Efecto del tamaño en la resistencia estructural

Según las teorías clásicas de estructuras elásticas o plásticas hechas de un material con resistencia no aleatoria ( f _t ), la resistencia nominal ( σ _N ) de una estructura es independiente del tamaño de la estructura ( D ) cuando se consideran estructuras geométricamente similares. ^{[ 1 ]} Cualquier desviación de esta propiedad se denomina efecto de tamaño . Por ejemplo, la resistencia convencional de los materiales predice que una viga grande y una viga pequeña fallarán con la misma tensión si están hechas del mismo material. En el mundo real, debido a los efectos de tamaño, una viga más grande fallará con una tensión menor que una viga más pequeña.

El efecto de tamaño estructural se refiere a estructuras hechas del mismo material, con la misma microestructura . Debe distinguirse del efecto de tamaño de las inhomogeneidades del material, en particular el efecto Hall-Petch , que describe cómo la resistencia del material aumenta al disminuir el tamaño del grano en metales policristalinos .

El efecto del tamaño puede tener dos causas:

1. estadística, debido a la aleatoriedad de la resistencia del material, la probabilidad de que se produzca un defecto crítico en una zona de alta tensión y el aumento del volumen incrementa la probabilidad de un defecto grave.
2. energético (y no estadístico), debido a la liberación de energía cuando se desarrolla una grieta grande o una zona de proceso de fractura grande (FPZ) que contiene material dañado antes de que se alcance la carga máxima.

El efecto de tamaño estadístico se produce en una amplia clase de estructuras frágiles que siguen el modelo del eslabón más débil. Este modelo implica que la iniciación de una macrofractura a partir de un elemento de material, o más precisamente, de un elemento de volumen representativo (RVE), provoca la falla de toda la estructura, como la falla de un eslabón en una cadena (Fig. 1a). Dado que la resistencia del material es aleatoria, es probable que la resistencia del elemento de material más débil en la estructura (Fig. 1a) disminuya al aumentar el tamaño de la estructura.${\displaystyle D}$(como ya lo señaló Mariotte en 1684).

Denotando las probabilidades de falla de la estructura como${\displaystyle P_{f}}$ y de un RVE bajo tensión${\displaystyle \sigma _{k}}$como${\displaystyle P_{1}(\sigma _{k})}$y observando que la probabilidad de supervivencia de una cadena es la probabilidad conjunta de supervivencia de todos sus${\displaystyle N}$enlaces, uno concluye fácilmente que

La clave es la cola izquierda de la distribución de${\displaystyle P_{1}(\sigma _{k})}$No se identificó con éxito hasta que Weibull, en 1939, reconoció que la cola sigue una ley de potencias. Denotando el exponente de la cola como${\displaystyle m}$, entonces se puede demostrar que, si la estructura es suficientemente más grande que un RVE (es decir, si N/l ₀ → ∞ ), la probabilidad de falla de una estructura en función de${\displaystyle \sigma _{N}}$es

La ecuación 2 es la distribución acumulativa de Weibull con parámetro de escala.${\displaystyle S_{0}}$y parámetro de forma${\displaystyle m}$;${\displaystyle \Psi =\int _{V}\left[{\hat {\sigma }}(\xi )\right]^{m}\,{\mbox{d}}V(\xi )}$= factor constante que depende de la geometría de la estructura,${\displaystyle V}$= volumen de la estructura;${\displaystyle \xi }$= vectores de coordenadas relativas (independientes del tamaño),${\displaystyle {\hat {\sigma }}(\xi )}$= campo de tensión adimensional (dependiente de la geometría), escalado de modo que la tensión máxima sea 1;${\displaystyle n_{d}}$= número de dimensiones espaciales (${\displaystyle n_{d}}$= 1, 2 o 3);${\displaystyle l_{0}}$= longitud característica del material que representa el tamaño efectivo del RVE (normalmente alrededor de 3 tamaños de inhomogeneidad).

