espacio σ -compacto

En matemáticas , se dice que un espacio topológico es σ -compacto si es la unión de una cantidad numerable de subespacios compactos . ^{[ 1 ]}

Se dice que un espacio es σ -localmente compacto si es a la vez σ- compacto y (débilmente) localmente compacto . ^{[ 2 ]} Esta terminología puede resultar algo confusa, ya que no se ajusta al patrón habitual de σ-(propiedad), que significa una unión numerable de espacios que satisfacen (propiedad); por eso, a estos espacios se les suele denominar explícitamente σ-compactos (débilmente) localmente compactos , lo cual también es equivalente a ser agotables por conjuntos compactos . ^{[ 3 ]}

• Todo espacio compacto es σ- compacto, y todo espacio σ -compacto es Lindelöf (es decir, toda cubierta abierta tiene una subcubierta numerable ). ^{[ 4 ]} Las implicaciones inversas no se cumplen, por ejemplo, el espacio euclidiano estándar ( R ⁿ ) es σ -compacto pero no compacto, ^{[ 5 ]} y la topología del límite inferior en la recta real es Lindelöf pero no σ -compacta. ^{[ 6 ]} De hecho, la topología del complemento numerable en cualquier conjunto no numerable es Lindelöf pero no σ -compacta ni localmente compacta. ^{[ 7 ]} Sin embargo, es cierto que cualquier espacio Lindelöf localmente compacto es σ -compacto.
• (Los números irracionales )${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$no es σ -compacto. ^{[ 8 ]}
• Un espacio de Hausdorff y Baire que además es σ -compacto, debe ser localmente compacto en al menos un punto.
• Si G es un grupo topológico y es localmente compacto en un punto, entonces G es localmente compacto en todas partes. Por lo tanto, la propiedad anterior nos indica que si G es un grupo topológico de Hausdorff σ -compacto que también es un espacio de Baire, entonces G es localmente compacto. Esto demuestra que, para los grupos topológicos de Hausdorff que también son espacios de Baire, la compacidad σ implica la compacidad local.
• La propiedad anterior implica, por ejemplo, que R ^ω no es σ- compacto: si lo fuera , necesariamente sería localmente compacto ya que R ^ω es un grupo topológico que también es un espacio de Baire.
• Todo espacio hemicompacto es σ -compacto. ^{[ 9 ]} Sin embargo, lo contrario no es cierto; ^{[ 10 ]} por ejemplo, el espacio de los racionales , con la topología usual, es σ -compacto pero no hemicompacto.
• El producto de un número finito de espacios σ- compactos es σ- compacto. Sin embargo, el producto de un número infinito de espacios σ- compactos puede no ser σ- compacto. ^{[ 11 ]}
• Un espacio σ -compacto X es de segunda categoría (respectivamente de Baire) si y solo si el conjunto de puntos en los que X es localmente ^compacto no es vacío (respectivamente denso) en X. ^{[ 12} ]

• Agotamiento por conjuntos compactos
• Espacio de Lindelöf – Tipo de espacio topológico 
• Espacio localmente compacto : un tipo de espacio topológico en matemáticas. 

• Steen, Lynn A. y Seebach, J. Arthur Jr.; Contraejemplos en topología , Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Willard, Stephen (2004). Topología general . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.