Complemento p normal

En teoría de grupos , una rama de las matemáticas , el p -complemento normal de un grupo finito para un primo p es un subgrupo normal de orden coprimo con p e índice potencia de p . En otras palabras, el grupo es un producto semidirecto del p -complemento normal y cualquier p- subgrupo de Sylow . Un grupo se denomina p- nilpotente si posee un p -complemento normal .

Cayley demostró que si el subgrupo de Sylow 2 de un grupo G es cíclico , entonces el grupo tiene un complemento 2 normal , lo que demuestra que el subgrupo de Sylow 2 de un grupo simple de orden par no puede ser cíclico.

Burnside ( 1911 , Teorema II, sección 243) demostró que si un p -subgrupo de Sylow de un grupo G está en el centro de su normalizador, entonces G tiene un p -complemento normal . Esto implica que si p es el primo más pequeño que divide el orden de un grupo G y el p- subgrupo de Sylow es cíclico, entonces G tiene un p -complemento normal . 

El teorema del p -complemento normal de Frobenius es un fortalecimiento del teorema del p -complemento normal de Burnside, que establece que si el normalizador de todo subgrupo no trivial de un p- subgrupo de Sylow de G tiene un p- complemento normal , entonces G también lo tiene . Más precisamente, las siguientes condiciones son equivalentes:

• G tiene un complemento p normal.
• El normalizador de cada p -subgrupo no trivial tiene un p- complemento normal.
• Para cada p -subgrupo Q , el grupo N _G ( Q )/C _G ( Q ) es un p -grupo .

El teorema del p -complemento normal de Frobenius demuestra que si todo normalizador de un subgrupo no trivial de un p- subgrupo de Sylow tiene un p- complemento normal , entonces G también lo tiene . Para las aplicaciones, suele ser útil una versión más fuerte donde, en lugar de usar todos los subgrupos no triviales de un p- subgrupo de Sylow, se usan solo los subgrupos característicos no triviales . Para números primos impares p, Thompson encontró un criterio reforzado de este tipo: de hecho, no necesitaba todos los subgrupos característicos, sino solo dos especiales.

Thompson (1964) demostró que si p es un primo impar y los grupos N(J( P )) y C(Z( P )) tienen p -complementos normales para un subgrupo P de Sylow de G , entonces G tiene un p -complemento normal .

En particular, si el normalizador de cada subgrupo característico no trivial de P tiene un p -complemento normal , entonces G también lo tiene . Esta consecuencia es suficiente para muchas aplicaciones.

El resultado falla para p  =  2 ya que el grupo simple PSL ₂ ( F ₇ ) de orden 168 es un contraejemplo .

Thompson (1960) dio una versión más débil de este teorema.

El teorema del p -complemento normal de Thompson utilizaba condiciones sobre dos subgrupos característicos particulares de un p- subgrupo de Sylow . Glauberman lo mejoró aún más demostrando que basta con utilizar un único subgrupo característico: el centro del subgrupo de Thompson.

Glauberman (1968) utilizó su teorema ZJ para demostrar un teorema normal de p -complemento , que establece que si p es un primo impar y el normalizador de Z(J(P)) tiene un p -complemento normal , para P un p -subgrupo de Sylow de G , entonces G también lo tiene . Aquí Z representa el centro de un grupo y J el subgrupo de Thompson .

El resultado falla para p  =  2 ya que el grupo simple PSL ₂ ( F ₇ ) de orden 168 es un contraejemplo.

• Burnside, William (1911) [1897], Teoría de grupos de orden finito (2.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-1-108-05032-6, MR 0069818 {{citation}}ISBN / Incompatibilidad de fechas ( ayuda ) Reimpreso por Dover 1955
• Glauberman, George (1968), "Un subgrupo característico de un grupo p-estable" , Canadian Journal of Mathematics , 20 : 1101–1135 , doi : 10.4153/cjm-1968-107-2 , ISSN 0008-414X , MR 0230807 , archivado del original el 7 de agosto de 2011 , recuperado el 21 de mayo de 2012.  
• Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos (2.ª  ed.), Nueva York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209 
• Thompson, John G. (1960), "Complementos p normales para grupos finitos", Mathematische Zeitschrift , 72 : 332– 354, doi : 10.1007/BF01162958 , ISSN 0025-5874 , MR 0117289 , S2CID 120848984   
• Thompson, John G. (1964), "P-complementos normales para grupos finitos", Journal of Algebra , 1 : 43–46 , doi : 10.1016/0021-8693(64)90006-7 , ISSN 0021-8693 , MR 0167521