Singularidad (matemáticas)

En matemáticas , una singularidad es un punto en el que un objeto matemático dado no está definido, o un punto donde el objeto matemático deja de comportarse bien de alguna manera particular, como por ejemplo, al carecer de diferenciabilidad o analiticidad . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Por ejemplo, la función recíproca${\displaystyle f(x)=1/x}$tiene una singularidad en${\displaystyle x=0}$donde el valor de la función no está definido, como implica una división por cero . La función de valor absoluto${\displaystyle g(x)=|x|}$también tiene una singularidad en${\displaystyle x=0}$, puesto que allí no es diferenciable . ^{[ 4 ]}

La curva algebraica definida por${\displaystyle \left\{(x,y):y^{3}-x^{2}=0\right\}}$en el${\displaystyle (x,y)}$El sistema de coordenadas tiene una singularidad (llamada cúspide ) en${\displaystyle (0,0)}$Para singularidades en geometría algebraica , véase punto singular de una variedad algebraica . Para singularidades en geometría diferencial , véase teoría de singularidades .

En análisis real , las singularidades son discontinuidades o discontinuidades de la derivada (a veces también discontinuidades de derivadas de orden superior). Existen cuatro tipos de discontinuidades: tipo  I , que tiene dos subtipos, y tipo  II , que también puede dividirse en dos subtipos (aunque generalmente no es así).

Para describir la forma en que se utilizan estos dos tipos de límites, supongamos que${\displaystyle f(x)}$es una función de un argumento real${\displaystyle x}$y para cualquier valor de su argumento, digamos${\displaystyle c}$, entonces el límite para zurdos ,${\displaystyle f(c^{-})}$y el límite diestro ,${\displaystyle f(c^{+})}$, se definen por:

${\displaystyle f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)}$, limitado por${\displaystyle x<c}$y

${\displaystyle f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)}$, limitado por${\displaystyle x>c}$.

El valor${\displaystyle f(c^{-})}$es el valor que la función${\displaystyle f(x)}$tiende hacia como valor${\displaystyle x}$aproches${\displaystyle c}$desde abajo y el valor${\displaystyle f(c^{+})}$es el valor que la función${\displaystyle f(x)}$tiende hacia como valor${\displaystyle x}$aproches${\displaystyle c}$desde arriba , independientemente del valor real que tenga la función en el punto donde${\displaystyle x=c}$ .

Hay algunas funciones para las que estos límites no existen en absoluto. Por ejemplo, la función

${\displaystyle g(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

no tiende hacia nada como${\displaystyle x}$aproches${\displaystyle c=0}$. Los límites en este caso no son infinitos, sino indefinidos : no hay ningún valor que${\displaystyle g(x)}$se instala. Tomando prestado del análisis complejo, a esto a veces se le llama una singularidad esencial .

Los casos posibles para un valor dado${\displaystyle c}$Los argumentos son los siguientes.

• Un punto de continuidad es un valor de${\displaystyle c}$para qué${\displaystyle f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})}$, como se espera de una función suave. Todos los valores deben ser finitos. Si${\displaystyle c}$no es un punto de continuidad, entonces se produce una discontinuidad en${\displaystyle c}$.
• Se produce una discontinuidad de tipo  I cuando ambos${\displaystyle f(c^{-})}$y${\displaystyle f(c^{+})}$Existen y son finitos, pero además se cumple al menos una de las tres condiciones siguientes:
  • ${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$;
  • ${\displaystyle f(x)}$no está definido para el caso de${\displaystyle x=c}$; o
  • ${\displaystyle f(c)}$tiene un valor definido, que, sin embargo, no coincide con el valor de los dos límites.

