Función de conjunto sigma-aditiva

En matemáticas , una función de conjunto aditiva es una función$μ$mapeo de conjuntos a números, con la propiedad de que su valor en la unión de dos conjuntos disjuntos es igual a la suma de sus valores en estos conjuntos, a saber,${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$Si esta propiedad de aditividad se cumple para dos conjuntos cualesquiera, entonces también se cumple para cualquier número finito de conjuntos, es decir, el valor de la función en la unión de k conjuntos disjuntos (donde k es un número finito) es igual a la suma de sus valores en los conjuntos. Por lo tanto, una función de conjunto aditiva también se denomina función de conjunto finitamente aditiva (los términos son equivalentes). Sin embargo, una función de conjunto finitamente aditiva podría no tener la propiedad de aditividad para una unión de un número infinito de conjuntos. Una función de conjunto σ -aditiva es una función que tiene la propiedad de aditividad incluso para un número infinito numerable de conjuntos, es decir,${\textstyle \mu \left(\bigcup _ {n=1}^{\infty }A_ {n}\right)=\sum _ {n=1}^{\infty} \mu (A_ {n}).}$

La aditividad y la sigma-aditividad son propiedades particularmente importantes de las medidas . Son abstracciones de cómo se suman las propiedades intuitivas del tamaño ( longitud , área , volumen ) de un conjunto al considerar múltiples objetos. La aditividad es una condición más débil que la σ -aditividad; es decir, la σ -aditividad implica aditividad.

El término función de conjunto modular es equivalente a función de conjunto aditivo; véase modularidad más abajo.

Dejar${\displaystyle \mu }$sea ​​una función de conjunto definida en un álgebra de conjuntos.${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$con valores en${\displaystyle [-\infty,\infty]}$(véase la recta numérica real extendida ). La función${\displaystyle \mu }$se llamaaditivo ofinitamente aditivo , si siempre que${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son conjuntos disjuntos en${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$entonces $${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$$ Una consecuencia de esto es que una función aditiva no puede tomar ambas${\displaystyle -\infty }$y${\displaystyle +\infty }$como valores, para la expresión${\displaystyle \infty -\infty }$no está definido.

Se puede demostrar por inducción matemática que una función aditiva satisface $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu \left(A_{n}\right)}$$ para cualquier${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}}$conjuntos disjuntos en${\textstyle {\mathcal {A}}.}$

Supongamos que${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$es un σ -álgebra . Si para cada secuencia${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$de conjuntos disjuntos por pares en${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}),}$$ entonces sostiene${\displaystyle \mu }$Se dice que es numerablemente aditiva o 𝜎-aditiva . Toda función 𝜎 -aditiva es aditiva, pero no al revés, como se muestra a continuación.

Supongamos que además de un álgebra sigma${\textstyle {\mathcal {A}},}$tenemos una topología${\displaystyle \tau .}$Si para cada familia dirigida de conjuntos abiertos medibles${\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G),}$$ decimos que${\displaystyle \mu }$es${\displaystyle \tau }$-aditivo. En particular, si${\displaystyle \mu }$es internamente regular (con respecto a conjuntos compactos) entonces es${\displaystyle \tau }$-aditivo. ^{[ 1 ]}

Propiedades útiles de una función de conjunto aditiva${\displaystyle \mu }$Incluir lo siguiente.

Un ejemplo de una función 𝜎 -aditiva es la función${\displaystyle \mu }$definido sobre el conjunto potencia de los números reales , de tal manera que $${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}}$$

Si${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$Si es una secuencia de conjuntos disjuntos de números reales, entonces o ninguno de los conjuntos contiene 0, o precisamente uno de ellos lo contiene. En cualquier caso, la igualdad $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$ sostiene.

Consulte las secciones de medida y medida con signo para obtener más ejemplos de funciones 𝜎 -aditivas.

Una carga se define como una función de conjunto finitamente aditiva que mapea${\displaystyle \varnothing }$a${\displaystyle 0.}$^{[ 2 ]} (Cf.espacio bapara información sobreacotadas, donde decimos que una carga estáacotadapara indicar que su rango es un subconjunto acotado deR.)

Se pueden definir funciones aditivas con valores en cualquier monoide aditivo (por ejemplo, cualquier grupo o, más comúnmente, un espacio vectorial ). Para la sigma-aditividad, se necesita además que el concepto de límite de una sucesión esté definido en ese conjunto. Por ejemplo, las medidas espectrales son funciones sigma-aditivas con valores en un álgebra de Banach . Otro ejemplo, también de la mecánica cuántica , es la medida con valores de operador positivo .

• Mapa aditivo – homomorfismo de módulo Z 
• Teorema de Hahn-Kolmogorov : Teorema que extiende las premedidas a medidas. Páginas que muestran breves descripciones de los destinos de redireccionamiento. 
• Medida (matemáticas) – Generalización de masa, longitud, área y volumen 
• Medida σ-finita : concepto en teoría de la medida. 
• Medida con signo : noción generalizada de medida en matemáticas. 
• Función de conjunto submodular : mapeo de conjunto a real con rendimientos decrecientes. 
• Función de conjunto subaditivo
• τ-aditividad – Propiedad de ciertas medidas en espacios topológicos Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento 
• espacio ba – El conjunto de cargas acotadas en un álgebra sigma dada

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