en una distribución simétrica de dos puntos. En términos de la variable original X , la curtosis es una medida de la dispersión de X alrededor de los dos valores μ ± σ . 

Los valores altos de κ surgen cuando la masa de probabilidad se concentra alrededor de la media y el proceso de generación de datos produce valores ocasionales alejados de la media, o cuando la masa de probabilidad se concentra en las colas de la distribución.

entropía máxima

La entropía de una distribución es−∫pag(incógnita)ln⁡pag(incógnita)dincógnita.{\textstyle -\!\int p(x)\ln p(x)\,dx.}

Para cualquierμ∈Rnorte,Σ∈Rnorte×norte{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}}conΣ{\displaystyle \Sigma }definida positiva, entre todas las distribuciones de probabilidad enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}con significaμ{\displaystyle \mu }y covarianzaΣ{\displaystyle \Sigma }la distribución normalnorte(μ,Σ){\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\Sigma )}tiene la mayor entropía.

Dado que significaμ{\displaystyle \mu }y covarianzaΣ{\displaystyle \Sigma }son los dos primeros momentos, es natural considerar la extensión a momentos superiores. De hecho, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange , para cualesquiera primeros n momentos prescritos, si existe alguna distribución de probabilidad de formapag(incógnita)∝mi∑iaiincógnitai+∑ijbijincógnitaiincógnitaj+⋯+∑i1⋯inorteincógnitai1⋯incógnitainorte{\displaystyle p(x)\propto e^{\sum _{i}a_{i}x_{i}+\sum _{ij}b_{ij}x_{i}x_{j}+\cdots +\sum _{i_{1}\cdots i_{n}}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{n}}}}que tiene los momentos prescritos (si es factible), entonces es la distribución de entropía máxima bajo las restricciones dadas. [ 8 ] [ 9 ]

Por expansión serial, ∫12πmi−12incógnita2−14gramoincógnita4incógnita2nortedincógnita=12π∫mi−12incógnita2−14gramoincógnita4incógnita2nortedincógnita=∑k1k¡(−gramo4)k(2norte+4k−1)¡¡=(2norte−1)¡¡−14gramo(2norte+3)¡¡+O(gramo2){\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}x^{2n}\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}x^{2n}\,dx\\[6pt]&=\sum _{k}{\frac {1}{k!}}\left(-{\frac {g}{4}}\right)^{k}(2n+4k-1)!!\\[6pt]&=(2n-1)!!-{\tfrac {1}{4}}g(2n+3)!!+O(g^{2})\end{aligned}}} entonces si una variable aleatoria tiene una distribución de probabilidadpag(incógnita)=mi−12incógnita2−14gramoincógnita4/Z{\displaystyle p(x)=e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}/Z}, dóndeZ{\displaystyle Z}es una constante de normalización, entonces su curtosis es3−6gramo+O(gramo2){\displaystyle 3-6g+O(g^{2})}. [ 10 ]

Curtosis excesiva

La curtosis en exceso se define como la curtosis menos 3. Existen tres regímenes distintos, como se describe a continuación.

Mesocúrtico

Las distribuciones con curtosis cero se denominan mesocúrticas o mesocurtóticas . El ejemplo más destacado de una distribución mesocúrtica es la familia de distribuciones normales, independientemente de los valores de sus parámetros . Algunas otras distribuciones conocidas pueden ser mesocúrticas, dependiendo de los valores de los parámetros: por ejemplo, la distribución binomial es mesocúrtica parapag=1/2±1/12{\textstyle p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}}.

Leptocúrtico

Una distribución con exceso de curtosis positivo se denomina leptocúrtica o leptocurtótica . Una distribución leptocúrtica tiene colas más gruesas . ( Lepto- significa 'delgado', originalmente en referencia al pico. [ 11 ] ) Ejemplos de distribuciones leptocúrticas incluyen la distribución t de Student , la distribución de Rayleigh , la distribución de Laplace , la distribución exponencial , la distribución de Poisson y la distribución logística . Dichas distribuciones a veces se denominan supergaussianas . [ 12 ]

Tres funciones de densidad de probabilidad simétricas con leptocurtosis creciente; sus intersecciones están indicadas por líneas verticales.

