Extensión radical

En matemáticas y más específicamente en teoría de campos , una extensión radical de un campo${\displaystyle K}$es una extensión de campo obtenida mediante una torre de extensiones de campo, cada una generada al adjuntar una raíz enésima de un elemento del campo anterior.

Una extensión radical simple es una extensión simple F / K generada por un solo elemento.${\displaystyle \alpha }$satisfactorio${\displaystyle \alpha ^{n}=b}$para un elemento b de K. En característica p , también consideramos que una extensión mediante una raíz de un polinomio de Artin-Schreier es una extensión radical simple. Una serie radical es una torre${\displaystyle K=F_{0}<F_{1}<\cdots <F_{k}}$donde cada extensión${\displaystyle F_{i}/F_{i-1}}$es una extensión radical simple. En este caso, la extensión de campo${\displaystyle F_{k}/K}$se denomina extensión radical .

1. Si E es una extensión radical de F y F es una extensión radical de K, entonces E es una extensión radical de K.
2. Si E y F son extensiones radicales de K en un cuerpo de extensión C de K , entonces el compuesto EF (el subcuerpo más pequeño de C que contiene tanto a E como a F ) es una extensión radical de K.
3. Si E es una extensión radical de F y E  > K > F entonces E es una extensión radical de K.    

Las extensiones radicales surgen de forma natural al resolver ecuaciones polinómicas en radicales . De hecho, una solución en radicales es la expresión de la solución como un elemento de una serie radical: se dice que un polinomio f sobre un cuerpo K es resoluble por radicales si existe un cuerpo de descomposición de f sobre K contenido en una extensión radical de K.

El teorema de Abel-Ruffini establece que, en general, no existe una solución mediante radicales para ecuaciones de grado al menos cinco. Évariste Galois demostró que una ecuación es resoluble en radicales si y solo si su grupo de Galois es resoluble . La demostración se basa en el teorema fundamental de la teoría de Galois y en el siguiente teorema.

Sea K un cuerpo que contiene n raíces n- ésimas distintas de la unidad . Una extensión de K de grado n es una extensión radical generada por una raíz n- ésima de un elemento de K si y solo si es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es un grupo cíclico de orden n .

La demostración está relacionada con las resolventes de Lagrange . Sea${\displaystyle \omega }$sea ​​una raíz n- ésima primitiva de la unidad (perteneciente a K ). Si la extensión es generada por${\displaystyle \alpha }$con${\displaystyle x^{n}-a}$como un polinomio mínimo , la aplicación${\displaystyle \alpha \mapsto \omega \alpha }$induce un K -automorfismo de la extensión que genera el grupo de Galois, mostrando la implicación "solo si". Por el contrario, si${\displaystyle \phi }$es un K -automorfismo que genera el grupo de Galois, y${\displaystyle \beta }$es un generador de la extensión, let

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=0}^{n-1}\omega ^{-i}\phi ^{i}(\beta ).}$

La relación${\displaystyle \phi (\alpha )=\omega \alpha }$implica que el producto de los conjugados de${\displaystyle \alpha }$(esas son las imágenes de${\displaystyle \alpha }$por los K -automorfismos) pertenece a K y es igual al producto de${\displaystyle \alpha ^{n}}$por el producto de las raíces enésimas de la unidad. Como el producto de las raíces enésimas de las unidades es${\displaystyle \pm 1}$, esto implica que${\displaystyle \alpha ^{n}\in K,}$y por lo tanto que la extensión es una extensión radical.

De este teorema se deduce que una extensión de Galois puede extenderse a una extensión radical si y solo si su grupo de Galois es resoluble (pero existen extensiones de Galois no radicales cuyo grupo de Galois es resoluble, por ejemplo${\textstyle \mathbb {Q} (\cos(2\pi /7))/\mathbb {Q} }$En terminología moderna, este es el criterio de solubilidad por radicales propuesto por Galois. La demostración se basa en el hecho de que la clausura de Galois de una extensión radical simple de grado n es su extensión mediante una raíz primitiva n- ésima de la unidad, y que el grupo de Galois de las raíces n -ésimas de la unidad es cíclico.

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  211 (tercera edición revisada  ), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
• Roman, Steven (2006). Teoría de campos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  158 (2.ª  ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-27677-7. Zbl 1172.12001 .