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Lista de grupos pequeños

La siguiente lista en matemáticas contiene los grupos finitos de orden pequeño salvo isomorfismo de grupos . Recuentos Para n = 1, 2, … el número de grupos no isomorfos de orden...

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La siguiente lista en matemáticas contiene los grupos finitos de orden pequeño salvo isomorfismo de grupos .

Recuentos

Para n = 1, 2, … el número de grupos no isomorfos de orden n es

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, ... (secuencia A000001 en el OEIS )

Para ver los grupos etiquetados, consulte (secuencia A034383 en el OEIS ) .

Glosario

Cada grupo es nombrado por la Biblioteca de Grupos Pequeños como G o i , donde o es el orden del grupo e i es el índice utilizado para etiquetar el grupo dentro de ese orden.

Nombres de grupos comunes:

Las notaciones Z n y Dih n tienen la ventaja de que los grupos puntuales en tres dimensiones C n y D n no tienen la misma notación. Existen más grupos de isometría que estos dos, del mismo tipo de grupo abstracto.

La notación G × H denota el producto directo de los dos grupos; G n denota el producto directo de un grupo consigo mismo n veces. G ⋊ H denota un producto semidirecto donde H actúa sobre G ; esto también puede depender de la elección de la acción de H sobre G.

Se indican los grupos abelianos y simples . (Para grupos de orden n < 60 , los grupos simples son precisamente los grupos cíclicos Z n , donde n es primo ).

El elemento neutro en los gráficos cíclicos está representado por el círculo negro. El orden más bajo para el cual el gráfico cíclico no representa de forma única un grupo es el orden 16.

En las listas de subgrupos , no se incluyen el grupo trivial ni el grupo en sí. Cuando existen varios subgrupos isomorfos, el número de dichos subgrupos se indica entre paréntesis.

Los corchetes angulares <relations> muestran la presentación de un grupo .

Lista de pequeños grupos abelianos

Los grupos abelianos finitos son grupos cíclicos o productos directos de los mismos; véase Grupo abeliano . El número de grupos abelianos no isomorfos de órdenes n = 1, 2, ... es

1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, ... (secuencia A000688 en el OEIS )

Para grupos abelianos etiquetados, véase (secuencia A034382 en el OEIS ) .

Lista de pequeños grupos no abelianos

El número de grupos no abelianos, por orden, se cuenta mediante (secuencia A060689 en el OEIS ) . Sin embargo, muchos órdenes no tienen grupos no abelianos. Los órdenes para los que existe un grupo no abeliano son:

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (secuencia A060652 en el OEIS )

Clasificación de grupos de orden pequeño

Los grupos pequeños de orden de potencia prima p n se dan de la siguiente manera:

  • Orden p : El único grupo es cíclico.
  • Orden p 2 : Solo hay dos grupos, ambos abelianos.
  • Orden p 3 : Hay tres grupos abelianos y dos grupos no abelianos. Uno de los grupos no abelianos es el producto semidirecto de un subgrupo cíclico normal de orden p 2 por un grupo cíclico de orden p . El otro es el grupo de cuaterniones para p = 2 y el grupo de Heisenberg módulo p para p > 2 .
  • Orden p 4 : La clasificación es complicada y se vuelve mucho más difícil a medida que aumenta el exponente de p .

La mayoría de los grupos de orden pequeño tienen un subgrupo de Sylow p, P, con un p -complemento normal N para algún primo p que divide el orden, por lo que pueden clasificarse en términos de los posibles primos p , los p -grupos P , los grupos N y las acciones de P sobre N. En cierto sentido, esto reduce la clasificación de estos grupos a la clasificación de los p -grupos. Algunos de los grupos pequeños que no tienen un p -complemento normal incluyen:

  • Orden 24: El grupo simétrico S 4
  • Orden 48: El grupo octaédrico binario y el producto S 4 × Z 2
  • Orden 60: El grupo alterno A 5 .