Platicúrtico

El lanzamiento de moneda es la distribución más platicúrtica.

Una distribución con curtosis de exceso negativa se llama platicúrtica o platicúrtica . Una distribución platicúrtica tiene colas más delgadas ( platy- significa 'ancho', originalmente refiriéndose al pico). [ 13 ] Ejemplos de distribuciones platicúrticas incluyen las distribuciones uniformes continua y discreta , y la distribución del coseno elevado . La distribución más platicúrtica de todas es la distribución de Bernoulli con p = 1/2 (por ejemplo, el número de veces que se obtiene cara al lanzar una moneda una vez, un lanzamiento de moneda ), para la cual la curtosis de exceso es −2.

Ejemplos gráficos

La familia Pearson tipo VII

Función de densidad de probabilidad (PDF) para la distribución de Pearson tipo VII con curtosis en exceso de infinito (rojo); 2 (azul); y 0 (negro)
Función de densidad de probabilidad logarítmica para la distribución de Pearson tipo VII con curtosis en exceso de infinito (rojo); 2 (azul); 1, 1/2, 1/4, 1/8 y 1/16 (gris); y 0 (negro)

Los efectos de la curtosis se ilustran utilizando una familia paramétrica de distribuciones cuya curtosis puede ajustarse mientras que sus momentos de orden inferior y cumulantes permanecen constantes. Consideremos la familia de Pearson tipo VII , que es un caso especial de la familia de Pearson tipo IV restringida a densidades simétricas. La función de densidad de probabilidad (FDP) viene dada por F(incógnita;a,metro)=Γ(metro)aπΓ(metro−1/2)[1+(incógnitaa)2]−metro,{\displaystyle f(x;a,m)={\frac {\Gamma (m)}{a\,{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (m-1/2)}}\left[1+\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\right]^{-m},} donde a es un parámetro de escala y m es un parámetro de forma .

Todas las densidades de esta familia son simétricas. El k -ésimo momento existe siempre que m > ( k + 1)/2 . Para que exista la curtosis, requerimos m > 5/2 . Entonces la media y la asimetría existen y son ambas idénticamente cero. Si establecemos a 2 = 2 m − 3 , la varianza es igual a la unidad. Entonces el único parámetro libre es m , que controla el cuarto momento (y el cumulante) y, por lo tanto, la curtosis. Se puede reparametrizar conmetro=5/2+3/γ2{\textstyle m=5/2+3/\gamma _{2}}, dóndeγ2{\displaystyle \gamma _{2}}es la curtosis de exceso definida anteriormente. Esto produce una familia leptocúrtica de un parámetro con media cero, varianza unitaria, asimetría cero y curtosis de exceso no negativa arbitraria. La densidad reparametrizada es gramo(incógnita;γ2)=F(incógnita;a=2+6γ2−1,metro=52+3γ2−1).{\displaystyle g(x;\gamma _{2})=f{\left(x;\;a={\sqrt {2+6\gamma _{2}^{-1}}},\;m={\tfrac {5}{2}}+3\gamma _{2}^{-1}\right)}.}

En el límite comoγ2→∞{\displaystyle \gamma _{2}\to \infty }, se obtiene la densidad gramo(incógnita)=3(2+incógnita2)−5/2,{\displaystyle g(x)=3\left(2+x^{2}\right)^{-5/2},} que se muestra como la curva roja en las imágenes de la derecha.

En la otra dirección comoγ2→0{\displaystyle \gamma _{2}\to 0}Se obtiene la densidad normal estándar como distribución límite, representada por la curva negra.

