Bivector

El bivector surge de la definición del producto geométrico sobre un espacio vectorial con una forma cuadrática asociada, a veces llamada métrica . Para los vectores a , b y c , el producto geométrico satisface las siguientes propiedades:

Asociatividad

${\displaystyle (\mathbf {ab} )\mathbf {c} =\mathbf {a} (\mathbf {bc} )}$

Distributividad izquierda y derecha

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {ab} +\mathbf {ac} \\(\mathbf {b} +\mathbf {c} )\mathbf {a} &=\mathbf {ba} +\mathbf {ca} \end{aligned}}}$

cuadrado escalar

⁠${\displaystyle \mathbf {a} ^{2}=Q(\mathbf {a} )}$⁠ , donde Q es la forma cuadrática, que no tiene por qué ser definida positiva .

Por asociatividad, a ( ab ) = a²b es un escalar multiplicado por b . Cuando b no es paralelo a a y, por lo tanto ^, no es un múltiplo escalar de a , ab no puede ser un escalar. Pero

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba} )={\tfrac {1}{2}}\left((\mathbf {a} +\mathbf {b} )^{2}-\mathbf {a} ^{2}-\mathbf {b} ^{2}\right)}$

es una suma de escalares y por lo tanto un escalar. Según la ley de los cosenos en el triángulo formado por los vectores, su valor es | a | | b | cos θ , donde θ es el ángulo entre los vectores. Por lo tanto, es idéntico al producto escalar entre dos vectores y se escribe de la misma manera.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba} ).}$

Es simétrica, escalar y puede utilizarse para determinar el ángulo entre dos vectores: en particular, si a y b son ortogonales, el producto es cero.

Así como el producto escalar puede formularse como la parte simétrica del producto geométrico de otra cantidad, el producto exterior (a veces conocido como producto "cuña" o "progresivo") puede formularse como su parte antisimétrica :

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )}$

Es antisimétrico en a y b.

${\displaystyle \mathbf {b} \wedge \mathbf {a} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ba} -\mathbf {ab} )=-{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )=-\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$

y además:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba} )+{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )=\mathbf {ab} }$

Es decir, el producto geométrico es la suma del producto escalar simétrico y el producto exterior alternado.

Para examinar la naturaleza de a ∧ b , consideremos la fórmula

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}-(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )^{2}=\mathbf {a} ^{2}\mathbf {b} ^{2},}$

que, utilizando la identidad trigonométrica pitagórica, da el valor de ( a ∧ b ) ^².

${\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}-\mathbf {a} ^{2}\mathbf {b} ^{2}=\left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}(\cos ^{2}\theta -1)=-\left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}\sin ^{2}\theta }$

Con un cuadrado negativo, no puede ser una magnitud escalar ni vectorial, por lo que es un nuevo tipo de objeto, un bivector . Su magnitud es | a | | b | | sin θ | , donde θ es el ángulo entre los vectores, y por lo tanto es cero para vectores paralelos.

Para distinguirlos de los vectores, los bivectores se escriben aquí en mayúsculas y negrita, por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =-\mathbf {b} \wedge \mathbf {a} \,,}$

aunque se utilizan otras convenciones, en particular porque los vectores y los bivectores son elementos del álgebra geométrica.

El espacio de todos los bivectores tiene dimensión ⁠ 1 / 2 ⁠ n ( n − 1) y se escribe ⋀ ² R ⁿ , ^{[ 13 ]} y es la segunda potencia exterior del espacio vectorial original.

La subálgebra generada por los bivectores es la subálgebra par del álgebra geométrica, escrita Cl ^[0] _n ( R ) . Esta álgebra resulta de considerar todas las sumas repetidas y productos geométricos de escalares y bivectores. Tiene dimensión 2 ^{n −1} , y contiene ⋀ ² R ⁿ como un subespacio lineal. En dos y tres dimensiones, la subálgebra par contiene solo escalares y bivectores, y cada uno es de particular interés. En dos dimensiones, la subálgebra par es isomorfa a los números complejos , C , mientras que en tres es isomorfa a los cuaterniones , H . La subálgebra par contiene las rotaciones en cualquier dimensión.

Como se indicó en la sección anterior, la magnitud de un bivector simple, es decir, el producto exterior de dos vectores a y b , es | a | | b | sen θ , donde θ es el ángulo entre los vectores. Se escribe | B | , donde B es el bivector.

Para bivectores generales, la magnitud se puede calcular tomando la norma del bivector considerado como un vector en el espacio ⋀ ² R ⁿ . Si la magnitud es cero, entonces todas las componentes del bivector son cero, y el bivector es el bivector cero que, como elemento del álgebra geométrica, es igual al escalar cero.

