Congruencia (geometría)

En geometría , dos figuras u objetos son congruentes si tienen la misma forma y tamaño , o si uno tiene la misma forma y tamaño que la imagen especular del otro. ^{[ 1 ]}

De forma más formal, dos conjuntos de puntos se denominan congruentes si, y solo si, uno puede transformarse en el otro mediante una isometría , es decir, una combinación de movimientos rígidos : una traslación , una rotación y una reflexión . Esto significa que cualquiera de los objetos puede reposicionarse y reflejarse (pero no redimensionarse) de manera que coincida exactamente con el otro. Por lo tanto, dos figuras planas distintas en una hoja de papel son congruentes si pueden recortarse y luego alinearse completamente. Se permite voltear el papel.

En geometría elemental, la palabra congruente se usa a menudo de la siguiente manera. ^{[ 2 ]} La palabra igual se usa a menudo en lugar de congruente para estos objetos.

• Dos segmentos de línea son congruentes si tienen la misma longitud.
• Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.
• Dos círculos son congruentes si tienen el mismo diámetro.

En este sentido, la frase "dos figuras planas son congruentes" implica que sus características correspondientes son congruentes (o iguales ), incluyendo no solo sus lados y ángulos correspondientes, sino también sus diagonales, perímetros y áreas correspondientes.

El concepto relacionado de semejanza se aplica si los objetos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. (La mayoría de las definiciones consideran la congruencia como una forma de semejanza, aunque una minoría exige que los objetos tengan tamaños diferentes para que se consideren similares).

Para que dos polígonos sean congruentes, deben tener el mismo número de lados (y, por lo tanto , el mismo número de vértices). Dos polígonos con n lados son congruentes si y solo si sus secuencias de lados son numéricamente idénticas (aunque sea en sentido horario para un polígono y en sentido antihorario para el otro) lado-ángulo-lado-ángulo-... para n lados y n ángulos.

La congruencia de polígonos se puede establecer gráficamente de la siguiente manera:

• Primero, haga coincidir y etiquete los vértices correspondientes de las dos figuras.
• Segundo, traza un vector desde uno de los vértices de una de las figuras hasta el vértice correspondiente de la otra figura. Traslada la primera figura mediante este vector para que estos dos vértices coincidan.
• En tercer lugar, gire la figura trasladada alrededor del vértice correspondiente hasta que un par de lados correspondientes coincidan.
• En cuarto lugar, refleja la figura girada alrededor de este lado coincidente hasta que las figuras coincidan.

Si en algún momento no se puede completar el paso, los polígonos no son congruentes.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Simbólicamente, escribimos la congruencia e incongruencia de dos triángulos △ ABC y △ A′B′C′ de la siguiente manera:

$${\displaystyle ABC\cong A'B'C'}$$$${\displaystyle ABC\ncong A'B'C'}$$ En muchos casos basta con establecer la igualdad de tres partes correspondientes y utilizar uno de los siguientes resultados para deducir la congruencia de los dos triángulos.

Determinación de la congruencia

Se puede demostrar la congruencia entre dos triángulos en el espacio euclidiano mediante las siguientes comparaciones:

• SAS (lado-ángulo-lado): Si dos pares de lados de dos triángulos tienen la misma longitud y los ángulos comprendidos entre ellos tienen la misma medida, entonces los triángulos son congruentes.
• LLL (lado-lado-lado): Si tres pares de lados de dos triángulos tienen la misma longitud, entonces los triángulos son congruentes.
• ASA (ángulo-lado-ángulo): Si dos pares de ángulos de dos triángulos tienen la misma medida y los lados comprendidos tienen la misma longitud, entonces los triángulos son congruentes.

El postulado ASA se atribuye a Tales de Mileto . En la mayoría de los sistemas de axiomas, los tres criterios —SAS, SSS y ASA— se establecen como teoremas . En el sistema del Grupo de Estudio de Matemáticas Escolares, SAS se considera uno de los 22 postulados (n.º 15).

• AAS (ángulo-ángulo-lado): Si dos pares de ángulos de dos triángulos tienen la misma medida, y un par de lados no incluidos correspondientes tienen la misma longitud, entonces los triángulos son congruentes. AAS es equivalente a la condición ASA, ya que si se dan dos ángulos cualesquiera, también se da el tercer ángulo, puesto que su suma debe ser 180°. ASA y AAS a veces se combinan en una sola condición, AAcorrS : dos ángulos cualesquiera y un lado correspondiente. ^{[ 3 ]}
• RHS (ángulo recto-hipotenusa-lado), también conocido como HL (hipotenusa-cateto): Si dos triángulos rectángulos tienen sus hipotenusas de igual longitud, y un par de otros lados también tienen la misma longitud, entonces los triángulos son congruentes.

Ángulo lateral

La condición LLA (lado-lado-ángulo), que especifica dos lados y un ángulo no incluido (también conocida como ASS o ángulo-lado-lado), no prueba por sí sola la congruencia. Para demostrar la congruencia, se requiere información adicional, como la medida de los ángulos correspondientes y, en algunos casos, las longitudes de los dos pares de lados correspondientes. Existen algunos casos posibles:

Si dos triángulos satisfacen la condición LLA (lado-lado-ángulo) y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor o igual que la longitud del lado adyacente (LDA, o lado largo-lado corto-ángulo), entonces los dos triángulos son congruentes. El lado opuesto a veces es más largo cuando los ángulos correspondientes son agudos, pero siempre es más largo cuando los ángulos correspondientes son rectos u obtusos. Cuando el ángulo es recto, también conocido como el postulado hipotenusa-cateto (HL) o la condición ángulo recto-hipotenusa-cateto (RHS), el tercer lado se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras, lo que permite aplicar el postulado LLL (lado-lado-lado).