En las imágenes de la derecha, la curva azul representa la densidad.incógnita↦gramo(incógnita;2){\displaystyle x\mapsto g(x;2)}con exceso de curtosis de 2. La imagen superior muestra que las densidades leptocúrticas en esta familia tienen un pico más alto que la densidad normal mesocúrtica, aunque esta conclusión solo es válida para esta familia selecta de distribuciones. Las colas comparativamente más gruesas de las densidades leptocúrticas se ilustran en la segunda imagen, que representa el logaritmo natural de las densidades de Pearson tipo VII: la curva negra es el logaritmo de la densidad normal estándar, que es una parábola . Se puede ver que la densidad normal asigna poca masa de probabilidad a las regiones alejadas de la media (tiene colas delgadas ), en comparación con la curva azul de la densidad leptocúrtica de Pearson tipo VII con exceso de curtosis de 2. Entre la curva azul y la negra hay otras densidades de Pearson tipo VII con γ 2  =  1, 1/2, 1/4, 1/8 y 1/16. La curva roja muestra nuevamente el límite superior de la familia de Pearson tipo VII, conγ2=∞{\displaystyle \gamma _{2}=\infty }(lo que, estrictamente hablando, significa que el cuarto momento no existe). La curva roja disminuye más lentamente a medida que uno se aleja del origen (tiene colas gruesas ).

Otras distribuciones conocidas

Funciones de densidad de probabilidad para distribuciones seleccionadas con media 0, varianza 1 y curtosis de exceso diferente.
Logaritmos de las funciones de densidad de probabilidad para distribuciones seleccionadas con media 0, varianza 1 y curtosis de exceso diferente.

Aquí se comparan varias distribuciones unimodales y simétricas bien conocidas de diferentes familias paramétricas. Cada una tiene una media y una asimetría de cero. Los parámetros se han elegido para que la varianza sea igual a 1 en cada caso. Las imágenes de la derecha muestran las curvas de las siguientes siete densidades, en escala lineal y logarítmica :

Nótese que en estos casos las densidades platicúrticas tienen soporte acotado , mientras que las densidades con curtosis de exceso positiva o cero tienen soporte en toda la recta real .

No se puede inferir que las distribuciones de curtosis alta o baja tengan las características indicadas por estos ejemplos. Existen densidades platicúrticas con soporte infinito, por ejemplo, distribuciones de potencia exponencial con un parámetro de forma b suficientemente grande , y existen densidades leptocúrticas con soporte finito. Un ejemplo de esto último es una distribución uniforme entre -3 y -0,3, entre -0,3 y 0,3, y entre 0,3 y 3, con la misma densidad en los intervalos (-3, -0,3) y (0,3, 3), pero con una densidad 20 veces mayor en el intervalo (-0,3, 0,3).

Una distribución platicúrtica que tiene un pico infinito
Una distribución leptocúrtica que es baja y parece plana en la parte superior.

Además, no se puede inferir de los gráficos que las distribuciones de curtosis más altas sean más puntiagudas y que las distribuciones de curtosis más bajas sean más planas . Existen densidades platicúrticas con un pico infinito; por ejemplo, una mezcla equitativa de la distribución beta con parámetros 0,5 y 1 con su reflexión alrededor de 0,0, y existen densidades leptocúrticas que parecen planas en la parte superior; por ejemplo, una mezcla de una distribución uniforme entre -1 y 1 con una distribución t de Student T(4,0000001), con probabilidades de mezcla de 0,999 y 0,001.

A la derecha se muestran los gráficos de las versiones estandarizadas de estas distribuciones.

curtosis de la muestra

Definiciones

Un estimador natural pero sesgado

Para una muestra de n valores, se puede definir un estimador del método de momentos de la curtosis de exceso poblacional como:gramo2≡metro4metro22−3=1norte∑i=1norte(incógnitai−incógnita¯)4[1norte∑i=1norte(incógnitai−incógnita¯)2]2−3{\displaystyle g_{2}\equiv {\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{4}}{\left[{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}\right]^{2}}}-3} donde m 4 es el cuarto momento muestral con respecto a la media , m 2 es el segundo momento muestral con respecto a la media (es decir, la varianza muestral ), x i es el i -ésimo valor, yincógnita¯{\displaystyle {\overline {x}}}es la media de la muestra .

Esta fórmula tiene la representación más simple,gramo2=1norte∑i=1nortezi4−3{\displaystyle g_{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}z_{i}^{4}-3}donde elzi{\displaystyle z_{i}}Los valores son los valores de datos estandarizados utilizando la desviación estándar definida utilizando n en lugar de n − 1 en el denominador.

