espacio de seis dimensiones

Un politopo en seis dimensiones se denomina 6-politopo. Los más estudiados son los politopos regulares , de los cuales solo hay tres en seis dimensiones : el 6-símplex , el 6-cubo y el 6-ortoplexo . Una familia más amplia son los 6-politopos uniformes , construidos a partir de dominios de simetría fundamentales de reflexión, cada dominio definido por un grupo de Coxeter . Cada politopo uniforme se define mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin anillado . El 6-demicube es un politopo único de la familia D6 _, y _los politopos 221 y 122 pertenecen a _{la familia E6} .

La 5-esfera, o hiperesfera en seis dimensiones, es la superficie pentadimensional equidistante de un punto. Tiene el símbolo ^S₅ y la ecuación para la 5-esfera, radio r , centro en el origen es

${\displaystyle S^{5}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{6}:\|x\|=r\right\}.}$

El volumen del espacio de seis dimensiones delimitado por esta 5-esfera es

${\displaystyle V_{6}={\frac {\pi ^{3}r^{6}}{6}}}$

lo cual es 5,16771 × r ⁶ , o 0,0807 del 6-cubo más pequeño que contiene la 5-esfera.

La 6-esfera, o hiperesfera en siete dimensiones, es la superficie de seis dimensiones equidistante de un punto. Tiene el símbolo S ⁶ , y la ecuación para la 6-esfera, radio r , centro en el origen es

${\displaystyle S^{6}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{7}:\|x\|=r\right\}.}$

El volumen del espacio delimitado por esta 6-esfera es

${\displaystyle V_{7}={\frac {16\pi ^{3}r^{7}}{105}}}$

lo cual es 4,72477 × r ⁷ , o 0,0369 del cubo de 7 más pequeño que contiene la esfera de 6.

En el espacio euclidiano de seis dimensiones, se pueden trazar seis ejes mutuamente ortogonales a través de cualquier punto. Estos forman un grupo isomorfo con los seis ejes de simetría quíntuple del icosaedro regular, lo que permite una proyección simétrica icosaédrica en el espacio tridimensional. Esta proyección desempeña un papel fundamental en la cristalografía de los cuasicristales icosaédricos .

En el espacio tridimensional, una transformación rígida tiene seis grados de libertad : tres traslaciones a lo largo de los tres ejes de coordenadas y tres del grupo de rotación SO(3) . A menudo, estas transformaciones se tratan por separado, ya que tienen estructuras geométricas muy diferentes, pero existen maneras de abordarlas tratándolas como un único objeto de seis dimensiones.

Espacio de fases

El espacio de fases es un espacio formado por la posición y el momento de una partícula, que se pueden representar gráficamente en un diagrama de fases para resaltar la relación entre estas magnitudes. Una partícula que se mueve en tres dimensiones tiene un espacio de fases con seis dimensiones, demasiadas para representarlas gráficamente, pero que pueden analizarse matemáticamente. ^{[ 1 ]}

El grupo de rotación en cuatro dimensiones, SO(4), tiene seis grados de libertad. Esto se puede apreciar al considerar la matriz de 4 × 4 que representa una rotación: al ser una matriz ortogonal , está determinada, salvo un cambio de signo, por ejemplo, los seis elementos situados por encima de la diagonal principal. Sin embargo, este grupo no es lineal y presenta una estructura más compleja que otras aplicaciones vistas hasta ahora.

Otra forma de analizar este grupo es mediante la multiplicación de cuaterniones . Cada rotación en cuatro dimensiones se puede lograr multiplicando por un par de cuaterniones unitarios , uno antes y otro después del vector. Estos cuaterniones son únicos, salvo un cambio de signo para ambos, y generan todas las rotaciones cuando se utilizan de esta manera, por lo que el producto de sus grupos, ^S³ × S³ ^, es una doble cobertura de SO(4), que debe tener seis dimensiones.

