Mapa del grito

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , ciertos functores inusuales se denotan${\displaystyle f_{!}}$y${\displaystyle f^{!},}$El signo de exclamación se usa para indicar que son excepcionales de alguna manera. Por lo tanto, a veces se les llama mapas de gritos, donde " grito " es jerga para referirse a un signo de exclamación, aunque se usan otros términos según el contexto.

La notación de gritos se utiliza en dos sentidos:

• Para distinguir un functor de un functor más habitual${\displaystyle f_{*}}$o${\displaystyle f^{*},}$en consecuencia, ya sea covariante o contravariante.
• Para indicar un mapa que va "en la dirección equivocada": un functor que tiene los mismos objetos que un functor más familiar, pero se comporta de manera diferente en los mapas y tiene la varianza opuesta. Por ejemplo, tiene un retroceso donde se espera un avance .

En geometría algebraica , estos surgen en functores de imagen para haces , particularmente en la dualidad de Verdier , donde${\displaystyle f_{!}}$es un functor "menos habitual".

En topología algebraica , estos surgen particularmente en fibrados , donde producen mapas que tienen la varianza opuesta a la usual. Por lo tanto, se les llama mapas de dirección incorrecta , mapas de umkehr , mapas de Gysin , ya que se originaron en la secuencia de Gysin , o mapas de transferencia . Un fibrado${\displaystyle F\to E\to B,}$con espacio base B , fibra F y espacio total E , tiene, como cualquier otro mapa continuo de espacios topológicos, un mapa covariante ( pushforward ) en homología.${\displaystyle H_{*}(E)\to H_{*}(B)}$y un mapa contravariante ( pullback ) en cohomología${\displaystyle H^{*}(B)\to H^{*}(E).}$Sin embargo, también tiene una aplicación covariante en la cohomología, que corresponde en la cohomología de De Rham a la " integración a lo largo de la fibra ", y una aplicación contravariante en la homología, que corresponde en la cohomología de De Rham al "producto puntual con la fibra". La composición de la aplicación "incorrecta" con la aplicación usual da una aplicación de la homología de la base a sí misma, análoga a una unidad/counidad de una adjunción ; compárese también con la conexión de Galois .

Estos pueden utilizarse para comprender y demostrar la propiedad del producto para la característica de Euler de un haz de fibras . ^{[ 1 ]}