Mapa de herradura

En las matemáticas de la teoría del caos , un mapa de herradura es cualquier miembro de una clase de mapas caóticos del cuadrado en sí mismo. Es un ejemplo fundamental en el estudio de los sistemas dinámicos . El mapa fue introducido por Stephen Smale mientras estudiaba el comportamiento de las órbitas del oscilador de van der Pol . La acción del mapa se define geométricamente aplastando el cuadrado, luego estirando el resultado en una tira larga y finalmente doblando la tira en forma de herradura.

La mayoría de los puntos finalmente abandonan el cuadrado bajo la acción del mapa. Se dirigen a las tapas laterales donde, mediante la iteración, convergerán a un punto fijo en una de las tapas. Los puntos que permanecen en el cuadrado bajo la iteración repetida forman un conjunto fractal y son parte del conjunto invariante del mapa.

El aplastamiento, estiramiento y plegado del mapa de herradura son típicos de los sistemas caóticos, pero no son necesarios ni siquiera suficientes. ^[1]

En el mapa de herradura, la compresión y el estiramiento son uniformes. Se compensan entre sí, de modo que el área del cuadrado no cambia. El plegado se realiza de manera ordenada, de modo que las órbitas que permanecen para siempre en el cuadrado se pueden describir de manera sencilla.

Para un mapa en forma de herradura:

Hay un número infinito de órbitas periódicas;
Existen órbitas periódicas de períodos arbitrariamente largos;
el número de órbitas periódicas crece exponencialmente con el período; y
cerca de cualquier punto del conjunto invariante fractal hay un punto de una órbita periódica.

El mapa de la herradura

La función de herradura $f$ es un difeomorfismo definido a partir de una región $S$ del plano dentro de sí mismo. La región $S$ es un cuadrado coronado por dos semidiscos. El codominio de (la "herradura") es un subconjunto propio de su dominio . La acción de $f$ se define a través de la composición de tres transformaciones definidas geométricamente. Primero, el cuadrado se contrae a lo largo de la dirección vertical por un factor $a$ $<$ $⁠$ ${\estilo de visualización f}$ ${\estilo de visualización S}$ $1 / 2 ⁠$ . Los casquetes se contraen de modo que permanezcan como semidiscos unidos al rectángulo resultante. Al contraerse por un factor menor que la mitad se asegura que habrá un espacio entre las ramas de la herradura. A continuación, el rectángulo se estira horizontalmente por un factor de $⁠$ $1 / a ⁠$ ; las tapas permanecen inalteradas. Finalmente, la tira resultante se dobla en forma de herradura y se vuelve a colocar en $S$ .

La parte interesante de la dinámica es la imagen del cuadrado en sí mismo. Una vez que se define esa parte, la función se puede extender a un difeomorfismo definiendo su acción sobre las tapas. Se hace que las tapas se contraigan y, finalmente, se apliquen dentro de una de las tapas (la de la izquierda en la figura). La extensión de f a las tapas agrega un punto fijo al conjunto no errante de la función. Para mantener simple la clase de funciones en herradura, la región curva de la herradura no debería volver a aplicarse dentro del cuadrado.

El mapa de herradura es uno a uno, lo que significa que existe una f ⁻¹ inversa cuando se restringe a la imagen de $S$ bajo $f$ .

Doblando el cuadrado contraído y estirado de diferentes maneras, son posibles otros tipos de mapas de herradura.

Para garantizar que la función siga siendo uno a uno, el cuadrado contraído no debe superponerse consigo mismo. Cuando la acción sobre el cuadrado se extiende a un difeomorfismo, la extensión no siempre se puede realizar en el plano. Por ejemplo, la función de la derecha debe extenderse a un difeomorfismo de la esfera utilizando una “tapa” que envuelva el ecuador.

El mapa de herradura es un difeomorfismo del axioma A que sirve como modelo para el comportamiento general en un punto homoclínico transversal , donde se intersecan las variedades estables e inestables de un punto periódico.

Dinámica del mapa

El mapa de herradura fue diseñado para reproducir la dinámica caótica de un flujo en la vecindad de una órbita periódica dada. La vecindad se elige como un pequeño disco perpendicular a la órbita . A medida que el sistema evoluciona, los puntos en este disco permanecen cerca de la órbita periódica dada, trazando órbitas que eventualmente intersecan el disco una vez más. Otras órbitas divergen.