  Las discontinuidades de tipo I se pueden distinguir además como uno de los siguientes subtipos:

  • Se produce una discontinuidad de salto cuando${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$, independientemente de si${\displaystyle f(c)}$está definido, e independientemente de su valor si está definido.
  • Se produce una discontinuidad removible cuando${\displaystyle f(c^{-})=f(c^{+})}$, también independientemente de si${\displaystyle f(c)}$está definido, e independientemente de su valor si está definido (pero que no coincide con el de los dos límites).
• Se produce una discontinuidad de tipo  II cuando${\displaystyle f(c^{-})}$o${\displaystyle f(c^{+})}$No existe (posiblemente ambos). Esto tiene dos subtipos, que normalmente no se consideran por separado:
  • Una discontinuidad infinita es el caso especial en el que el límite izquierdo o el derecho no existen, específicamente porque son infinitos, y el otro límite también es infinito o es un número finito bien definido. En otras palabras, la función tiene una discontinuidad infinita cuando su gráfica tiene una asíntota vertical .
  • Una singularidad esencial es un término tomado del análisis complejo (véase más abajo). Este es el caso cuando uno u otro límite${\displaystyle f(c^{-})}$o${\displaystyle f(c^{+})}$no existe, pero no porque sea una discontinuidad infinita . Las singularidades esenciales no se aproximan a ningún límite, ni siquiera si las respuestas válidas se extienden para incluir${\displaystyle \pm \infty }$.

En análisis real, una singularidad o discontinuidad es una propiedad exclusiva de la función. Cualquier singularidad que pueda existir en la derivada de una función se considera propia de la derivada, no de la función original.

En el análisis complejo , existen varias clases de singularidades. Estas incluyen las singularidades aisladas, las singularidades no aisladas y los puntos de ramificación.

Una singularidad de tiempo finito ocurre cuando una variable de entrada es el tiempo y una variable de salida tiende a infinito en un tiempo finito. Estas son importantes en cinemática y ecuaciones diferenciales parciales ; los infinitos no ocurren físicamente, pero el comportamiento cerca de la singularidad suele ser de interés. Matemáticamente, las singularidades de tiempo finito más simples son leyes de potencia para varios exponentes de la forma${\displaystyle x^{-\alpha },}$de las cuales la más simple es el crecimiento hiperbólico , donde el exponente es (menos) 1:${\displaystyle x^{-1}.}$Más precisamente, para obtener una singularidad en tiempo positivo a medida que avanza el tiempo (de modo que la salida crezca hasta el infinito), se utiliza en su lugar${\displaystyle (t_{0}-t)^{-\alpha }}$(usando t para el tiempo, invirtiendo la dirección a${\displaystyle -t}$de modo que el tiempo aumenta hasta el infinito, y desplazando la singularidad hacia adelante desde 0 hasta un tiempo fijo.${\displaystyle t_{0}}$).

Un ejemplo sería el movimiento de rebote de una pelota inelástica sobre un plano. Si se considera un movimiento idealizado, en el que se pierde la misma fracción de energía cinética en cada rebote, la frecuencia de los rebotes se vuelve infinita, ya que la pelota se detiene en un tiempo finito. Otros ejemplos de singularidades de tiempo finito incluyen las diversas formas de la paradoja de Painlevé (por ejemplo, la tendencia de una tiza a rebotar al deslizarse sobre una pizarra) y cómo la velocidad de precesión de una moneda que gira sobre una superficie plana se acelera hacia el infinito, antes de detenerse abruptamente (como se estudió utilizando el disco de Euler ).

Entre los ejemplos hipotéticos se incluye la irónica " ecuación del fin del mundo " de Heinz von Foerster (los modelos simplistas dan como resultado una población humana infinita en un tiempo finito).

En geometría algebraica , una singularidad de una variedad algebraica es un punto de la variedad donde el espacio tangente puede no estar definido regularmente. El ejemplo más simple de singularidades son las curvas que se cruzan. Pero existen otros tipos de singularidades, como ^las cúspides . Por ejemplo, la ecuación y² − x³ = 0 define una curva que tiene una cúspide en el origen x = y = 0. Se podría definir el ^eje x como tangente en este punto, pero esta definición no puede ser la misma que la definición en otros puntos. De hecho, en este caso, el eje x es una "doble tangente".

Para las variedades afines y proyectivas , las singularidades son los puntos donde la matriz jacobiana tiene un rango menor que en otros puntos de la variedad.

Se puede dar una definición equivalente en términos de álgebra conmutativa , que se extiende a variedades y esquemas abstractos : Un punto es singular si el anillo local en este punto no es un anillo local regular .

• Teoría de la catástrofe
• Definido y no definido
• Degeneración (matemáticas)
• Crecimiento hiperbólico
• Singularidad móvil
• Patológico (matemáticas)
• Singularidad regular
• Solución singular