Un bivector unitario es aquel con magnitud unitaria. Dicho bivector se puede derivar de cualquier bivector distinto de cero dividiendo el bivector por su magnitud, es decir

${\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\left\vert \mathbf {B} \right\vert }}.}$

De particular utilidad son los bivectores unitarios formados a partir de los productos de la base estándar del espacio vectorial. Si e _i y e _j son vectores base distintos, entonces el producto e _i ∧ e _j es un bivector. Como e _i y e _j son ortogonales, e _i ∧ e _j = e _i e _j , escrito e _ij , y tiene magnitud unitaria ya que los vectores son vectores unitarios . El conjunto de todos los bivectores producidos a partir de la base de esta manera forma una base para ⋀ ² R ⁿ . Por ejemplo, en cuatro dimensiones la base para ⋀ ² R ⁴ es ( e ₁ e ₂ , e ₁ e ₃ , e ₁ e ₄ , e ₂ e ₃ , e ₂ e ₄ , e ₃ e ₄ ) o ( e ₁₂ , e ₁₃ , e ₁₄ , e ₂₃ , e ₂₄ , e ₃₄ ). ^{[ 14 ]}

El producto exterior de dos vectores es un bivector, pero no todos los bivectores son productos exteriores de dos vectores. Por ejemplo, en cuatro dimensiones el bivector

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}}$

no se puede escribir como el producto exterior de dos vectores. Un bivector que se puede escribir como el producto exterior de dos vectores es simple. En dos y tres dimensiones, todos los bivectores son simples, pero no en cuatro o más dimensiones; en cuatro dimensiones, todo bivector es la suma de, como máximo, dos productos exteriores. Un bivector tiene un cuadrado real si y solo si es simple, y solo los bivectores simples se pueden representar geométricamente mediante un área plana dirigida. ^{[ 4 ]}

El producto geométrico de dos bivectores, A y B , es

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {B} .}$

La cantidad A · B es el producto escalar con valores escalares, mientras que A ∧ B es el producto exterior de grado 4 que surge en cuatro o más dimensiones. La cantidad A × B es el producto conmutador con valores bivectoriales , dado por

${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {AB} -\mathbf {BA} ),}$^{[ 15 ]}

El espacio de bivectores ⋀ ² R ⁿ es un álgebra de Lie sobre R , con el producto conmutador como corchete de Lie. El producto geométrico completo de bivectores genera la subálgebra par.

De particular interés es el producto de un bivector consigo mismo. Como el producto conmutador es antisimétrico, el producto se simplifica a

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$

Si el bivector es simple, el último término es cero y el producto es el escalar A · A , que puede usarse como comprobación de simplicidad. En particular, el producto exterior de bivectores solo existe en cuatro o más dimensiones, por lo que todos los bivectores en dos y tres dimensiones son simples. ^{[ 4 ]}

Los bivectores son isomorfos a matrices antisimétricas en cualquier número de dimensiones. Por ejemplo, el bivector general B ₂₃ e ₂₃ + B ₃₁ e ₃₁ + B ₁₂ e ₁₂ en tres dimensiones se mapea a la matriz

${\displaystyle M_{B}={\begin{pmatrix}0&B_{12}&-B_{31}\\-B_{12}&0&B_{23}\\B_{31}&-B_{23}&0\end{pmatrix}}.}$

Esto multiplicado por vectores en ambos lados da el mismo vector que el producto de un vector y un bivector menos el producto exterior; un ejemplo es el tensor de velocidad angular .

Las matrices antisimétricas generan matrices ortogonales con determinante 1 mediante la aplicación exponencial. En particular, al aplicar la aplicación exponencial a un bivector asociado a una rotación se obtiene una matriz de rotación . La matriz de rotación M _R dada por la matriz antisimétrica anterior es

${\displaystyle M_{R}=\exp {M_{B}}.}$

La rotación descrita por M _R es la misma que la descrita por el rotor R dado por

${\displaystyle R=\exp {{\tfrac {1}{2}}B},}$

y la matriz M _R también se puede calcular directamente a partir del rotor R . En tres dimensiones, esto viene dado por

${\displaystyle M_{R}={\begin{pmatrix}(R\mathbf {e} _{1}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{1}&(R\mathbf {e} _{2}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{1}&(R\mathbf {e} _{3}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{1}\\(R\mathbf {e} _{1}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{2}&(R\mathbf {e} _{2}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{2}&(R\mathbf {e} _{3}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{2}\\(R\mathbf {e} _{1}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{3}&(R\mathbf {e} _{2}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{3}&(R\mathbf {e} _{3}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{3}\end{pmatrix}}.}$

Los bivectores están relacionados con los autovalores de una matriz de rotación. Dada una matriz de rotación M, los autovalores se pueden calcular resolviendo la ecuación característica de dicha matriz : 0 = det( M − λI ) . Según el teorema fundamental del álgebra, esta ecuación tiene tres raíces (de las cuales solo una es real, ya que solo hay un autovector, es decir, el eje de rotación). Las otras raíces deben ser un par complejo conjugado. Tienen magnitud unitaria, por lo que son logaritmos puramente imaginarios, iguales a la magnitud del bivector asociado a la rotación, que también es el ángulo de rotación. Los autovectores asociados a los autovalores complejos se encuentran en el plano del bivector, por lo que el producto exterior de dos autovectores no paralelos da como resultado el bivector (o un múltiplo del mismo).