El RVE se define aquí como el volumen de material más pequeño cuya falla es suficiente para hacer fallar toda la estructura. Por experiencia, la estructura es suficientemente mayor que un RVE si el número equivalente${\displaystyle N_{eq}}$de RVE en la estructura es mayor que aproximadamente${\displaystyle 10^{4}}$ ;${\displaystyle N_{eq}=(D/l_{0})^{n_{d}}\Psi }$= número de RVE que dan el mismo${\displaystyle P_{f}}$si el campo de tensión es homogéneo (siempre${\displaystyle N_{eq}<N}$y normalmente${\displaystyle N_{eq}\ll N}$Para la mayoría de las aplicaciones a escala normal en metales y cerámicas de grano fino, excepto para dispositivos a escala micrométrica, el tamaño es lo suficientemente grande como para que se aplique la teoría de Weibull (pero no para materiales de grano grueso como el hormigón).

A partir de la ecuación 2 se puede demostrar que la resistencia media y el coeficiente de variación de la resistencia se obtienen de la siguiente manera:

(dónde${\displaystyle \Gamma }$es la función gamma) La primera ecuación muestra que el efecto del tamaño sobre la resistencia nominal media es una función potencial del tamaño${\displaystyle D}$, independientemente de la geometría de la estructura.

parámetro de Weibull${\displaystyle m}$se pueden identificar experimentalmente mediante dos métodos: 1) Los valores de${\displaystyle \sigma _{N}}$Las mediciones realizadas en muchos especímenes idénticos se utilizan para calcular el coeficiente de variación de la resistencia y el valor de${\displaystyle m}$Luego, se procede resolviendo la ecuación (4); o 2) los valores de${\displaystyle {\bar {\sigma }}_{N}}$se miden en especímenes geométricamente similares de varios tamaños diferentes${\displaystyle D}$y la pendiente de su regresión lineal en el gráfico de${\displaystyle \log {\bar {\sigma }}_{N}}$versus${\displaystyle \log D}$da${\displaystyle -1/m}$El método 1 debe dar el mismo resultado para diferentes tamaños, y el método 2 el mismo que el método 1. Si no es así, el efecto del tamaño es parcial o totalmente no weibulliano. La omisión de pruebas para diferentes tamaños a menudo ha llevado a conclusiones incorrectas. Otra comprobación es que el histograma de las resistencias de muchas muestras idénticas debe ser una línea recta cuando se representa en la escala de Weibull. Una desviación hacia la derecha en el rango de alta resistencia significa que${\displaystyle N_{eq}}$es demasiado pequeño y el material es casi quebradizo.

El hecho de que el efecto de tamaño de Weibull sea una ley de potencia significa que es autosimilar, es decir, no tiene una estructura de tamaño característica.${\displaystyle D_{0}}$existe y${\displaystyle l_{0}}$y las inhomogeneidades del material son insignificantes en comparación con${\displaystyle D}$Este es el caso de los metales fragilizados por fatiga o las cerámicas de grano fino, excepto en la escala micrométrica. La existencia de un finito${\displaystyle D_{0}}$es una característica destacada del efecto de tamaño energético, descubierto en 1984. Este tipo de efecto de tamaño representa una transición entre dos leyes de potencia y se observa en materiales heterogéneos frágiles, denominados cuasifrágiles. Estos materiales incluyen hormigón, compuestos de fibra, rocas, cerámicas de grano grueso y endurecidas, espumas rígidas, hielo marino, cerámica dental, dentina, hueso, conchas biológicas, muchos materiales biológicos y bioinspirados, mampostería, mortero, suelos cohesivos rígidos, suelos con lechada, nieve consolidada, madera, papel, cartón, carbón, arenas cementadas, etc. A escala micro o nanométrica, todos los materiales frágiles se vuelven cuasifrágiles y, por lo tanto, deben exhibir el efecto de tamaño energético.

Se observa un marcado efecto de tamaño energético en las fallas por cortante, torsión y punzonamiento del hormigón armado, en la extracción de anclajes del hormigón, en la falla por compresión de columnas esbeltas de hormigón armado y vigas de hormigón pretensado, en las fallas por compresión y tracción de compuestos de fibra-polímero y estructuras sándwich, y en las fallas de todos los materiales cuasifrágiles mencionados anteriormente. Se pueden distinguir dos tipos básicos de este efecto de tamaño.

