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Articulo de referencia

teoría del tamaño

En matemáticas , la teoría del tamaño estudia las propiedades de los espacios topológicos dotados de R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} funciones con valores en , con respecto...

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En matemáticas , la teoría del tamaño estudia las propiedades de los espacios topológicos dotados deRk{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}funciones con valores en , con respecto al cambio de estas funciones. Más formalmente, el tema de la teoría del tamaño es el estudio de la pseudodistancia natural entre pares de tamaños . Una revisión de la teoría del tamaño se puede encontrar en . [ 1 ]

Historia y aplicaciones

El inicio de la teoría del tamaño se basa en el concepto de función de tamaño , introducido por Frosini. [ 2 ] Las funciones de tamaño se han utilizado inicialmente como una herramienta matemática para la comparación de formas en visión por computadora y reconocimiento de patrones . [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

En el artículo de Frosini y Mulazzani de 1999 [ 11 ] se realizó una extensión del concepto de función de tamaño a la topología algebraica, donde se introdujeron grupos de homotopía de tamaño , junto con la pseudodistancia natural paraRk{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}funciones con valores en . En 2001 se introdujo una extensión a la teoría de homología (el functor de tamaño ). [ 12 ] El grupo de homotopía de tamaño y el functor de tamaño están estrictamente relacionados con el concepto de grupo de homología persistente [ 13 ] estudiado en homología persistente . Vale la pena señalar que la función de tamaño es el rango de la0{\displaystyle 0}-ésimo grupo de homología persistente, mientras que la relación entre el grupo de homología persistente y el grupo de homotopía de tamaño es análoga a la que existe entre los grupos de homología y los grupos de homotopía .

En la teoría del tamaño, las funciones de tamaño y los grupos de homotopía de tamaño se consideran herramientas para calcular cotas inferiores para la pseudodistancia natural . De hecho, existe el siguiente vínculo entre los valores que toman las funciones de tamaño.ℓ(norte,ψ)(incógnita¯,y¯){\displaystyle \ell _{(N,\psi )}({\bar {x}},{\bar {y}})},ℓ(METRO,φ)(incógnita~,y~){\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}({\tilde {x}},{\tilde {y}})}y la pseudodistancia naturald((METRO,φ),(norte,ψ)){\displaystyle d((M,\varphi ),(N,\psi ))}entre pares de tamaños(METRO,φ), (norte,ψ){\displaystyle (M,\varphi),\ (N,\psi)} , [ 14 ] [ 15 ]

Si ℓ(norte,ψ)(incógnita¯,y¯)>ℓ(METRO,φ)(incógnita~,y~) entonces d((METRO,φ),(norte,ψ))≥min{incógnita~−incógnita¯,y¯−y~}.{\displaystyle {\text{Si }}\ell _{(N,\psi )}({\bar {x}},{\bar {y}})>\ell _{(M,\varphi )}({\tilde {x}},{\tilde {y}}){\text{ entonces }}d((M,\varphi ),(N,\psi ))\geq \min\{{\tilde {x}}-{\bar {x}},{\bar {y}}-{\tilde {y}}\}.}

Un resultado análogo se cumple para el grupo de homotopía de tamaño . [ 11 ]

El intento de generalizar la teoría del tamaño y el concepto de pseudodistancia natural a normas que son diferentes de la norma suprema ha llevado al estudio de otras normas invariantes de reparametrización. [ 16 ]

Véase también

Referencias

  1. ^ Silvia Biasotti, Leila De Floriani , Bianca Falcidieno , Patrizio Frosini, Daniela Giorgi, Claudia Landi, Laura Papaleo, Michela Spagnuolo, Descripción de formas mediante propiedades geométrico-topológicas de funciones reales, ACM Computing Surveys, vol. 40 (2008), n. 4, 12:1 – 12:87.
  2. ↑ Patrizio Frosini, Una distancia para clases de similitud de subvariedades de un espacio euclidiano , Boletín de la Sociedad Matemática Australiana, 42(3):407 – 416, 1990.
  3. ↑ Alessandro Verri, Claudio Uras, Patrizio Frosini y Massimo Ferri, Sobre el uso de funciones de tamaño para el análisis de formas , Cibernética Biológica, 70:99 – 107, 1993.
  4. ^ Patrizio Frosini y Claudia Landi, Funciones de tamaño y transformaciones morfológicas , Acta Applicandae Mathematicae, 49(1):85 – 104, 1997.
  5. ↑ Alessandro Verri y Claudio Uras, Enfoque métrico-topológico para la representación y el reconocimiento de formas , Image Vision Comput., 14:189 – 207, 1996.
  6. ↑ Alessandro Verri y Claudio Uras, Cálculo de funciones de tamaño a partir de mapas de bordes , Internat. J. Comput. Vision, 23(2):169 – 183, 1997.
  7. ↑ Françoise Dibos, Patrizio Frosini y Denis Pasquignon, El uso de funciones de tamaño para la comparación de formas a través de invariantes diferenciales , Journal of Mathematical Imaging and Vision, 21(2):107 – 118, 2004.
  8. ↑ Michele d'Amico, Patrizio Frosini y Claudia Landi, Uso de la distancia de coincidencia en la teoría del tamaño: una revisión , International Journal of Imaging Systems and Technology, 16(5):154–161, 2006.
  9. ↑ Andrea Cerri, Massimo Ferri, Daniela Giorgi: Recuperación de imágenes de marcas comerciales mediante funciones de tamaño Graphical Models 68:451 – 471, 2006.
  10. ↑ Silvia Biasotti, Daniela Giorgi, Michela Spagnuolo, Bianca Falcidieno : Funciones de tamaño para comparar modelos 3D. Reconocimiento de patrones 41:2855 – 2873, 2008.
  11. 1 2 Patrizio Frosini y Michele Mulazzani, Grupos de homotopía de tamaño para el cálculo de distancias de tamaño natural , Boletín de la Sociedad Matemática Belga – Simon Stevin, 6:455 – 464 1999.
  12. ↑ Francesca Cagliari, Massimo Ferri y Paola Pozzi, Funciones de tamaño desde un punto de vista categórico , Acta Applicandae Mathematicae, 67(3):225 – 235, 2001.
  13. ↑ Herbert Edelsbrunner, David Letscher y Afra Zomorodian, Persistencia y simplificación topológica , Geometría discreta y computacional , 28(4):511 – 533, 2002.
  14. ↑ Patrizio Frosini y Claudia Landi, Teoría del tamaño como herramienta topológica para la visión por computadora , Pattern Recognition And Image Analysis, 9(4):596 – 603, 1999.
  15. ↑ Pietro Donatini y Patrizio Frosini, Límites inferiores para pseudodistancias naturales mediante funciones de tamaño , Archives of Inequalities and Applications, 2(1):1 – 12, 2004.
  16. ↑ Patrizio Frosini, Claudia Landi: Normas invariantes de reparametrización. Transactions of the American Mathematical Society 361:407 – 452, 2009.