Si dos triángulos satisfacen la condición LLA (lado-lado-ángulo) y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es igual a la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Si dos triángulos cumplen la condición LLA (lado-lado-ángulo) y sus ángulos correspondientes son agudos, y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor que la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo (pero menor que la longitud del lado adyacente), entonces no se puede demostrar que los dos triángulos sean congruentes. Este es el caso ambiguo , y con la información dada se pueden formar dos triángulos diferentes, pero información adicional que los distinga puede conducir a una demostración de congruencia.

Ángulo-ángulo-ángulo

En geometría euclidiana, AAA (ángulo-ángulo-ángulo) (o simplemente AA, ya que en geometría euclidiana la suma de los ángulos de un triángulo es 180°) no proporciona información sobre el tamaño de los dos triángulos y, por lo tanto, solo demuestra semejanza y no congruencia en el espacio euclidiano.

Sin embargo, en geometría esférica y geometría hiperbólica (donde la suma de los ángulos de un triángulo varía con el tamaño), AAA es suficiente para la congruencia en una curvatura de superficie dada. ^{[ 4 ]}

En un sistema euclidiano , la congruencia es fundamental; es el equivalente de la igualdad para los números. En geometría analítica , la congruencia puede definirse intuitivamente así: dos mapeos de figuras a un mismo sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, para cualesquiera dos puntos del primer mapeo, la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes del segundo mapeo.

Una definición más formal establece que dos subconjuntos A y B del espacio euclidiano R ⁿ se llaman congruentes si existe una isometría f  : R ⁿ → R ⁿ (un elemento del grupo euclidiano E ( n )) con f ( A ) = B . La congruencia es una relación de equivalencia .

Dos secciones cónicas son congruentes si sus excentricidades y otro parámetro distinto que las caracteriza son iguales. Sus excentricidades establecen sus formas, cuya igualdad es suficiente para establecer la semejanza, y el segundo parámetro establece el tamaño. Dado que dos círculos , parábolas o hipérbolas rectangulares siempre tienen la misma excentricidad (específicamente 0 en el caso de los círculos, 1 en el caso de las parábolas y${\displaystyle {\sqrt {2}}}$En el caso de las hipérbolas rectangulares, dos círculos, parábolas o hipérbolas rectangulares solo necesitan tener otro valor de parámetro común, que establece su tamaño, para que sean congruentes.

Para dos poliedros con el mismo tipo combinatorio (es decir, el mismo número E de aristas, el mismo número de caras y el mismo número de lados en las caras correspondientes), existe un conjunto de E mediciones que pueden establecer si los poliedros son congruentes o no. ^{[ 7 ] [ 8 ]} El número es ajustado, lo que significa que menos de E mediciones no son suficientes si los poliedros son genéricos entre su tipo combinatorio. Pero menos mediciones pueden funcionar para casos especiales. Por ejemplo, los cubos tienen 12 aristas, pero 9 mediciones son suficientes para decidir si un poliedro de ese tipo combinatorio es congruente con un cubo regular dado.

Al igual que con los triángulos planos, en una esfera dos triángulos que comparten la misma secuencia ángulo-lado-ángulo (ALA) son necesariamente congruentes (es decir, tienen tres lados idénticos y tres ángulos idénticos). ^{[ 9 ]} Esto se puede ver de la siguiente manera: Se puede situar uno de los vértices con un ángulo dado en el polo sur y trazar el lado de longitud dada a lo largo del meridiano de Greenwich. Conociendo ambos ángulos en cada extremo del segmento de longitud fija, se asegura que los otros dos lados se originan con una trayectoria determinada de forma única y, por lo tanto, se encontrarán en un punto determinado de forma única; por lo tanto, ALA es válido.

Los teoremas de congruencia lado-ángulo-lado (LAL) y lado-lado-lado (LLL) también se cumplen en una esfera; además, si dos triángulos esféricos tienen una secuencia ángulo-ángulo-ángulo (AAA) idéntica, son congruentes (a diferencia de los triángulos planos). ^{[ 9 ]}

El teorema de congruencia plano-triángulo ángulo-ángulo-lado (AAS) no se cumple para triángulos esféricos. ^{[ 10 ]} Al igual que en la geometría plana, lado-lado-ángulo (SSA) no implica congruencia.

Un símbolo comúnmente utilizado para indicar congruencia es el signo de igual con una tilde encima, ≅ , que corresponde al carácter Unicode «aproximadamente igual a» (U+2245). En el Reino Unido, a veces se utiliza el signo de igual de tres barras ≡ (U+2261).

• isometría del plano euclidiano
• Isometría

• El SSS en Cut-the-Knot
• La SSA en Cut-the-Knot
• Animaciones interactivas que demuestran polígonos congruentes , ángulos congruentes , segmentos de línea congruentes y triángulos congruentes en Math Open Reference.