Por ejemplo, supongamos que los valores de los datos son 0, 3, 4, 1, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 2, 0, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 999.

Entonces los valores de z i son −0.239, −0.225, −0.221, −0.234, −0.230, −0.225, −0.239, −0.230, −0.234, −0.225, −0.230, −0.239, −0.230, −0.230, −0.225, −0.230, −0.216, −0.230, −0.225, 4.359

y los valores z i 4 son 0,003, 0,003, 0,002, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,002, 0,003, 0,003, 360,976.

El promedio de estos valores es 18,05 y, por lo tanto, la curtosis en exceso es 18,05 − 3 = 15,05 . Este ejemplo deja claro que los datos cercanos al centro o al pico de la distribución no contribuyen a la estadística de curtosis; por consiguiente, la curtosis no mide la agudeza de la distribución . Es simplemente una medida del valor atípico, que en este ejemplo es 999.

Estimador estándar insesgado

Dado un subconjunto de muestras de una población, la curtosis de exceso de la muestragramo2{\displaystyle g_{2}}El anterior es un estimador sesgado de la curtosis de exceso poblacional. Un estimador alternativo de la curtosis de exceso poblacional, que es insesgado en muestras aleatorias de una distribución normal, se define de la siguiente manera: [ 3 ]GRAMO2≡k4k22=norte2[(norte+1)metro4−3(norte−1)metro22](norte−1)(norte−2)(norte−3)(norte−1)2norte2metro22=norte−1(norte−2)(norte−3)[(norte+1)metro4metro22−3(norte−1)]=norte−1(norte−2)(norte−3)[(norte+1)gramo2+6]{\displaystyle {\begin{aligned}&G_{2}\equiv {\frac {k_{4}}{k_{2}^{2}}}\\&={\frac {n^{2}\,\left[(n+1)\,m_{4}-3\,(n-1)\,m_{2}^{2}\right]}{(n-1)\,(n-2)\,(n-3)}}\;{\frac {(n-1)^{2}}{n^{2}\,m_{2}^{2}}}\\[6pt]&={\frac {n-1}{(n-2)\,(n-3)}}\left[(n+1)\,{\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3\,(n-1)\right]\\[6pt]&={\frac {n-1}{(n-2)\,(n-3)}}\left[(n+1)\,g_{2}+6\right]\end{aligned}}} donde k 4 es el único estimador simétrico insesgado del cuarto cumulante , k 2 es la estimación insesgada del segundo cumulante (idéntica a la estimación insesgada de la varianza muestral), m 4 es el cuarto momento muestral con respecto a la media, m 2 es el segundo momento muestral con respecto a la media, x i es el i -ésimo valor, yincógnita¯{\displaystyle {\bar {x}}}es la media de la muestra. Este coeficiente de momento estandarizado de Fisher-Pearson ajustadoGRAMO2{\displaystyle G_{2}}es la versión que se encuentra en Excel y en varios paquetes estadísticos, incluidos Minitab , SAS y SPSS . [ 14 ]

Desafortunadamente, en muestras no normalesGRAMO2{\displaystyle G_{2}}es en sí mismo generalmente sesgado.

Límite superior

Un límite superior para la curtosis de muestra de n ( n > 2 ) números reales es [ 15 ].gramo2≤12norte−3norte−2gramo12+norte2−3,{\displaystyle g_{2}\leq {\frac {1}{2}}{\frac {n-3}{n-2}}g_{1}^{2}+{\frac {n}{2}}-3,} dóndegramo1=metro3/metro23/2{\displaystyle g_{1}=m_{3}/m_{2}^{3/2}}es la asimetría de la muestra correspondiente.

Varianza bajo normalidad

La varianza de la curtosis muestral de una muestra de tamaño n con respecto a la distribución normal es [ 16 ].var⁡(gramo2)=24norte(norte−1)2(norte−3)(norte−2)(norte+3)(norte+5){\displaystyle \operatorname {var} (g_{2})={\frac {24n(n-1)^{2}}{(n-3)(n-2)(n+3)(n+5)}}}

Dicho de otro modo, bajo el supuesto de que la variable aleatoria subyacenteincógnita{\displaystyle X}Se distribuye normalmente, se puede demostrar quenortegramo2→dnorte(0,24){\displaystyle {\sqrt {n}}g_{2}\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,24)}. [ 17 ] : Se necesita el número de página

Aplicaciones

La curtosis muestral es una medida útil para determinar si existe un problema con valores atípicos en un conjunto de datos. Una curtosis mayor indica un problema más grave con valores atípicos y puede llevar al investigador a elegir métodos estadísticos alternativos.