Con las propiedades de cuadrado negativo y magnitud unitaria, el bivector unitario puede identificarse con la unidad imaginaria de los números complejos . Los bivectores y escalares juntos forman la subálgebra par del álgebra geométrica, que es isomorfa a los números complejos C. La subálgebra par tiene base (1, e ₁₂ ) , el álgebra completa tiene base (1, e ₁ , e ₂ , e ₁₂ ) .

Los números complejos se suelen identificar con los ejes de coordenadas y los vectores bidimensionales, lo que implica asociarlos con los elementos vectoriales del álgebra geométrica. Esto no presenta ninguna contradicción, ya que para obtener un número complejo a partir de un vector general, es necesario identificar un eje como el eje real, por ejemplo _{, e₁} . Este se multiplica por todos los vectores para generar los elementos de las subálgebras pares.

Todas las propiedades de los números complejos se pueden derivar de los bivectores, pero dos son de particular interés. Primero, al igual que con los números complejos, los productos de bivectores y, por lo tanto, la subálgebra par son conmutativos . Esto solo es cierto en dos dimensiones, por lo que las propiedades del bivector en dos dimensiones que dependen de la conmutatividad no suelen generalizarse a dimensiones superiores.

En segundo lugar, se puede escribir un bivector general.

${\displaystyle \theta \mathbf {e} _{12}=i\theta ,}$

donde θ es un número real. Poniendo esto en la serie de Taylor para el mapa exponencial y usando la propiedad e ₁₂ ² = −1 resulta en una versión bivectorial de la fórmula de Euler ,

${\displaystyle \exp {\theta \mathbf {e} _{12}}=\exp {i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta },}$

que, al multiplicarse por cualquier vector, lo rota un ángulo θ alrededor del origen:

${\displaystyle (x'\mathbf {e} _{1}+y'\mathbf {e} _{2})=(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2})\exp {i\theta }.}$

El producto de un vector por un bivector en dos dimensiones es anticonmutativo , por lo que los siguientes productos generan la misma rotación.

${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {v} \exp {i\theta }=\exp(-i\theta )\,\mathbf {v} =\exp({-i\theta }/{2})\,\mathbf {v} \exp({i\theta }/{2}).}$

De estos, el último producto es el que se generaliza a dimensiones superiores. La cantidad necesaria se llama rotor y se le da el símbolo R , por lo que en dos dimensiones se puede escribir un rotor que gira un ángulo θ.

${\displaystyle R=\exp({-{\tfrac {1}{2}}i\theta })=\exp({-{\tfrac {1}{2}}\theta \mathbf {e} _{12}}),}$

y la rotación que genera es ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \mathbf {v} '=R\mathbf {v} R^{-1}.}$

Los bivectores no son cerrados bajo el producto geométrico, pero la subálgebra par sí lo es. En tres dimensiones consta de todos los elementos escalares y bivectoriales del álgebra geométrica, por lo que un elemento general se puede escribir, por ejemplo, a + A , donde a es la parte escalar y A es la parte bivectorial. Se escribe Cl ^[0] ₃ y tiene base (1, e ₂₃ , e ₃₁ , e ₁₂ ) . El producto de dos elementos generales de la subálgebra par es

${\displaystyle (a+\mathbf {A} )(b+\mathbf {B} )=ab+a\mathbf {B} +b\mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \mathbf {B} .}$

La subálgebra par, es decir, el álgebra compuesta por escalares y bivectores, es isomorfa a los cuaterniones H. Esto se puede observar comparando la base con la base de cuaterniones, o a partir del producto anterior, que es idéntico al producto de cuaterniones, salvo por un cambio de signo que se relaciona con los productos negativos en el producto escalar de bivectores A · B. Otras propiedades de los cuaterniones pueden relacionarse de forma similar con el álgebra geométrica o derivarse de ella.

Esto sugiere que la división habitual de un cuaternión en partes escalar y vectorial se representaría mejor como una división en partes escalar y bivectorial; si se realiza esta división, el producto de cuaterniones es simplemente el producto geométrico. Además, relaciona los cuaterniones en tres dimensiones con los números complejos en dos, ya que cada uno es isomorfo a la subálgebra par de la dimensión, una relación que se generaliza a dimensiones superiores.

El vector de rotación, proveniente de la representación eje-ángulo de las rotaciones, es una forma compacta de representar rotaciones en tres dimensiones. En su forma más compacta, consiste en un vector, producto de un vector unitario ω que es el eje de rotación con el ángulo de rotación (con signo) θ , de modo que la magnitud del vector de rotación total θω es igual al ángulo de rotación (sin signo).

