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Grupo espacial

El grupo espacial del hielo hexagonal H₂O es P6₃ / mmc . La primera m indica el plano de simetría perpendicular al eje c (a), la segunda m indica los planos de simetría paralelo...

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El grupo espacial del hielo hexagonal H₂O es P6₃ / mmc . La primera m indica el plano de simetría perpendicular al eje c (a), la segunda m indica los planos de simetría paralelos al eje c (b), y la c indica los planos de deslizamiento (b) y (c). Los recuadros negros delimitan la celda unitaria.

En matemáticas , física y química , un grupo espacial es el grupo de simetría de un patrón repetitivo en el espacio, generalmente en tres dimensiones . [ 1 ] Los elementos de un grupo espacial (sus operaciones de simetría ) son las transformaciones rígidas del patrón que lo dejan inalterado. Por lo general, el término se aplica a grupos que se repiten en las tres dimensiones, pero los grupos de líneas y los grupos de papel tapiz también se aplican, o pueden aplicarse, a arreglos tridimensionales. Los grupos espaciales que se repiten en las tres dimensiones se clasifican en 219 tipos distintos, o 230 tipos si se consideran copias quirales distintas. Los grupos espaciales son grupos cocompactos discretos de isometrías de un espacio euclidiano orientado en cualquier número de dimensiones. En dimensiones distintas de 3, a veces se les llama grupos de Bieberbach .

En cristalografía , los grupos espaciales también se denominan grupos cristalográficos o de Fedorov , y representan una descripción de la simetría del cristal. Existen amplias fuentes recopiladas de esta información. [ 2 ]

Historia

Los grupos espaciales en 2 dimensiones son los 17 grupos de papel tapiz que se conocen desde hace varios siglos, aunque la prueba de que la lista estaba completa no se dio hasta 1891, después de que la clasificación mucho más difícil de los grupos espaciales se hubiera completado en gran medida. [ 3 ]

En 1879, el matemático alemán Leonhard Sohncke enumeró los 65 grupos espaciales (llamados grupos de Sohncke) cuyos elementos conservan la quiralidad . [ 4 ] Más precisamente, enumeró 66 grupos, pero tanto el matemático y cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov como el matemático alemán Arthur Moritz Schoenflies notaron que dos de ellos eran en realidad el mismo. Los grupos espaciales en tres dimensiones fueron enumerados por primera vez en 1891 por Fedorov (cuya lista tenía dos omisiones (I 4 3d y Fdd2) y una duplicación (Fmm2)), y poco después, en 1891, fueron enumerados independientemente por Schönflies (cuya lista tenía cuatro omisiones (I 4 3d, Pc, Cc,  ?) y una duplicación (P 4 2 1 m)). [ 5 ] [ 6 ] La lista correcta de 230 grupos espaciales se encontró en 1892 durante la correspondencia entre Fedorov y Schönflies. [ 7 ] William Barlow enumeró posteriormente los grupos con un método diferente, pero omitió cuatro grupos (Fdd2, I 4 2d, P 4 2 1 d y P 4 2 1 c). [ 8 ] Se ha escrito una descripción detallada de la historia del descubrimiento de los grupos espaciales. [ 9 ]

Elementos

Los grupos espaciales tridimensionales se forman a partir de combinaciones de los 32 grupos puntuales cristalográficos con las 14 redes de Bravais , cada una de las cuales pertenece a uno de los 7 sistemas reticulares . Esto significa que la acción de cualquier elemento de un grupo espacial dado puede expresarse como la acción de un elemento del grupo puntual correspondiente, seguida opcionalmente de una traslación. Un grupo espacial es, por lo tanto, una combinación de la simetría traslacional de una celda unitaria (incluido el centrado de la red ), las operaciones de simetría del grupo puntual de reflexión , rotación y rotación impropia (también llamada rotoinversión), y las operaciones de simetría del eje helicoidal y del plano de deslizamiento . La combinación de todas estas operaciones de simetría da como resultado un total de 230 grupos espaciales diferentes que describen todas las simetrías cristalinas posibles.

El número de réplicas de la unidad asimétrica en una celda unitaria es, por lo tanto, el número de puntos de la red en la celda multiplicado por el orden del grupo puntual. Esto varía desde 1 en el caso del grupo espacial P1 hasta 192 para un grupo espacial como Fm 3 m, la estructura del NaCl .