La prueba K-cuadrada de D'Agostino es una prueba de normalidad de bondad de ajuste basada en una combinación de la asimetría de la muestra y la curtosis de la muestra, al igual que la prueba de Jarque-Bera para la normalidad.

Para muestras no normales, la varianza de la varianza muestral depende de la curtosis; para más detalles, consulte varianza .

La definición de curtosis de Pearson se utiliza como indicador de intermitencia en la turbulencia . [ 18 ] También se utiliza en imágenes de resonancia magnética para cuantificar la difusión no gaussiana. [ 19 ]

Un ejemplo concreto es el siguiente lema de He, Zhang y Zhang: [ 20 ] Supongamos que una variable aleatoria X tiene esperanzami⁡[incógnita]=μ{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu }, varianzami⁡[(incógnita−μ)2]=σ2{\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]=\sigma ^{2}}y curtosisκ=1σ4mi⁡[(incógnita−μ)4].{\textstyle \kappa ={\tfrac {1}{\sigma ^{4}}}\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right].} Supongamos que tomamos una muestra.norte=23+33κregistro⁡1δ{\displaystyle n={\tfrac {2{\sqrt {3}}+3}{3}}\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }}}muchas copias independientes. Entonces Pr[máximoi=1norteincógnitai≤μ]≤δyPr[mini=1norteincógnitai≥μ]≤δ.{\displaystyle {\begin{aligned}&\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \\[4pt]&{\text{and}}\\[4pt]&\Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta .\end{aligned}}}

Esto demuestra que conΘ(κregistro⁡1δ){\displaystyle \Theta (\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }})}muchas muestras, veremos una que está por encima de la expectativa con probabilidad al menos1−δ{\displaystyle 1-\delta }En otras palabras: si la curtosis es grande, puede haber muchos valores que estén todos por debajo o por encima de la media.

Convergencia de curtosis

Al aplicar filtros de paso de banda a imágenes digitales , los valores de curtosis tienden a ser uniformes, independientemente del rango del filtro. Este comportamiento, denominado convergencia de curtosis , puede utilizarse para detectar el empalme de imágenes en análisis forenses . [ 21 ]

Análisis de señales sísmicas

La curtosis se puede utilizar en geofísica para distinguir diferentes tipos de señales sísmicas . Es particularmente eficaz para diferenciar las señales sísmicas generadas por pasos humanos de otras señales. [ 22 ] Esto resulta útil en sistemas de seguridad y vigilancia que dependen de la detección sísmica.

Pronóstico del tiempo

En meteorología , la curtosis se utiliza para analizar la distribución de datos meteorológicos. Ayuda a predecir fenómenos meteorológicos extremos al evaluar la probabilidad de valores atípicos en datos históricos, [ 23 ] lo cual es valioso para estudios climáticos a largo plazo y pronósticos meteorológicos a corto plazo.

Otras medidas

Se obtiene una medida diferente de curtosis utilizando momentos L en lugar de los momentos ordinarios. [ 24 ] [ 25 ]