El cuaternión asociado a la rotación es

${\displaystyle q=\left(\cos {{\tfrac {1}{2}}\theta },\omega \sin {{\tfrac {1}{2}}\theta }\right)}$

En álgebra geométrica, la rotación se representa mediante un bivector. Esto se puede observar en su relación con los cuaterniones. Sea Ω un bivector unitario en el plano de rotación y θ el ángulo de rotación . Entonces, el bivector de rotación es Ω θ . El cuaternión se corresponde estrechamente con la exponencial de la mitad del bivector Ω θ . Es decir, las componentes del cuaternión corresponden a las partes escalar y bivectorial de la siguiente expresión: $${\displaystyle \exp {{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\Omega }}\theta }=\cos {{\tfrac {1}{2}}\theta }+{\boldsymbol {\Omega }}\sin {{\tfrac {1}{2}}\theta }}$$

La exponencial se puede definir en términos de su serie de potencias y se puede evaluar fácilmente utilizando el hecho de que Ω al cuadrado es −1 .

Así pues, las rotaciones pueden representarse mediante bivectores. Del mismo modo que los cuaterniones son elementos del álgebra geométrica, están relacionados por la función exponencial de dicha álgebra.

El bivector Ω θ genera una rotación a través del mapa exponencial. Los elementos pares generados rotan un vector general en tres dimensiones de la misma manera que los cuaterniones: $${\displaystyle \mathbf {v} '=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\Omega }}\theta )\,\mathbf {v} \exp({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\Omega }}\theta ).}$$

Como en dos dimensiones, la cantidad exp(− ⁠ 1 / 2 ⁠ Ω θ ) se llama rotor y se escribe R . La cantidad exp( ⁠ 1 / 2 ⁠ Ω θ ) es entonces R ⁻¹ , y generan rotaciones como $${\displaystyle \mathbf {v} '=R\mathbf {v} R^{-1}.}$$

Esto es idéntico a dos dimensiones, excepto que aquí los rotores son objetos tetradimensionales isomorfos a los cuaterniones. Esto se puede generalizar a todas las dimensiones, donde los rotores, elementos de la subálgebra par con magnitud unitaria, se generan mediante la aplicación exponencial de los bivectores. Forman una doble cubierta sobre el grupo de rotación, por lo que los rotores R y −R representan la misma rotación.

El vector de rotación es un ejemplo de vector axial . Los vectores axiales, o pseudovectores, son vectores con la característica especial de que sus coordenadas experimentan un cambio de signo con respecto a los vectores usuales (también llamados "vectores polares") bajo inversión a través del origen, reflexión en un plano u otra transformación lineal que invierta la orientación. ^{[ 18 ]} Ejemplos incluyen cantidades como el torque , el momento angular y los campos magnéticos vectoriales . Las cantidades que usarían vectores axiales en álgebra vectorial se representan adecuadamente mediante bivectores en álgebra geométrica. ^{[ 19 ]} Más precisamente, si se elige una orientación subyacente, los vectores axiales se identifican naturalmente con los vectores usuales; el dual de Hodge entonces da el isomorfismo entre vectores axiales y bivectores, de modo que cada vector axial está asociado con un bivector y viceversa; es decir,

${\displaystyle \mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} \,,\quad \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A} }$

donde​${\displaystyle {\star }}$es la estrella de Hodge. Nótese que si la orientación subyacente se invierte mediante inversión a través del origen, tanto la identificación de los vectores axiales con los vectores usuales como el dual de Hodge cambian de signo, pero los bivectores no se modifican. Alternativamente, usando el pseudoescalar unitario en Cl ₃ ( R ) , i = e ₁ e ₂ e ₃ se obtiene

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {a} i\,,\quad \mathbf {a} =-\mathbf {A} i.}$

Esto es más fácil de usar ya que el producto es simplemente el producto geométrico. Pero es antisimétrico porque (como en dos dimensiones) el pseudoescalar unitario i al cuadrado es −1 , por lo que se necesita un signo negativo en uno de los productos.

Esta relación se extiende a operaciones como el producto vectorial y el producto exterior bivectorial, ya que cuando se escriben como determinantes se calculan de la misma manera:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\,,\quad \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{23}&\mathbf {e} _{31}&\mathbf {e} _{12}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\,,}$

así están relacionados por el dual de Hodge:

${\displaystyle {\star }(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )=\mathbf {a\times b} \,,\quad {\star }(\mathbf {a\times b} )=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \,.}$

