Círculo de seno triple

En geometría triangular , el círculo seno-ángulo triple es uno de los muchos círculos que se pueden definir a partir de un triángulo . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Para el triángulo ABC , sean A ₁ y A ₂ puntos en el lado BC , con B ₁ , B ₂ , C ₁ y C ₂ definidos de manera similar en CA y AB respectivamente. Si

${\displaystyle \angle A=\angle AB_{1}C_{1}=AC_{2}B_{2},}$

${\displaystyle \angle B=\angle BC_{1}A_{1}=BA_{2}C_{2},}$

y

${\displaystyle \angle C=\angle CA_{1}B_{1}=CB_{2}A_{2},}$

Entonces A ₁ , A ₂ , B ₁ , B ₂ , C ₁ y C ₂ se encuentran en un círculo llamado círculo seno-triple-ángulo , ^{[ 3 ]} originalmente denominado por Tucker y Neuberg como cercle triplicateur . ^{[ 4 ]}

• ${\displaystyle |A_{1}A_{2}|:|B_{1}B_{2}|:|C_{1}C_{2}|=\sin 3A:\sin 3B:\sin 3C}$. ^{[ 5 ]} , que da nombre al círculo. Sin embargo, hay una cantidad infinita no numerable de círculos que también satisfacen esta identidad. Los centros de estos círculos están en la hipérbola que pasa por el incentro , tres excentros y X(49) (véase más abajo X ₄₉ ). ^{[ 6 ]}
• Los centros homotéticos del círculo de nueve puntos y del círculo seno-triple ángulo son el punto de Kosnita y el foco de la parábola de Kiepert .
• Los centros homotéticos de la circunferencia circunscrita y del círculo seno-triple-ángulo son X(184), el inverso del centro de Jerabek en el círculo de Brocard y X(1147). ^{[ 7 ]}
• Las intersecciones de la polar de A, B y C con el círculo y BC, CA y AB son colineales . ^{[ 8 ]}
• El radio del círculo seno triple ángulo es

${\displaystyle {\frac {R}{|1+8\cos(A)\cos(B)\cos(C)|}},}$

donde R es el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo ABC .

El centro del círculo seno-triple-ángulo es un centro de triángulo designado como X(49) en la Enciclopedia de Centros de Triángulos . ^{[ 7 ] [ 9 ]} con coordenadas trilineales

${\displaystyle \cos(3A):\cos(3B):\cos(3C)}$.

Para un número natural dado n>0, si

${\displaystyle \angle A_{1}C_{1}A_{2}=(2n-1)A-(n-1)\pi ,}$

${\displaystyle \angle B_{1}A_{1}B_{2}=(2n-1)B-(n-1)\pi ,}$

y

${\displaystyle \angle C_{1}B_{1}C_{2}=(2n-1)C-(n-1)\pi ,}$

entonces

${\displaystyle |A_{1}A_{2}|:|B_{1}B_{2}|:|C_{1}C_{2}|=\sin(2n-1)A:\sin(2n-1)B:\sin(2n-1)C}$

y

A ₁ , A ₂ , B ₁ , B ₂ , C ₁ y C ₂ son concíclicos . ^{[ 8 ]} El círculo seno-triple-ángulo es el caso especial donde n=2.

• Círculo de Taylor
• Círculo de Tucker
• Triángulo cónico
• Ángulo triple

• V. Thebault (1965). Círculo de ángulo triple seno . Vol.  65. Mathesis . págs. 282–284 . 
• Ehrmann, Jean-Pierre; Lamoen, Furgoneta de piso (2002). Los círculos de Stammler . Foro Geométricorum . págs. 151-161 . 

• Weisstein, Eric W. "Círculo de ángulo triple seno" . MathWorld .
• GeoGebra , X(49) Centro del círculo seno-triple ángulo