Tipo 1: Estructuras que fallan al inicio de la fisura.

Cuando la macrofisura se inicia en un RVE cuyo tamaño no es despreciable en comparación con el tamaño de la estructura, el efecto de tamaño determinista predomina sobre el efecto de tamaño estadístico. Lo que causa el efecto de tamaño es una redistribución de tensiones en la estructura (Fig. 2c) debido al daño en el RVE que inicia la fisura, que generalmente se ubica en la superficie de fractura.

Una justificación intuitiva y sencilla de este efecto de tamaño puede darse considerando la falla por flexión de una viga simplemente apoyada sin entallas sometida a una carga concentrada.${\displaystyle P}$en el punto medio (Fig. 2d). Debido a la heterogeneidad del material, ¿qué determina la carga máxima?${\displaystyle P}$no es la tensión calculada elásticamente${\displaystyle \sigma _{1}=Mc/I=3PL/2bD^{2}}$en la cara de tracción, donde${\displaystyle M=PL/4}$= momento flector,${\displaystyle D}$= profundidad del haz,${\displaystyle c=D/2,\;I=bh^{3}/12}$y${\displaystyle b}$= ancho de la viga. Más bien, lo que decide es el valor de la tensión.${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$aproximadamente a distancia${\displaystyle l_{0}/2}$desde la cara de tracción, que se encuentra en el centro de la FPZ (2c). Observando que${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$=${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma '_{n}l_{0}/2}$, dónde${\displaystyle \sigma '_{n}}$= gradiente de tensión =${\displaystyle 2\sigma _{1}/D}$y${\displaystyle {\bar {\sigma }}=f'_{t}}$= resistencia a la tracción intrínseca del material, y considerando la condición de falla${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$=${\displaystyle f'_{t}}$, uno se obtiene${\displaystyle P/bD=\sigma _{N}}$=${\displaystyle \sigma _{0}/(1-D_{b}/D)}$dónde${\displaystyle \sigma _{0}=(2D/3L)f'_{t}}$, que es una constante porque para vigas geométricamente similares${\displaystyle L/D}$= constante. Esta expresión es válida solo para valores suficientemente pequeños.${\displaystyle l_{0}/D}$y así (según los dos primeros términos del desarrollo binomial) se puede aproximar como

que es la ley del efecto de tamaño determinista de Tipo 1 (Fig. 2a). El propósito de la aproximación realizada es: (a) prevenir${\displaystyle \sigma _{N}}$de volverse negativo para muy pequeño${\displaystyle D}$, para lo cual no se aplica el argumento anterior; y (b) satisfacer la condición asintótica de que el efecto de tamaño determinista debe desaparecer para${\displaystyle D/l_{0}\to \infty }$. Aquí${\displaystyle r}$= constante empírica positiva; los valores${\displaystyle r=1}$= o 2 se han utilizado para el hormigón, mientras que${\displaystyle r\approx 1.45}$es óptimo según los datos de prueba existentes en la literatura (Fig. 2d).

Se ha proporcionado una derivación fundamental de la ecuación 5 para una geometría estructural general mediante la aplicación de análisis dimensional y ajuste asintótico al caso límite de liberación de energía cuando la longitud inicial de la macrofisura tiende a cero. Para estructuras generales, se puede sustituir el siguiente tamaño efectivo en la ecuación (5):

dónde${\displaystyle \epsilon '_{n}}$= gradiente de deformación en el punto de máxima deformación situado en la superficie, en la dirección normal a la superficie.