Los bivectores presentan varias ventajas sobre los vectores axiales. Permiten diferenciar mejor los vectores axiales de los polares, es decir, las cantidades que representan, de modo que resulta más claro qué operaciones están permitidas y cuáles son sus resultados. Por ejemplo, el producto escalar de un vector polar y un vector axial resultante del producto vectorial en el producto triple debería dar como resultado un pseudoescalar , un resultado que es más evidente si el cálculo se plantea como el producto exterior de un vector y un bivector. Se generalizan a otras dimensiones; en particular, los bivectores pueden utilizarse para describir cantidades como el par y el momento angular tanto en dos como en tres dimensiones. Además, se ajustan bastante bien a la intuición geométrica en varios aspectos, como se verá en la siguiente sección. ^{[ 20 ]}

Como sugiere su nombre y el del álgebra, los bivectores tienen una interpretación geométrica natural. Esto se aplica a cualquier número de dimensiones, pero se ilustra mejor en tres, donde se pueden establecer paralelismos con objetos más familiares. En dos dimensiones, la interpretación geométrica es trivial, ya que el espacio es bidimensional y, por lo tanto, tiene un solo plano, y todos los bivectores están asociados a él, diferenciándose únicamente por un factor escalar.

Todos los bivectores pueden interpretarse como planos , o más precisamente como segmentos de planos dirigidos. En tres dimensiones, existen tres propiedades de un bivector que pueden interpretarse geométricamente:

• La disposición del plano en el espacio, concretamente su orientación (o, alternativamente, su _rotación u orientación geométrica ), está asociada a la relación de las componentes del bivector. En particular, tres bivectores base, e₂₃, e₃₁ y e₁₂ , o sus múltiplos _escalares , se asocian respectivamente a los _planos yz , zx y xy .
• La magnitud del bivector se asocia con el área con signo del segmento plano, independientemente de su forma. Incluso puede representarse de otras maneras, como mediante una medida angular. Pero si los vectores se interpretan como longitudes, el bivector se suele interpretar como un área con la misma unidad de medida.
• Al igual que la dirección de un vector , un plano asociado a un bivector posee una dirección, un sentido de barrido o una rotación en el plano, que puede corresponder a dos valores: horario o antihorario, según se observe desde un punto de vista externo al plano. Esto se asocia a un cambio de signo en el bivector; es decir, si se invierte la dirección, el bivector se anula. Por otro lado, si dos bivectores tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas, uno es el opuesto del otro.
• Si se imagina como un paralelogramo, con el origen de dos de sus vectores de borde en 0 , entonces el área con signo es el determinante de las coordenadas cartesianas de los vectores ( a _x b _y − b _x a _y ).

En tres dimensiones, todo bivector puede generarse mediante el producto exterior de dos vectores. Si el bivector B = a ∧ b , entonces la magnitud de B es

${\displaystyle |\mathbf {B} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta ,}$

donde θ es el ángulo entre los vectores. Esta es el área del paralelogramo con lados a y b , como se muestra en el diagrama. Una interpretación es que el área es barrida por b al moverse a lo largo de a . El producto exterior es antisimétrico, por lo que invertir el orden de a y b para realizar un movimiento a lo largo de b resulta en un bivector con la dirección opuesta, que es el negativo del primero. El plano del bivector a ∧ b contiene tanto a como b, por lo que ambos son paralelos al plano.

Los bivectores y los vectores axiales están relacionados por su dualidad de Hodge . En un espacio vectorial real, la dualidad de Hodge relaciona el vector que representa un subespacio con su complemento ortogonal ; así, si un bivector representa un plano, el vector axial asociado a él es simplemente la normal a la superficie del plano . El plano tiene dos conjuntos normales de vectores, uno a cada lado, lo que da lugar a las dos posibles orientaciones del plano y del bivector.

En tres dimensiones, la dualidad de Hodge relaciona el producto vectorial con el producto exterior . También se puede usar para representar magnitudes físicas, como el torque y el momento angular . En álgebra vectorial, se suelen representar mediante pseudovectores perpendiculares al plano de la fuerza , el momento lineal o el desplazamiento a partir del cual se calculan. Pero si se usa un bivector, el plano es el del bivector, por lo que es una forma más natural de representar las magnitudes y su comportamiento. A diferencia de la representación vectorial, se generaliza a otras dimensiones.

El producto geométrico de dos bivectores tiene una interpretación geométrica. Para bivectores distintos de cero A y B, el producto se puede dividir en partes simétricas y antisimétricas de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \mathbf {B} .}$

Al igual que los vectores, estas magnitudes son | A · ​​B | = | A | | B | cos θ y | A × B | = | A | | B | sin θ , donde θ es el ángulo entre los planos. En tres dimensiones, es igual al ángulo entre los vectores normales duales a los planos, y se generaliza hasta cierto punto en dimensiones superiores.

