Poliedro sesgado regular

En geometría , los poliedros oblicuos regulares son generalizaciones del conjunto de poliedros regulares que incluyen la posibilidad de caras o figuras de vértice no planas . Coxeter estudió figuras de vértice oblicuas que crearon nuevos poliedros regulares de 4 dimensiones, y mucho más tarde Branko Grünbaum estudió caras oblicuas regulares. ^{[ 1 ]}

Los poliedros sesgados regulares infinitos que abarcan un espacio tridimensional o superior se denominan apeiroedros sesgados regulares .

Historia

Según Coxeter , en 1926 John Flinders Petrie generalizó el concepto de polígonos sesgados regulares (polígonos no planos) a poliedros sesgados regulares .

Coxeter propuso un símbolo de Schläfli modificado ${l, m | n}$ para estas figuras, donde ${l, m}$ implica la figura del vértice , $m$ $l$ -gonos alrededor de un vértice y agujeros $n$ -gonales. Sus figuras de vértice son polígonos sesgados que zigzaguean entre dos planos.

Los poliedros sesgados regulares, representados por ${l, m | n}$ , siguen esta ecuación:

2\cos {\frac {\pi }{l}}\cos {\frac {\pi }{m}}=\cos {\frac {\pi }{n}}

Un primer conjunto ${l, m | n}$ , repite los cinco sólidos platónicos convexos y un sólido de Kepler-Poinsot no convexo :

Poliedros sesgados regulares finitos

Coxeter también enumeró un conjunto más amplio de poliedros regulares finitos en su artículo "Poliedros sesgados regulares en tres y cuatro dimensiones, y sus análogos topológicos".

Así como los poliedros sesgados infinitos representan superficies de variedad entre las celdas de los panales uniformes convexos , las formas finitas representan superficies de variedad dentro de las celdas de los 4-politopos uniformes .

Los poliedros de la forma {2p, 2q | r} están relacionados con la simetría del grupo de Coxeter de [(p,r,q,r)], que se reduce al lineal [r,p,r] cuando q es 2. Coxeter da estas simetrías como [[( p , r , q , r )] ⁺ ] que dice que es isomorfo a su grupo abstracto (2 p ,2 q |2, r ). El panal relacionado tiene la simetría extendida [[( p , r , q , r ) ]] . ^{[ 2 ]}

{2p,4|r} está representado por las caras {2p} del 4-politopo uniforme bitruncado {r,p,r} , y {4,2p|r} está representado por las caras cuadradas del {r,p,r} runcinado .

{4,4|n} produce un duoprismo n - n , y específicamente {4,4|4} cabe dentro de un teseracto {4}x{4} .

Un conjunto final se basa en la forma extendida de Coxeter {q1,m|q2,q3...} o con q2 no especificado: {l, m | , q}. Estos también pueden representarse como una aplicación finita regular o { l , m } _{2 q} , y un grupo G ^{l , m , q} . ^{[ 3 ]}

Dimensiones superiores

Los poliedros sesgados regulares también pueden construirse en dimensiones superiores a 4 como incrustaciones en politopos regulares o estructuras de panal. Por ejemplo, el icosaedro regular puede incrustarse en los vértices del 6-demicube ; HSM Coxeter lo denominó icosaedro sesgado regular . El dodecaedro puede incrustarse de manera similar en el 10-demicube . ^[⁴^]

Véase también

Notas

↑ McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002). Abstract Regular Polytopes . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 92. Cambridge University Press. pp. 7, 17. ISBN 978-0-521-81496-6.Capítulo I Politopos regulares clásicos (Texto de ejemplo)
↑ Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , 2.34
↑ Coxeter y Moser, Generadores y relaciones para grupos discretos, Sec. 8.6 Mapas con polígonos de Petrie especificados. pág. 110
↑ Deza, Michael; Shtogrin, Mikhael (2000). «Incrustación de los grafos de teselaciones regulares y panales estrellados en los grafos de hipercubos y retículos cúbicos» . Estudios avanzados en matemáticas puras . Disposiciones – Tokio 1998. 27. Sociedad Matemática de Japón: 73–92[77]. doi : 10.2969/aspm/02710073 . ISBN 978-4-931469-77-8.

Referencias

Peter McMullen, Poliedros regulares de cuatro dimensiones , Geometría discreta y computacional, septiembre de 2007, volumen 38, número 2, págs. 355–387
Coxeter , Politopos regulares , Tercera edición, (1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8
Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivić Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, wiley.com , ISBN 978-0-471-01003-6
- (Artículo 2) HSM Coxeter, "Las esponjas regulares o poliedros sesgados", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
- (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
Coxeter , La belleza de la geometría: doce ensayos , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8(Capítulo 5: Poliedros sesgados regulares en tres y cuatro dimensiones y sus análogos topológicos, Actas de la Sociedad Matemática de Londres, Serie 2, Vol. 43, 1937).
- Coxeter, Poliedros sesgados regulares HSM en tres y cuatro dimensiones. Proc. London Math. Soc. 43, 33–62, 1937.
Garner, CWL Poliedros sesgados regulares en el espacio hiperbólico tridimensional. Can. J. Math. 19, 1179–1186, 1967.
E. Schulte, JM Wills Sobre los poliedros sesgados regulares de Coxeter , Matemáticas Discretas, Volumen 60, junio-julio de 1986, páginas 253-262

[1] McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002). Abstract Regular Polytopes . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 92. Cambridge University Press. pp. 7, 17. ISBN 978-0-521-81496-6.Capítulo I Politopos regulares clásicos (Texto de ejemplo)

[2] Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , 2.34

[3] Coxeter y Moser, Generadores y relaciones para grupos discretos, Sec. 8.6 Mapas con polígonos de Petrie especificados. pág. 110

[4] Deza, Michael; Shtogrin, Mikhael (2000). «Incrustación de los grafos de teselaciones regulares y panales estrellados en los grafos de hipercubos y retículos cúbicos» . Estudios avanzados en matemáticas puras . Disposiciones – Tokio 1998. 27. Sociedad Matemática de Japón: 73–92[77]. doi : 10.2969/aspm/02710073 . ISBN 978-4-931469-77-8.

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