Véase también

Referencias

  1. ^ Pearson, Karl (1905), " Das Fehlergesetz und seine Verallgemeinerungen durch Fechner und Pearson. Una réplica" [ La ley del error y sus generalizaciones de Fechner y Pearson. Una réplica ] , Biometrika , 4 ( 1– 2): 169– 212, doi : 10.1093/biomet/4.1-2.169 , JSTOR 2331536 
  2. 1 2 Westfall, Peter H. (2014), "Curtosis como agudeza, 1905–2014. RIP ", The American Statistician , 68 (3): 191– 195, doi : 10.1080/00031305.2014.917055 , PMC 4321753 , PMID 25678714  
  3. 1 2 3 Joanes, Derrick N.; Gill, Christine A. (1998), "Comparación de medidas de asimetría y curtosis de la muestra", Journal of the Royal Statistical Society, Serie D , 47 (1): 183–189 , doi : 10.1111/1467-9884.00122 , JSTOR 2988433 
  4. ↑ Pearson, Karl (1916), "Contribuciones matemáticas a la teoría de la evolución. — XIX. Segundo suplemento a una memoria sobre la variación sesgada.", Philosophical Transactions of the Royal Society of London A , 216 (546): 429– 457, Bibcode : 1916RSPTA.216..429P , doi : 10.1098/rsta.1916.0009 , JSTOR 91092 
  5. 1 2 Balanda, Kevin P.; MacGillivray, Helen L. (1988), "Curtosis: Una revisión crítica", The American Statistician , 42 (2): 111– 119, doi : 10.2307/2684482 , JSTOR 2684482 
  6. ↑ Darlington, Richard B. (1970), "¿Es la curtosis realmente 'agujería'?", The American Statistician , 24 (2): 19– 22, doi : 10.1080/00031305.1970.10478885 , JSTOR 2681925 
  7. ↑ Moors, JJA (1986), "El significado de la curtosis: Darlington reexaminado", The American Statistician , 40 (4): 283–284 , doi : 10.1080/00031305.1986.10475415 , JSTOR 2684603 
  8. ↑ Tagliani, A. (1990-12-01). "Sobre la existencia de distribuciones de entropía máxima con cuatro o más momentos asignados" . Probabilistic Engineering Mechanics . 5 (4): 167– 170. Bibcode : 1990PEngM...5..167T . doi : 10.1016/0266-8920(90)90017-E . ISSN 0266-8920 . 
  9. ↑ Rockinger, Michael; Jondeau, Eric (2002-01-01). "Densidades de entropía con una aplicación a la asimetría condicional autorregresiva y la curtosis" . Journal of Econometrics . 106 (1): 119– 142. doi : 10.1016/S0304-4076(01)00092-6 . ISSN 0304-4076 . 
  10. ^ Bradde, Serena; Bialek, William (1 de mayo de 2017). "PCA se encuentra con RG" . Revista de Física Estadística . 167 (3): 462– 475. arXiv : 1610.09733 . Código Bib : 2017JSP...167..462B . doi : 10.1007/s10955-017-1770-6 . ISSN 1572-9613 . PMC 6054449 . PMID 30034029 .   
  11. ↑ "Lepto-" .
  12. ↑ Benveniste, Albert; Goursat, Maurice; Ruget, Gabriel (1980), "Identificación robusta de un sistema de fase no mínima: ajuste ciego de un ecualizador lineal en comunicaciones de datos", IEEE Transactions on Automatic Control , 25 (3): 385–399 , Bibcode : 1980ITAC...25..385B , doi : 10.1109/tac.1980.1102343
  13. ↑ "platy-: definición, uso y pronunciación – YourDictionary.com" . Archivado del original el 20 de octubre de 2007.
  14. ↑ Doane, DP; Seward, LE (2011). "Medición de la asimetría: ¿Una estadística olvidada?" . J Stat Educ . 19 (2). doi : 10.1080/10691898.2011.11889611 .
  15. ↑ Sharma, Rajesh; Bhandari, Rajeev K. (2015), "Asimetría, curtosis y desigualdad de Newton" , Rocky Mountain Journal of Mathematics , 45 (5): 1639– 1643, arXiv : 1309.2896 , doi : 10.1216/RMJ-2015-45-5-1639 , S2CID 88513237 
  16. ↑ Fisher, Ronald A. (1930), "Los momentos de la distribución para muestras normales de medidas de desviación de la normalidad", Proceedings of the Royal Society A , 130 (812): 16– 28, Bibcode : 1930RSPSA.130...16F , doi : 10.1098/rspa.1930.0185 , hdl : 2440/15205 , JSTOR 95586 , S2CID 121520301  