Los bivectores se pueden sumar como áreas. Dados dos bivectores distintos de cero B y C en tres dimensiones, siempre es posible encontrar un vector que esté contenido en ambos, digamos a, por lo que los bivectores se pueden escribir como productos exteriores que involucran a :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \\\mathbf {C} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {c} \end{aligned}}}$

Esto puede interpretarse geométricamente como se ve en el diagrama: las dos áreas se suman para dar una tercera, y las tres áreas forman caras de un prisma con aristas a , b , c y b + c . Esto corresponde a las dos formas de calcular el área utilizando la propiedad distributiva del producto exterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} +\mathbf {C} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {c} \\&=\mathbf {a} \wedge (\mathbf {b} +\mathbf {c} ).\end{aligned}}}$

Esto solo funciona en tres dimensiones, ya que es el único número de dimensiones en el que debe existir un vector paralelo a ambos bivectores. En un mayor número de dimensiones, los bivectores generalmente no están asociados a un solo plano, o si lo están (bivectores simples), dos bivectores pueden no tener ningún vector en común y, por lo tanto, sumar un bivector no simple.

En cuatro dimensiones, el dual de Hodge de un bivector es un bivector, y el espacio ⋀ ² R ⁴ es dual de sí mismo. Los vectores normales no son únicos, sino que cada plano es ortogonal a todos los vectores en su espacio dual de Hodge. Esto se puede usar para particionar los bivectores en dos 'mitades', de la siguiente manera. Tenemos tres pares de bivectores ortogonales: ( e ₁₂ , e ₃₄ ) , ( e ₁₃ , e ₂₄ ) y ( e ₁₄ , e ₂₃ ) . Hay cuatro formas distintas de elegir un bivector de cada uno de los dos primeros pares, y una vez elegidos estos dos primeros, su suma produce el tercer bivector del otro par. Por ejemplo, ( e ₁₂ , e ₁₃ , e ₁₄ ) y ( e ₂₃ , e ₂₄ , e ₃₄ ) .

En cuatro dimensiones, los bivectores se generan mediante el producto exterior de vectores en R ⁴ , pero con una diferencia importante respecto a R ³ y R ² . En cuatro dimensiones, no todos los bivectores son simples. Hay bivectores como e ₁₂ + e ₃₄ que no se pueden generar mediante el producto exterior de dos vectores. Esto también significa que no tienen un cuadrado real, es decir, escalar. En este caso

${\displaystyle (\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34})^{2}=\mathbf {e} _{12}\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{12}\mathbf {e} _{34}+\mathbf {e} _{34}\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}\mathbf {e} _{34}=-2+2\mathbf {e} _{1234}.}$

El elemento e ₁₂₃₄ es el pseudoescalar en Cl ₄ , distinto del escalar, por lo que el cuadrado no es escalar.

Todos los bivectores en cuatro dimensiones se pueden generar utilizando como máximo dos productos exteriores y cuatro vectores. El bivector anterior se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}=\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.}$

De manera similar, todo bivector puede escribirse como la suma de dos bivectores simples. Para ello, es útil elegir dos bivectores ortogonales, lo cual siempre es posible. Además, para un bivector genérico, la elección de bivectores simples es única; es decir, solo hay una forma de descomponerlo en bivectores ortogonales. La única excepción es cuando los dos bivectores ortogonales tienen magnitudes iguales (como en el ejemplo anterior): en este caso, la descomposición no es única. ^{[ 4 ]} La descomposición siempre es única en el caso de bivectores simples, con la ventaja añadida de que una de las partes ortogonales es cero.

Al igual que en tres dimensiones, los bivectores en cuatro dimensiones generan rotaciones a través del mapa exponencial, y todas las rotaciones pueden generarse de esta manera. Al igual que en tres dimensiones, si B es un bivector, entonces el rotor R es exp ⁠ 1 / 2 ⁠ B y las rotaciones se generan de la misma manera:

${\displaystyle v'=RvR^{-1}.}$

Las rotaciones generadas son más complejas. Se pueden clasificar de la siguiente manera:

Las rotaciones simples son aquellas que fijan un plano en 4D y giran un ángulo "alrededor" de ese plano.

Las rotaciones dobles tienen un único punto fijo, el origen, y giran dos ángulos alrededor de dos planos ortogonales. En general, los ángulos son diferentes y los planos están definidos de forma única.

Las rotaciones isoclínicas son rotaciones dobles en las que los ángulos de rotación son iguales. En este caso, los planos alrededor de los cuales se produce la rotación no son únicos.

Estas se generan mediante bivectores de forma directa. Las rotaciones simples se generan mediante bivectores simples, con el plano fijo dual u ortogonal al plano del bivector. Se puede decir que la rotación tiene lugar alrededor de ese plano, en el plano del bivector. Todos los demás bivectores generan rotaciones dobles, con los dos ángulos de rotación iguales a las magnitudes de los dos bivectores simples que componen el bivector no simple. Las rotaciones isoclínicas surgen cuando estas magnitudes son iguales, en cuyo caso la descomposición en dos bivectores simples no es única. ^{[ 21 ]}

En general, los bivectores no conmutan, pero una excepción son los bivectores ortogonales y sus exponentes. Así, si el bivector B = B ₁ + B ₂ , donde B ₁ y B ₂ son bivectores simples ortogonales, se utiliza para generar una rotación, se descompone en dos rotaciones simples que conmutan de la siguiente manera:

${\displaystyle R=\exp({\tfrac {1}{2}}(\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2}))=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{1})\,\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{2})=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{2})\,\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{1})}$

Siempre es posible hacerlo, ya que todos los bivectores pueden expresarse como sumas de bivectores ortogonales.