La ecuación 5 no se puede aplicar para tamaños grandes porque se aproxima a${\displaystyle D\to \infty }$una asíntota horizontal. Para tamaños grandes,${\displaystyle \sigma _{N}}$debe aproximarse al efecto de tamaño estadístico de Weibull, ecuación 3. Esta condición se satisface mediante la ley generalizada del efecto de tamaño energético-estadístico:

dónde${\displaystyle r,m}$son constantes empíricas (${\displaystyle rn_{d}/m<1}$). La fórmula determinista (5) se recupera como el caso límite para${\displaystyle m\rightarrow \infty }$La figura 2d muestra una comparación de la última fórmula con los resultados de las pruebas para muchos hormigones diferentes, representados como resistencia adimensional.${\displaystyle \sigma _{N}/f'_{t}}$frente al tamaño de la estructura adimensional${\displaystyle D/D_{0}}$.

La teoría probabilística del efecto de tamaño de tipo 1 se puede derivar de la nanomecánica de fractura. La teoría de la tasa de transición de Kramer muestra que, en la nanoescala, la cola izquierda de la distribución de probabilidad de la resistencia a nanoescala${\displaystyle s}$es una ley de potencia del tipo${\displaystyle s^{2}}$El análisis de la transición multiescala a la macroescala del material muestra entonces que la distribución de resistencia del RVE es gaussiana pero con una cola izquierda de Weibull (o ley de potencias) cuyo exponente${\displaystyle m}$es mucho mayor que 2 y se injerta aproximadamente con una probabilidad de alrededor de 0,001.

Para estructuras con${\displaystyle N_{eq}<10^{4}}$, que son comunes para materiales cuasifrágiles, la teoría de Weibull no se aplica. Pero el modelo subyacente del eslabón más débil, expresado por la ecuación (1) para${\displaystyle P_{f}}$, lo hace, aunque con un finito${\displaystyle N}$, que es un punto crucial. La finitud del modelo de cadena del eslabón más débil provoca desviaciones importantes de la distribución de Weibull. A medida que el tamaño de la estructura, medido por${\displaystyle N_{eq}}$, aumenta, el punto de injerto de la parte izquierda de Weibull se mueve hacia la derecha hasta que, aproximadamente${\displaystyle N_{eq}=10^{4}}$La distribución completa se vuelve weibulliana. La resistencia media se puede calcular a partir de esta distribución y, como se observa, su gráfica es idéntica a la de la ecuación 5 que se muestra en la figura 2g. El punto de desviación de la asíntota de Weibull está determinado por la ubicación del punto de injerto en la distribución de resistencia de un RVE (figura 2g). Cabe destacar que la finitud de la cadena en el modelo del eslabón más débil captura la parte determinista del efecto de tamaño.

Esta teoría también se ha extendido al efecto de tamaño en las leyes de Evans y Paris sobre el crecimiento de grietas en materiales cuasifrágiles, y al efecto de tamaño en las vidas útiles estáticas y de fatiga. Parecía que el efecto de tamaño en la vida útil es mucho más fuerte que en la resistencia a corto plazo (exponente de cola).${\displaystyle m}$es un orden de magnitud menor).

Tipo 2: Estructuras en las que existe una grieta o muesca grande.

El efecto de tamaño más pronunciado se observa en probetas con entallas profundas similares (Fig. 4b), o en estructuras donde se forma una grieta grande, similar para diferentes tamaños, de manera estable antes de alcanzar la carga máxima. Dado que la ubicación del inicio de la fractura está predeterminada en la punta de la grieta y, por lo tanto, no puede muestrear las resistencias aleatorias de diferentes RVE, la contribución estadística al efecto de tamaño promedio es insignificante. Este comportamiento es típico del hormigón armado, los polímeros reforzados con fibras dañados y algunas estructuras comprimidas sin refuerzo.

