Órbita homoclínica

En el estudio de los sistemas dinámicos , una órbita homoclínica es un camino a través del espacio de fases que une un punto de equilibrio de silla consigo mismo. Más precisamente, una órbita homoclínica se encuentra en la intersección de la variedad estable y la variedad inestable de un equilibrio. Es una órbita heteroclínica –un camino entre dos puntos de equilibrio cualesquiera– en el que los puntos finales son uno y el mismo.

Consideremos el sistema dinámico continuo descrito por la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle {\punto {x}}=f(x)}$

Supongamos que hay un equilibrio en , entonces una solución es una órbita homoclínica si ${\displaystyle x=x_{0}}$${\displaystyle \Phi(t)}$

${\displaystyle \Phi (t)\rightarrow x_{0}\quad \mathrm {as} \quad t\rightarrow \pm \infty }$

Si el espacio de fases tiene tres o más dimensiones , entonces es importante considerar la topología de la variedad inestable del punto de silla. Las figuras muestran dos casos. Primero, cuando la variedad estable es topológicamente un cilindro , y segundo, cuando la variedad inestable es topológicamente una banda de Möbius ; en este caso la órbita homoclínica se llama torcida .

Las órbitas homoclínicas y los puntos homoclínicos se definen de la misma manera para funciones iteradas , como la intersección del conjunto estable y el conjunto inestable de algún punto fijo o punto periódico del sistema.

También tenemos la noción de órbita homoclínica cuando consideramos sistemas dinámicos discretos. En tal caso, si es un difeomorfismo de una variedad , decimos que es un punto homoclínico si tiene el mismo pasado y futuro - más específicamente, si existe un punto fijo (o periódico) tal que ${\displaystyle f:M\rightarrow M}$ ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización p}$

${\displaystyle \lim_{n\rightarrow \pm \infty}f^{n}(x)=p.}$

La existencia de un punto homoclínico implica la existencia de un número infinito de ellos. ^[1] Esto se desprende de su definición: la intersección de un conjunto estable y uno inestable. Ambos conjuntos son invariantes por definición, lo que significa que la iteración hacia delante del punto homoclínico se encuentra tanto en el conjunto estable como en el inestable. Al iterar N veces, la función se aproxima al punto de equilibrio por el conjunto estable, pero en cada iteración también se encuentra en la variedad inestable, lo que demuestra esta propiedad.

Esta propiedad sugiere que la dinámica complicada surge por la existencia de un punto homoclínico. De hecho, Smale (1967) ^[2] demostró que estos puntos conducen a una dinámica de tipo mapa de herradura , que está asociada con el caos.

Utilizando la partición de Markov , se puede estudiar el comportamiento a largo plazo de un sistema hiperbólico utilizando las técnicas de dinámica simbólica . En este caso, una órbita homoclínica tiene una representación particularmente simple y clara. Supongamos que es un conjunto finito de M símbolos. La dinámica de un punto x se representa entonces mediante una cadena bi-infinita de símbolos. ${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,M\}}$

${\displaystyle \sigma =\{(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\en S\;\forall k\en \mathbb {Z} \}}$

Un punto periódico del sistema es simplemente una secuencia recurrente de letras. Una órbita heteroclínica es entonces la unión de dos órbitas periódicas distintas. Puede escribirse como

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}q^{\omega }}$

donde es una secuencia de símbolos de longitud k , (por supuesto, ), y es otra secuencia de símbolos, de longitud m (igualmente, ). La notación simplemente denota la repetición de p un número infinito de veces. Por lo tanto, una órbita heteroclínica puede entenderse como la transición de una órbita periódica a otra. Por el contrario, una órbita homoclínica puede escribirse como ${\displaystyle p=t_{1}t_{2}\cdots t_{k}}$${\displaystyle t_{i}\en S}$${\displaystyle q=r_{1}r_{2}\cdots r_{m}}$${\displaystyle r_{i}\en S}$${\displaystyle p^{\omega}}$

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}p^{\omega }}$

siendo la secuencia intermedia no vacía y, por supuesto, no siendo p , ya que de lo contrario, la órbita sería simplemente . ${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}$${\displaystyle p^{\omega}}$

• Órbita heteroclínica
• Bifurcación homoclínica

• John Guckenheimer y Philip Holmes , Oscilaciones no lineales, sistemas dinámicos y bifurcaciones de campos vectoriales (Applied Mathematical Sciences Vol. 42), Springer

• Órbitas homoclínicas en el mapa de Henon con subprogramas Java y comentarios