El comportamiento de todas las órbitas del disco se puede determinar considerando lo que le sucede al disco. La intersección del disco con la órbita periódica dada vuelve a sí misma en cada período de la órbita y lo mismo hacen los puntos en su vecindad. Cuando esta vecindad vuelve, su forma se transforma. Entre los puntos que vuelven al interior del disco hay algunos puntos que saldrán de la vecindad del disco y otros que seguirán regresando. El conjunto de puntos que nunca abandonan la vecindad de la órbita periódica dada forma un fractal.

Se puede dar un nombre simbólico a todas las órbitas que permanecen en la vecindad. El disco de vecindad inicial se puede dividir en un pequeño número de regiones. Conocer la secuencia en la que la órbita visita estas regiones permite localizarla con exactitud. La secuencia de visitas de las órbitas proporciona una representación simbólica de la dinámica, conocida como dinámica simbólica .

Órbitas

Es posible describir el comportamiento de todas las condiciones iniciales del mapa de herradura. Un punto inicial u ₀ = ( x , y ) se mapea en el punto u ₁ = f ( u ₀ ). Su iteración es el punto u ₂ = f ( u ₁ ) = f ² ( u ₀ ), y la iteración repetida genera la órbita u ₀ , u ₁ , u ₂ , ...

En la iteración repetida del mapa de herradura, la mayoría de las órbitas terminan en el punto fijo en la tapa izquierda. Esto se debe a que la herradura mapea la tapa izquierda en sí misma mediante una transformación afín que tiene exactamente un punto fijo. Cualquier órbita que aterrice en la tapa izquierda nunca la abandona y converge al punto fijo en la tapa izquierda bajo la iteración. Los puntos en la tapa derecha se mapean en la tapa izquierda en la siguiente iteración, y la mayoría de los puntos en el cuadrado se mapean en las tapas. Bajo la iteración, la mayoría de los puntos serán parte de órbitas que convergen al punto fijo en la tapa izquierda, pero algunos puntos del cuadrado nunca se van.

Iterando el cuadrado

En iteraciones hacia adelante del mapa de herradura, el cuadrado original se mapea en una serie de franjas horizontales. Los puntos en estas franjas horizontales provienen de franjas verticales en el cuadrado original. Sea $S 0$ el cuadrado original, mapéelo hacia adelante n veces y considere solo los puntos que vuelven a caer en el cuadrado $S 0$ , que es un conjunto de franjas horizontales.

H_{n}=f^{n}(S_{0})\cap S_{0}.

Los puntos de las rayas horizontales provienen de las rayas verticales.

V_{n}=f^{-n}(H_{n})

,

que son las franjas horizontales $H n$ mapeadas hacia atrás n veces. Es decir, un punto en $V n$ terminará , bajo n iteraciones de la herradura, en el conjunto $H n$ de franjas verticales.

Conjunto invariante

Si un punto debe permanecer indefinidamente en el cuadrado, entonces debe pertenecer a un conjunto $Λ$ que se mapea a sí mismo. Debe determinarse si este conjunto está vacío o no. Las franjas verticales $V 1$ se mapean en las franjas horizontales $H 1$ , pero no todos los puntos de $V 1$ se mapean nuevamente en $V 1$ . Solo los puntos en la intersección de $V 1$ y $H 1$ pueden pertenecer a $Λ$ , como se puede comprobar siguiendo los puntos fuera de la intersección durante una iteración más.

La intersección de las rayas horizontales y verticales, $H n \cap V n$ , son cuadrados que en el límite $n \to \infty$ convergen al conjunto invariante $Λ$ (este conjunto es una intersección de un conjunto de Cantor de líneas verticales con un conjunto de Cantor de líneas horizontales ^[2] ). La estructura de este conjunto se puede entender mejor introduciendo un sistema de etiquetas para todas las intersecciones: una dinámica simbólica.

Dinámica simbólica

Los dominios básicos del mapa de herradura

Como $H n \cap V n \subset V 1$ , cualquier punto que esté en $Λ$ bajo iteración debe caer en la franja vertical izquierda $A$ de $V 1$ , o en la franja vertical derecha $B$ . La franja horizontal inferior de $H 1$ es la imagen de $A$ y la franja horizontal superior es la imagen de $B$ , por lo que H ₁ = f(A) ∪ f(B) . Las franjas $A$ y $B$ se pueden usar para etiquetar los cuatro cuadrados en la intersección de $V 1$ y $H 1$ :

{\begin{aligned}\Lambda _{A\bullet A}&=f(A)\cap A\\\Lambda _{A\bullet B}&=f(A)\cap B\\\Lambda _{B\bullet A}&=f(B)\cap A\\\Lambda _{B\bullet B}&=f(B)\cap B\end{aligned}}

El conjunto $Λ B•A$ está formado por puntos de la franja $A$ que estaban en la franja $B$ en la iteración anterior. Se utiliza un punto para separar la región en la que se encuentra el punto de una órbita de la región de la que procede el punto.