El efecto de tamaño energético puede explicarse intuitivamente considerando el panel de la Fig. 1c,d, inicialmente bajo una tensión uniforme igual a${\displaystyle \sigma _{N}}$Introducción de una grieta de longitud${\displaystyle a}$, con una zona de daños de ancho${\displaystyle h}$en la punta, alivia la tensión y, por lo tanto, también la energía de deformación de los triángulos sombreados intactos de pendiente${\displaystyle k}$en los flancos de la grieta. Entonces, si${\displaystyle k}$y${\displaystyle a/D}$son aproximadamente iguales para diferentes tamaños, la energía liberada de los triángulos sombreados es proporcional a${\displaystyle {\bar {U}}D^{2}}$, mientras que la energía disipada por el proceso de fractura es proporcional a${\displaystyle G_{f}D}$; aquí${\displaystyle G_{f}}$= energía de fractura del material,${\displaystyle {\bar {U}}=\sigma _{N}^{2}/2E}$= densidad de energía antes de la fractura, y${\displaystyle E}$= Módulo elástico de Young. La discrepancia entre${\displaystyle D}$y${\displaystyle D^{2}}$muestra que puede existir un equilibrio entre la liberación de energía y la tasa de disipación para cada tamaño.${\displaystyle D}$solo si${\displaystyle \sigma _{N}}$disminuye con el aumento${\displaystyle D}$. Si la energía se disipa dentro de la zona de daño de ancho${\displaystyle h}$Se añade, obteniéndose la ley del efecto de tamaño de Bažant (1984) (Tipo 2):

(Fig. 4c,d) donde${\displaystyle B,f'_{t},D_{0}}$= constantes, donde${\displaystyle f'_{t}}$= resistencia a la tracción del material, y${\displaystyle B}$explica la geometría de la estructura.

Para geometrías más complejas, no es posible una derivación tan intuitiva. Sin embargo, el análisis dimensional junto con el ajuste asintótico demostró que la ecuación 8 es aplicable en general y que la dependencia de sus parámetros con respecto a la geometría de la estructura tiene aproximadamente la siguiente forma:

dónde${\displaystyle c_{f}\approx }$la mitad de la longitud de la FPZ,${\displaystyle \alpha _{0}=a/D}$= longitud relativa de la grieta inicial (que es constante para escalas geométricamente similares);${\displaystyle g(\alpha _{0})=k^{2}(\alpha _{0})}$= función de liberación de energía adimensional de la mecánica de fractura elástica lineal (LEFM), que produce el efecto de la geometría de la estructura;${\displaystyle k(\alpha _{0})=K(\alpha _{0})b{\sqrt {D}}/P}$, y${\displaystyle K}$= factor de intensidad de tensión. Ajuste de la ecuación 8 a${\displaystyle \sigma _{N}}$Los datos de pruebas de especímenes con muescas geométricamente similares de tamaños muy diferentes son una buena manera de identificar la${\displaystyle G_{f}}$y${\displaystyle c_{f}}$del material.

Las simulaciones numéricas de fallas mediante códigos de elementos finitos solo pueden capturar el efecto de tamaño energético (o determinista) si la ley del material que relaciona la tensión con la deformación posee una longitud característica. Esto no ocurría con los códigos clásicos de elementos finitos, cuyo material se caracterizaba únicamente por relaciones tensión-deformación.

Un método computacional bastante simple es el modelo de grieta cohesiva (o ficticia), en el que se supone que la tensión${\displaystyle \sigma }$La transmisión a través de una grieta parcialmente abierta es una función decreciente de la apertura de la grieta.${\displaystyle w}$, es decir,${\displaystyle \sigma =f(w)}$El área bajo esta función es${\displaystyle G_{f}}$, y

es la longitud característica del material que da lugar al efecto de tamaño determinista. Un método aún más simple es el modelo de banda de grieta, en el que la grieta cohesiva se reemplaza en las simulaciones por una banda de grieta de ancho${\displaystyle h}$igual a un tamaño de elemento finito y una relación tensión-deformación que se ablanda en la dirección transversal a medida que${\displaystyle \sigma ={\hat {f}}(\epsilon )}$dónde${\displaystyle \epsilon =w/h}$= deformación promedio en esa dirección.

Cuando${\displaystyle h}$Es necesario ajustar la relación tensión-deformación de ablandamiento para mantener la disipación de energía correcta.${\displaystyle G_{f}}$Un método más versátil es el modelo de daño no local en el que la tensión en un punto continuo es una función no de la deformación en ese punto sino del promedio del campo de deformación dentro de un cierto vecindario de tamaño${\displaystyle h}$centrado en ese punto. Otro método es el modelo de daño por gradiente, en el que la tensión depende no solo de la deformación en ese punto, sino también del gradiente de deformación. Todos estos métodos computacionales garantizan la objetividad y una convergencia adecuada con respecto al refinamiento de la malla de elementos finitos.