El orden más pequeño para el cual no se sabe cuántos grupos no isomorfos existen es 2048 = 2 11 . [ 7 ]

Biblioteca para grupos pequeños

El sistema de álgebra computacional GAP contiene un paquete llamado "Biblioteca de grupos pequeños", que proporciona acceso a descripciones de grupos de orden pequeño. Los grupos se enumeran hasta isomorfismo . Actualmente, la biblioteca contiene los siguientes grupos: [ 8 ]

  • aquellos de orden como máximo 2000 [ 9 ] excepto el orden 1024 ( 423 164 062 grupos en la biblioteca; los de orden 1024 tuvieron que ser omitidos, ya que hay 49 487 367 289 2-grupos no isomorfos adicionales de orden 1024 [ 10 ] );
  • aquellos de orden sin cubos como máximo 50000 (395 703 grupos);
  • aquellos de orden libre de cuadrados ;
  • aquellos de orden p n para n como máximo 6 y p primo;
  • aquellos de orden p 7 para p = 3, 5, 7, 11 (907 489 grupos);
  • aquellos de orden pq n donde q n divide a 2 8 , 3 6 , 5 5 o 7 4 y p es un primo arbitrario que difiere de q ;
  • aquellos cuyos órdenes se factorizan en como máximo 3 números primos (no necesariamente distintos).

Contiene descripciones explícitas de los grupos disponibles en un formato legible por ordenador.

El pedido más pequeño para el que la biblioteca de Grupos Pequeños no tiene información es el 1024.

Véase también

Notas

  1. 1 2 Identificador cuando los grupos se numeran por orden, o , y luego por índice, i , de la biblioteca de grupos pequeños, comenzando en 1.
  1. 1 2 Dockchitser, Tim. "Nombres de grupos" . Recuperado el 23 de mayo de 2023 .
  2. ↑ Vea un ejemplo resuelto que muestra el isomorfismo Z 6 ≅ Z 3 × Z 2 .
  3. ↑ Chen, Jing; Tang, Lang (2020). "Los grafos conmutativos en grupos dicíclicos". Algebra Colloquium . 27 (4): 799– 806. doi : 10.1142/S1005386720000668 . ISSN 1005-3867 . S2CID 228827501 .  
  4. 1 2 3 4 5 6 7 Coxeter, HSM (1980). Generadores y relaciones para grupos discretos (4.ª ed.). Berlín: Springer. doi : 10.1007/978-3-662-21943-0 . ISBN  978-3-662-21943-0. <l,m,n>: R l =S m =T n =RST
  5. ↑ Wild, Marcel (2005). " Los grupos de orden dieciséis explicados fácilmente" (PDF) . Am. Math. Mon. 112 ( 1): 20–31 . doi : 10.1080/00029890.2005.11920164 . JSTOR 30037381. S2CID 15362871. Archivado del original (PDF) el 23 de septiembre de 2006.  
  6. ↑ "Estructura de subgrupos de un grupo simétrico: S4 - Groupprops" .
  7. ↑ Eick, Bettina; Horn, Max; Hulpke, Alexander (2018). Construcción de grupos de orden pequeño: resultados recientes y problemas abiertos (PDF) . Springer. pp. 199–211 . doi : 10.1007/978-3-319-70566-8_8 . ISBN  978-3-319-70566-8.
  8. ↑ Hans Ulrich Besche La biblioteca de los grupos pequeños Archivado el 5 de marzo de 2012 en Wayback Machine
  9. ↑ "Número de tipos de isomorfismo de grupos finitos de orden dado" . www.icm.tu-bs.de . Archivado del original el 25 de julio de 2019. Consultado el 5 de abril de 2017 .
  10. ↑ Burrell, David (2021-12-08). "Sobre el número de grupos de orden 1024" . Communications in Algebra . 50 (6): 2408– 2410. doi : 10.1080/00927872.2021.2006680 .

Referencias

  • Coxeter, HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y relaciones para grupos discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9., Tabla 1, grupos no abelianos orden<32.
  • Hall, Jr., Marshall ; Senior, James K. (1964). "Los grupos de orden 2 n ( n ≤ 6)". MathSciNet . Macmillan. MR 0168631 . Un catálogo de los 340 grupos de orden que dividen en 64, con tablas de relaciones definitorias, constantes y retículos de subgrupos de cada grupo.
  • Grupos particulares en la Wiki de propiedades de grupo
  • Besche, HU; Eick, B.; O'Brien, E. "Biblioteca para grupos pequeños" . Archivado del original el 5 de marzo de 2012.
  • Base de datos GroupNames
  • Hall, Jr., Marshall; Senior, James Kuhn (1964). Los grupos de orden 2 n ( n ≤ 6) . Nueva York: Macmillan / Londres: Collier-Macmillan Ltd. LCCN 64016861