La notación se puede extender a iteraciones superiores del mapa de herradura. Las franjas verticales se pueden nombrar según la secuencia de visitas a la franja $A$ o la franja $B.$ Por ejemplo, el conjunto ABB ⊂ V ₃ consta de los puntos de $A$ que aterrizarán en $B$ en una iteración y permanecerán en $B$ en la iteración siguiente:

ABB=\{x\en A\,|\,f(x)\en B\,\,\,\mathrm {y} \,\,\,f_{2}(x)\en B\}.

Trabajando hacia atrás desde esa trayectoria se determina una pequeña región, el conjunto ABB , dentro de V ₃ .

Las franjas horizontales reciben su nombre de las preimágenes de las franjas verticales. En esta notación, la intersección de V ₂ y H ₂ consta de 16 cuadrados, uno de los cuales es

\Lambda_{AB\bulletBB}=f_{2}(AB)\capBB.

Todos los puntos de Λ _AB•BB están en $B$ y seguirán estando en $B$ durante al menos una iteración más. Su trayectoria anterior antes de aterrizar en BB era $A$ seguida de $B.$

Órbitas periódicas

Cualquiera de las intersecciones $Λ P•F$ de una franja horizontal con una franja vertical, donde P y F son secuencias de A s y B s, es una transformación afín de una pequeña región en V ₁ . Si P tiene k símbolos, y si $f$ $-$ $k$ $(Λ$ $P•F$ $)$ y $Λ$ $P•F$ se intersecan, la región $Λ$ $P•F$ tendrá un punto fijo. Esto sucede cuando la secuencia P es la misma que F . Por ejemplo, $Λ$ $ABAB•ABAB$ $\subset$ $V$ $4$ $\cap$ $H$ $4$ tiene al menos un punto fijo. Este punto también es el mismo que el punto fijo en Λ _AB•AB . Al incluir más y más AB s en la parte P y F de la etiqueta de intersección, el área de la intersección puede hacerse tan pequeña como sea necesario. Converge a un punto que es parte de una órbita periódica del mapa de herradura. La órbita periódica se puede etiquetar mediante la secuencia más simple de $A$ y $B$ que etiqueta una de las regiones que visita la órbita periódica.

Para cada secuencia de $A$ y $B$ existe una órbita periódica.

Véase también

Notas

^ David Ruelle (2006). "¿Qué es un atractor extraño?" (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 53 (7): 764–765.
^ Ott, Edward (2002). Caos en sistemas dinámicos (2.ª ed.). Cambridge University Press.

Referencias

David Ruelle (2006). “¿Qué es un atractor extraño?” (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 53 (7): 764–765.
Stephen Smale (1967). "Sistemas dinámicos diferenciables". Boletín de la American Mathematical Society . 73 (6): 747–817. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11798-1 .
P. Cvitanović; G. Gunaratne; I. Procaccia (1988). "Propiedades topológicas y métricas de los atractores extraños de tipo Hénon". Physical Review A . 38 (3): 1503–1520. Bibcode :1988PhRvA..38.1503C. doi :10.1103/PhysRevA.38.1503. PMID 9900529.
André de Carvalho (1999). "Frentes de poda y formación de herraduras". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 19 (4): 851–894. arXiv : math/9701217 . doi :10.1017/S0143385799133972. S2CID 17153861.
André de Carvalho; Toby Hall (2002). "Cómo podar una herradura" (PDF) . No linealidad . 15 (3): R19–R68. Código Bibliográfico :2002Nonli..15R..19D. doi :10.1088/0951-7715/15/3/201. S2CID 53417965. Archivado desde el original (PDF) el 2 de marzo de 2019.

Enlaces externos

"Herradura pequeña". Scholarpedia .
Evgeny Demidov (2007). "Estructuras homoclínicas en el mapa estándar". ibiblio.org . Consultado el 11 de julio de 2016 .
Capítulo de ChaosBook.org "Estirar, doblar, podar"
CAOS VI - Capítulo Caos y Herraduras de la película Caos de Jos Leys, Étienne Ghys y Aurélien Alvarez
Richeson, David (2 de marzo de 2022). "Cómo los matemáticos le dan sentido al caos". Revista Quanta .

[1] David Ruelle (2006). "¿Qué es un atractor extraño?" (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 53 (7): 764–765.

[2] Ott, Edward (2002). Caos en sistemas dinámicos (2.ª ed.). Cambridge University Press.