Las propiedades fractales del material, incluyendo el aspecto fractal de la rugosidad de la superficie de la fisura y el aspecto fractal lacunar de la estructura de poros, pueden influir en el efecto de tamaño en el hormigón y afectar la energía de fractura del material. Sin embargo, las propiedades fractales aún no se han documentado experimentalmente a una escala suficientemente amplia y el problema no se ha estudiado con la misma profundidad que los efectos de tamaño estadísticos y energéticos. El principal obstáculo para la consideración práctica de la influencia fractal en el efecto de tamaño es que, si se calibra para una geometría estructural, no está claro cómo inferir el efecto de tamaño para otra geometría. Las ventajas y desventajas se discutieron, por ejemplo, por Carpinteri et al. (1994, 2001) y Bažant y Yavari (2005).

Considerar el efecto de escala es esencial para predecir con seguridad la resistencia de grandes puentes de hormigón, contenciones nucleares, cubiertas de techos, edificios altos, revestimientos de túneles, grandes componentes portantes de aeronaves, naves espaciales y barcos fabricados con compuestos de fibra y polímero, turbinas eólicas, grandes excavaciones geotécnicas, taludes de tierra y roca, hielo marino flotante que soporta cargas, plataformas petrolíferas sometidas a fuerzas de hielo, etc. Su diseño depende de las propiedades del material medidas en muestras de laboratorio mucho más pequeñas. Estas propiedades deben extrapolarse a escalas mayores en uno o dos órdenes de magnitud. Incluso si se pudiera realizar una costosa prueba de falla a escala real, por ejemplo, una prueba de falla del timón de una aeronave muy grande, sería prohibitivo económicamente repetirla mil veces para obtener la distribución estadística de la capacidad de carga. Dicha información estadística, que sustenta los factores de seguridad, solo se puede obtener mediante una extrapolación adecuada de las pruebas de laboratorio.

El efecto de tamaño está ganando importancia a medida que se construyen estructuras cada vez más grandes, de formas cada vez más esbeltas. Los factores de seguridad, por supuesto, dan amplios márgenes de seguridad, tan amplios que incluso para las estructuras de ingeniería civil más grandes, el análisis determinista clásico basado en las propiedades medias del material normalmente produce cargas de falla menores que las cargas máximas de diseño. Por estas razones, el efecto de tamaño en la resistencia en fallas frágiles de estructuras de hormigón y laminados estructurales se ha ignorado durante mucho tiempo. Sin embargo, entonces la probabilidad de falla, que se requiere para ser${\displaystyle <10^{-6}}$y de hecho tiene tales valores para estructuras de tamaño normal, puede llegar a ser tan bajo para estructuras muy grandes como${\displaystyle 10^{-3}}$por vida. Una probabilidad de fallo tan alta es intolerable, ya que aumenta significativamente los riesgos a los que las personas están inevitablemente expuestas. De hecho, la experiencia histórica demuestra que las estructuras de gran tamaño han fallado con una frecuencia varias órdenes de magnitud superior a la de las estructuras más pequeñas. La razón por la que esto no ha provocado una protesta pública es que las grandes estructuras son pocas. Pero para los residentes locales, que deben usar estas estructuras a diario, el riesgo es inaceptable.

Otra aplicación consiste en la determinación de la energía de fractura y la longitud característica del material. Para materiales cuasifrágiles, la medición del efecto de tamaño sobre las cargas máximas (y sobre el ablandamiento de la muestra después de la carga máxima) es el método más sencillo.

Conocer el efecto del tamaño también es importante en sentido inverso: para dispositivos a escala micrométrica, si están diseñados parcial o totalmente sobre la base de propiedades del material medidas de forma más conveniente en la escala de 0,01 m a 0,1 m.

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• Fallo del cono de hormigón

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