El espaciotiempo es un modelo matemático de nuestro universo utilizado en la relatividad especial. Consta de tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal combinadas en un único espacio de cuatro dimensiones. Se describe naturalmente mediante álgebra geométrica y bivectores, reemplazando la métrica euclidiana por una métrica de Minkowski . Dicha álgebra es idéntica a la del espacio euclidiano, excepto que se cambia la signatura , por lo que

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}^{2}={\begin{cases}1,&i=1,2,3\\-1,&i=4\end{cases}}}$

(Nótese que el orden y los índices anteriores no son universales; aquí e ₄ es la dimensión de tipo temporal). El álgebra geométrica es Cl _3,1 ( R ) , y el subespacio de bivectores es ⋀ ² R ^3,1 .

Los bivectores simples son de dos tipos. Los bivectores simples e ₂₃ , e ₃₁ y e ₁₂ tienen cuadrados negativos y generan los bivectores del subespacio tridimensional correspondiente al espacio euclidiano, R ³ . Estos bivectores generan rotaciones ordinarias en R ³ .

Los bivectores simples e ₁₄ , e ₂₄ y e ₃₄ tienen cuadrados positivos y, como planos, abarcan una dimensión espacial y la dimensión temporal. Estos también generan rotaciones a través del mapa exponencial, pero en lugar de funciones trigonométricas, se necesitan funciones hiperbólicas, lo que genera un rotor como sigue:

${\displaystyle \exp {{\tfrac {1}{2}}{{\boldsymbol {\Omega }}\theta }}=\cosh {{\tfrac {1}{2}}\theta }+{\boldsymbol {\Omega }}\sinh {{\tfrac {1}{2}}\theta },}$

donde Ω es el bivector ( e ₁₄ , etc.), identificado a través de la métrica con una transformación lineal antisimétrica de R ^3,1 . Estos son impulsos de Lorentz , expresados ​​de una manera particularmente compacta, utilizando el mismo tipo de álgebra que en R ³ y R ⁴ .

En general, todas las rotaciones del espaciotiempo se generan a partir de bivectores mediante la aplicación exponencial, es decir, un rotor general generado por el bivector A tiene la forma

${\displaystyle R=\exp {{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} }.}$

El conjunto de todas las rotaciones en el espaciotiempo forma el grupo de Lorentz , y a partir de él se pueden deducir la mayoría de las consecuencias de la relatividad especial. De forma más general, esto demuestra cómo las transformaciones en el espacio euclidiano y el espaciotiempo pueden describirse utilizando el mismo tipo de álgebra.

(Nota: en esta sección, los vectores tridimensionales tradicionales se indican con líneas sobre los símbolos, y los vectores espaciotemporales y bivectores con símbolos en negrita, con los vectores J y A excepcionalmente en mayúsculas).

Las ecuaciones de Maxwell se utilizan en física para describir la relación entre los campos eléctricos y magnéticos . Normalmente se expresan como cuatro ecuaciones diferenciales, pero tienen una forma particularmente compacta cuando los campos se expresan como un bivector espaciotemporal de ⋀ ² R ^3,1 . Si los campos eléctrico y magnético en R ³ son E y B, entonces el bivector electromagnético es

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{c}}{\overline {E}}\mathbf {e} _{4}+{\overline {B}}\mathbf {e} _{123},}$

donde e ₄ es nuevamente el vector base para la dimensión temporal y c es la velocidad de la luz . El producto B e ₁₂₃ produce el bivector que es dual de Hodge a B en tres dimensiones, como se discutió anteriormente , mientras que E e ₄ como producto de vectores ortogonales también tiene valores bivectoriales. En conjunto, es el tensor electromagnético expresado de forma más compacta como un bivector, y se utiliza de la siguiente manera. Primero se relaciona con la 4-corriente J , una cantidad vectorial dada por

${\displaystyle \mathbf {J} ={\overline {j}}+c\rho \mathbf {e} _{4},}$

donde j es la densidad de corriente y ρ es la densidad de carga . Están relacionadas por un operador diferencial ∂, que es

${\displaystyle \partial =\nabla -\mathbf {e} _{4}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}.}$

El operador ∇ es un operador diferencial en álgebra geométrica, que actúa sobre las dimensiones del espacio y viene dado por ∇ M = ∇· M + ∇∧ M . Cuando se aplica a vectores, ∇· M es la divergencia y ∇∧ M es el rotacional , pero con un resultado bivectorial en lugar de vectorial, es decir, dual en tres dimensiones al rotacional. Para una magnitud general M, actúan como operadores diferenciales de grado ascendente y descendente. En particular, si M es un escalar, este operador es simplemente el gradiente y puede considerarse como un operador diferencial en álgebra geométrica .

