Zócalo (matemáticas)

En matemáticas , el término zócalo tiene varios significados relacionados.

En el contexto de la teoría de grupos , el zócalo de un grupo G , denotado soc( G ), es el subgrupo generado por los subgrupos normales mínimos de G. Puede suceder que un grupo no tenga ningún subgrupo normal no trivial mínimo (es decir, cada subgrupo normal no trivial contiene apropiadamente otro subgrupo de ese tipo) y en ese caso el zócalo se define como el subgrupo generado por la identidad. El zócalo es un producto directo de subgrupos normales mínimos. ^[1]

Como ejemplo, considere el grupo cíclico Z ₁₂ con generador u , que tiene dos subgrupos normales mínimos, uno generado por u ⁴ (que da un subgrupo normal con 3 elementos) y el otro por u ⁶ (que da un subgrupo normal con 2 elementos). Por lo tanto, el zócalo de Z ₁₂ es el grupo generado por u ⁴ y u ⁶ , que es simplemente el grupo generado por u ² .

El zócalo es un subgrupo característico y, por lo tanto, un subgrupo normal. Sin embargo, no es necesariamente transitivamente normal .

Si un grupo G es un grupo resoluble finito , entonces el zócalo puede expresarse como un producto de p -grupos abelianos elementales . Por lo tanto, en este caso, es solo un producto de copias de Z / p Z para varios p , donde el mismo p puede aparecer varias veces en el producto.

En el contexto de la teoría de módulos y la teoría de anillos, el zócalo de un módulo M sobre un anillo R se define como la suma de los submódulos mínimos no nulos de M. Puede considerarse como una noción dual a la del radical de un módulo . En la notación de conjuntos,

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\sum _{N{\text{ es un submódulo simple de }}M}N.}$

De manera equivalente,

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\bigcap _{E{\text{ es un submódulo esencial de }}M}E.}$

El zócalo de un anillo R puede referirse a uno de los dos conjuntos del anillo. Considerando R como un R -módulo derecho, se define soc( R _R ), y considerando R como un R -módulo izquierdo, se define soc( _R R ). Ambos zócalos son ideales de anillo y se sabe que no son necesariamente iguales.

• Si M es un módulo artiniano , soc( M ) es en sí mismo un submódulo esencial de M.

De hecho, si M es un módulo semiartiniano , entonces soc( M ) es en sí mismo un submódulo esencial de M. Además, si M es un módulo distinto de cero sobre un anillo semiartiniano izquierdo , entonces soc( M ) es en sí mismo un submódulo esencial de M. Esto se debe a que cualquier módulo distinto de cero sobre un anillo semiartiniano izquierdo es un módulo semiartiniano.

• Un módulo es semisimple si y sólo si soc( M ) =  M . Los anillos para los que soc( M ) =  M para todo M son precisamente anillos semisimples .
• soc(soc( M )) = soc( M ).
• M es un módulo finitamente cogenerado si y solo si soc( M ) se genera finitamente y soc( M ) es un submódulo esencial de M .
• Dado que la suma de módulos semisimples es semisimple, el zócalo de un módulo también podría definirse como el único submódulo semisimple máximo.
• A partir de la definición de rad( R ), es fácil ver que rad( R ) aniquila soc( R ). Si R es un álgebra unitaria de dimensión finita y M un R -módulo finitamente generado , entonces el zócalo consiste precisamente de los elementos aniquilados por el radical de Jacobson de R . ^[2]

En el contexto de las álgebras de Lie , un zócalo de un álgebra de Lie simétrica es el espacio propio de su automorfismo estructural que corresponde al valor propio  −1. (Un álgebra de Lie simétrica se descompone en la suma directa de su zócalo y cosóculo ). ^[3]

• Casco inyectivo
• Radical de un módulo
• Cosocle

• Alperin, JL ; Bell, Rowen B. (1995). Grupos y representaciones . Springer-Verlag . p. 136. ISBN 0-387-94526-1.
• Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R. (1992). Anillos y categorías de módulos . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97845-1.
• Robinson, Derek JS (1996), Un curso sobre la teoría de grupos , Graduate Texts in Mathematics , vol. 80 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag , pp. xviii+499, doi :10.1007/978-1-4419-8594-1, ISBN 0-387-94461-3, Sr.  1357169

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