  17. ↑ Kendall, Maurice G.; Stuart, Alan (1969), The Advanced Theory of Statistics, Volume 1: Distribution Theory (3.ª ed.), Londres, Reino Unido: Charles Griffin & Company Limited, ISBN  0-85264-141-9
  18. ↑ Sandborn, Virgil A. (1959), "Measurements of Intermittency of Turbulent Motion in a Boundary Layer", Journal of Fluid Mechanics , 6 (2): 221– 240, Bibcode : 1959JFM.....6..221S , doi : 10.1017/S0022112059000581 , S2CID 121838685 
  19. ↑ Jensen, J.; Helpern, J.; Ramani, A.; Lu, H.; Kaczynski, K. (19 de mayo de 2005). "Imágenes de curtosis de difusión: cuantificación de la difusión de agua no gaussiana mediante imágenes de resonancia magnética" . Magn Reson Med . 53 (6): 1432– 1440. doi : 10.1002/mrm.20508 . PMID 15906300. S2CID 11865594 .  
  20. ↑ He, Simai; Zhang, Jiawei; Zhang, Shuzhong (2010). "Acotación de la probabilidad de pequeñas desviaciones: Un enfoque del cuarto momento". Matemáticas de la Investigación Operativa . 35 (1): 208– 232. doi : 10.1287/moor.1090.0438 . S2CID 11298475 . 
  21. ↑ Pan, Xunyu; Zhang, Xing; Lyu, Siwei (2012), "Exponiendo el empalme de imágenes con variaciones de ruido local inconsistentes", 2012 IEEE International Conference on Computational Photography (ICCP) , 28-29 de abril de 2012; Seattle, WA, EE. UU.: IEEE, pp. 1–10 , doi : 10.1109/ICCPhot.2012.6215223 , ISBN  978-1-4673-1662-0, S2CID 14386924 {{citation}}: CS1 mantenimiento: ubicación ( enlace )
  22. ↑ Liang, Zhiqiang; Wei, Jianming; Zhao, Junyu; Liu, Haitao; Li, Baoqing; Shen, Jie; Zheng, Chunlei (2008-08-27). "El significado estadístico de la curtosis y su nueva aplicación a la identificación de personas basada en señales sísmicas" . Sensors . 8 ( 8): 5106– 5119. Bibcode : 2008Senso...8.5106L . doi : 10.3390/s8085106 . ISSN 1424-8220 . PMC 3705491. PMID 27873804 .   
  23. ↑ Supraja (27 de mayo de 2024). "Curtosis en la práctica: aplicaciones e interpretaciones del mundo real" . Analytics Insight . Consultado el 11 de noviembre de 2024 .
  24. ↑ Hosking, Jonathan RM (1992), "¿Momentos o momentos L ? Un ejemplo que compara dos medidas de la forma de la distribución", The American Statistician , 46 (3): 186–189 , doi : 10.1080/00031305.1992.10475880 , JSTOR 2685210 
  25. ↑ Hosking, Jonathan RM (2006), "Sobre la caracterización de distribuciones mediante sus L -momentos", Journal of Statistical Planning and Inference , 136 (1): 193–198 , doi : 10.1016/j.jspi.2004.06.004

Lecturas adicionales

  • Kim, Tae-Hwan; White, Halbert (2003). "Sobre una estimación más robusta de la asimetría y la curtosis: simulación y aplicación al índice S&P500" . Finance Research Letters . 1 : 56–70 . doi : 10.1016/S1544-6123(03)00003-5 . S2CID 16913409 . Fuente alternativa (Comparación de estimadores de curtosis)
  • Seier, E.; Bonett, DG (2003). "Dos familias de medidas de curtosis". Métrica . 58 : 59– 70. doi : 10.1007/s001840200223 . S2CID 115990880 . 
  • "Coeficiente de exceso" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
  • Calculadora de curtosis
  • El software gratuito en línea (calculadora) calcula varios tipos de estadísticas de asimetría y curtosis para cualquier conjunto de datos (incluye pruebas con muestras pequeñas y grandes).
  • Curtosis sobre los primeros usos conocidos de algunas palabras de matemáticas
  • Celebrando 100 años de curtosis: una historia del tema, con diferentes medidas de curtosis.