En conjunto, estos elementos pueden utilizarse para dar una forma particularmente compacta a las ecuaciones de Maxwell con fuentes:

${\displaystyle \partial \mathbf {F} =\mathbf {J} .}$

Esta ecuación, cuando se descompone según el álgebra geométrica, utilizando productos geométricos que tienen efectos tanto de aumento como de disminución de grado, es equivalente a las cuatro ecuaciones de Maxwell. También está relacionada con el cuadripotencial electromagnético , un vector A dado por

${\displaystyle \mathbf {A} ={\overline {A}}+{\frac {1}{c}}V\mathbf {e} _{4},}$

donde A es el potencial magnético vectorial y V es el potencial eléctrico. Se relaciona con el bivector electromagnético de la siguiente manera:

${\displaystyle \partial \mathbf {A} =-\mathbf {F} ,}$

utilizando el mismo operador diferencial ∂ . ^{[ 22 ]}

Como en tres y cuatro dimensiones los rotores se generan mediante el mapa exponencial, por lo tanto

${\displaystyle \exp {{\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} }}$

es el rotor generado por el bivector B. Las rotaciones simples, que tienen lugar en un plano de rotación alrededor de una pala fija de dimensión ( n − 2) , son generadas por bivectores simples, mientras que otros bivectores generan rotaciones más complejas que pueden describirse en términos de los bivectores simples de los que son sumas, cada uno relacionado con un plano de rotación. Todos los bivectores pueden expresarse como la suma de bivectores simples ortogonales y conmutativos, por lo que las rotaciones siempre pueden descomponerse en un conjunto de rotaciones conmutativas alrededor de los planos asociados con estos bivectores. El grupo de los rotores en n dimensiones es el grupo de espín , Spin( n ) .

Una característica notable, relacionada con el número de bivectores simples y, por lo tanto, con los planos de rotación, es que en dimensiones impares cada rotación tiene un eje fijo; es engañoso llamarlo eje de rotación, ya que en dimensiones superiores las rotaciones tienen lugar en múltiples planos ortogonales a él. Esto está relacionado con los bivectores, ya que los bivectores en dimensiones impares se descomponen en el mismo número de bivectores que en la dimensión par inferior, por lo que tienen el mismo número de planos, pero una dimensión adicional. Como cada plano genera rotaciones en dos dimensiones en dimensiones impares, debe haber una dimensión, es decir, un eje, que no esté rotando. ^{[ 23 ]}

Los bivectores también están relacionados con la matriz de rotación en n dimensiones. Al igual que en tres dimensiones, la ecuación característica de la matriz se puede resolver para encontrar los autovalores . En dimensiones impares, esta tiene una raíz real, con el autovector en el eje fijo, y en dimensiones pares no tiene raíces reales, por lo que todas o todas menos una de las raíces son pares complejos conjugados. Cada par está asociado con un componente simple del bivector asociado con la rotación. En particular, el logaritmo de cada par es la magnitud salvo un signo, mientras que los autovectores generados a partir de las raíces son paralelos a y, por lo tanto, se pueden usar para generar el bivector. En general, los autovalores y los bivectores son únicos, y el conjunto de autovalores da la descomposición completa en bivectores simples; si las raíces se repiten, entonces la descomposición del bivector en bivectores simples no es única.

Como se mencionó anteriormente, un bivector se puede escribir como una matriz antisimétrica, la cual, mediante la función exponencial, genera una matriz de rotación que describe la misma rotación que el rotor, también generada por la función exponencial pero aplicada al vector. Sin embargo, también se utiliza con otros bivectores, como el tensor de velocidad angular y el tensor electromagnético , que son respectivamente matrices o tensores antisimétricos de 3×3 y 4×4.

Los bivectores reales en ⋀ ² R ⁿ son isomorfos a matrices antisimétricas de n × n , o alternativamente a tensores antisimétricos de grado 2 en R ⁿ . Si bien los bivectores son isomorfos a vectores (a través del dual) en tres dimensiones, pueden representarse mediante matrices antisimétricas en cualquier dimensión. Esto resulta útil para relacionar los bivectores con problemas descritos por matrices, de modo que pueden reformularse en términos de bivectores, recibir una interpretación geométrica y, a menudo, resolverse con mayor facilidad o relacionarse geométricamente con otros problemas de bivectores. ^{[ 24 ]}

En términos más generales, toda álgebra geométrica real es isomorfa a un álgebra matricial . Estas contienen bivectores como subespacio, aunque a menudo de una manera que no resulta especialmente útil. Estas matrices son de interés principalmente como método para clasificar las álgebras de Clifford. ^{[ 25 ]}