Aunque el espacio en el que vivimos se considera tridimensional, existen aplicaciones prácticas para el espacio tetradimensional. Los cuaterniones, una de las formas de describir rotaciones en tres dimensiones, constituyen un espacio tetradimensional. Las rotaciones entre cuaterniones, por ejemplo, para la interpolación, se realizan en cuatro dimensiones. El espaciotiempo , que tiene tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal, también es tetradimensional, aunque con una estructura diferente a la del espacio euclidiano .

En electromagnetismo , el campo electromagnético se suele considerar compuesto por dos elementos: el campo eléctrico y el campo magnético . Ambos son campos vectoriales tridimensionales , relacionados entre sí por las ecuaciones de Maxwell . Un segundo enfoque consiste en combinarlos en un único objeto, el tensor electromagnético de seis dimensiones , una representación tensorial —o bivectorial— del campo electromagnético. Mediante este método, las ecuaciones de Maxwell se pueden condensar de cuatro ecuaciones en una única ecuación particularmente compacta:

${\displaystyle \partial \mathbf {F} =\mathbf {J} \,}$

donde F es la forma bivectorial del tensor electromagnético, J es la cuadricorriente y ∂ es un operador diferencial adecuado . ^{[ 2 ]}

En física, la teoría de cuerdas intenta describir la relatividad general y la mecánica cuántica con un único modelo matemático. Si bien busca modelar nuestro universo, se desarrolla en un espacio con más dimensiones que las cuatro del espacio-tiempo que conocemos. En particular, varias teorías de cuerdas se desarrollan en un espacio de diez dimensiones, añadiendo seis dimensiones adicionales. Estas dimensiones adicionales son necesarias para la teoría, pero, al no ser observables, se cree que son muy diferentes, quizás compactadas para formar un espacio de seis dimensiones con una geometría particular demasiado pequeña para ser observable.

Desde 1997 ha surgido otra teoría de cuerdas que funciona en seis dimensiones. Las teorías de cuerdas pequeñas son teorías de cuerdas no gravitacionales en cinco y seis dimensiones que surgen al considerar los límites de la teoría de cuerdas de diez dimensiones. ^{[ 3 ]}

Varias de las aplicaciones anteriores pueden relacionarse entre sí algebraicamente considerando los bivectores reales de seis dimensiones en cuatro dimensiones. Estos pueden escribirse${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{4}}$para el conjunto de bivectores en el espacio euclidiano o${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{3,1}}$para el conjunto de bivectores en el espaciotiempo. Las coordenadas de Plücker son bivectores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$mientras que el tensor electromagnético analizado en la sección anterior es un bivector en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}}$Los bivectores se pueden utilizar para generar rotaciones en ambos sentidos.${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$o${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}}$a través del mapa exponencial (por ejemplo, aplicando el mapa exponencial de todos los bivectores en${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{4}}$genera todas las rotaciones en${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$). También pueden relacionarse con transformaciones generales en tres dimensiones a través de coordenadas homogéneas, que pueden considerarse como rotaciones modificadas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.

Los bivectores surgen de sumas de todos los posibles productos exteriores entre pares de 4-vectores. Por lo tanto, tienen C 4 2  = 6 componentes y se pueden escribir de forma más general como

${\displaystyle \mathbf {B} =B_{12}\mathbf {e} _{12}+B_{13}\mathbf {e} _{13}+B_{14}\mathbf {e} _{14}+B_{23}\mathbf {e} _{23}+B_{24}\mathbf {e} _{24}+B_{34}\mathbf {e} _{34}}$

Son los primeros bivectores que no pueden generarse todos mediante productos de pares de vectores. Los que sí pueden son bivectores simples y las rotaciones que generan son rotaciones simples . Otras rotaciones en cuatro dimensiones son rotaciones dobles e isoclínicas y corresponden a bivectores no simples que no pueden generarse mediante un solo producto de cuña. ^{[ 4 ]}

En 1901, J. W. Gibbs publicó un trabajo sobre vectores que incluía una magnitud de seis dimensiones a la que denominó bivector . Este consistía en dos vectores tridimensionales en un solo objeto, que utilizó para describir elipses en tres dimensiones. Su uso ha caído en desuso a medida que se han desarrollado otras técnicas, y el nombre bivector se asocia ahora más estrechamente con el álgebra geométrica. ^{[ 5 ]}