Elementos fijando un punto

Los elementos del grupo espacial que fijan un punto del espacio son el elemento identidad, las reflexiones, las rotaciones y las rotaciones impropias , incluidos los puntos de inversión .

Traducciones

Las traslaciones forman un subgrupo abeliano normal de rango 3, llamado red de Bravais (en honor al físico francés Auguste Bravais ). Existen 14 tipos posibles de redes de Bravais. El cociente del grupo espacial por la red de Bravais es un grupo finito que es uno de los 32 grupos puntuales posibles .

Planeadores

Un plano de deslizamiento es una reflexión en un plano, seguida de una traslación paralela a ese plano. Esto se denota con a , b o c , dependiendo del eje a lo largo del cual se realiza el deslizamiento. También existe el deslizamiento n , que es un deslizamiento a lo largo de la mitad de una diagonal de una cara, y el deslizamiento d , que es un cuarto de la longitud de una cara o diagonal espacial de la celda unitaria. Este último se denomina plano de deslizamiento de diamante, ya que aparece en la estructura de diamante . En 17 grupos espaciales, debido al centrado de la celda, los deslizamientos ocurren en dos direcciones perpendiculares simultáneamente, es decir, el mismo plano de deslizamiento puede denominarse b o c , a o b , a o c . Por ejemplo, el grupo Abm2 también podría denominarse Acm2, el grupo Ccca podría denominarse Cccb. En 1992, se sugirió utilizar el símbolo e para dichos planos. Los símbolos para cinco grupos espaciales han sido modificados:

Ejes helicoidales

Un eje helicoidal es una rotación alrededor de un eje, seguida de una traslación en la dirección de dicho eje. Estas se denotan con un número, n , que describe el grado de rotación, donde el número indica cuántas operaciones deben aplicarse para completar una rotación completa (por ejemplo, 3 significaría una rotación de un tercio de la circunferencia del eje en cada paso). El grado de traslación se añade como subíndice, indicando la distancia a lo largo del eje que abarca la traslación, como una porción del vector de la red paralela. Así, 2 1 representa una rotación doble seguida de una traslación de 1/2 del vector de la red .

Fórmula general

La fórmula general para la acción de un elemento de un grupo espacial es

y = M . x + D

donde M es su matriz, D es su vector, y donde el elemento transforma el punto x en el punto y . En general, D = D ( red ) + D ( M ) , donde D ( M ) es una función única de M que es cero cuando M es la matriz identidad. Las matrices M forman un grupo puntual que es una base del grupo espacial; la red debe ser simétrica bajo ese grupo puntual, pero la estructura cristalina en sí misma puede no ser simétrica bajo ese grupo puntual aplicado a cualquier punto particular (es decir, sin una traslación). Por ejemplo, la estructura cúbica del diamante no tiene ningún punto donde se aplique el grupo puntual cúbico .

La dimensión de la red puede ser menor que la dimensión total, lo que da como resultado un grupo espacial "subperiódico". Para (dimensión total, dimensión de la red):

Quiralidad

Los 65 grupos espaciales de Sohncke, que no contienen espejos, puntos de inversión, rotaciones impropias ni planos de deslizamiento, dan lugar a cristales quirales , que no son idénticos a su imagen especular; mientras que los grupos espaciales que sí incluyen al menos uno de estos elementos dan lugar a cristales aquirales. Las moléculas aquirales a veces forman cristales quirales, pero las moléculas quirales siempre los forman en alguno de los grupos espaciales que lo permiten.

Entre los 65 grupos de Sohncke, 22 se presentan en 11 pares enantiomórficos .

Combinaciones

En un grupo espacial, solo son posibles ciertas combinaciones de elementos de simetría. Las traslaciones siempre están presentes, y el grupo espacial P1 solo tiene traslaciones y el elemento identidad. La presencia de simetrías implica también planos de deslizamiento, y la presencia de ejes de rotación implica también ejes helicoidales, pero lo contrario no es cierto. Una inversión y una simetría implican ejes helicoidales dobles, y así sucesivamente.

Notación

Existen al menos diez métodos para nombrar grupos espaciales. Algunos de estos métodos pueden asignar varios nombres diferentes al mismo grupo espacial, por lo que en total hay miles de nombres diferentes.

Número
La Unión Internacional de Cristalografía publica tablas de todos los tipos de grupos espaciales y asigna a cada uno un número único del 1 al 230. La numeración es arbitraria, salvo que a los grupos con el mismo sistema cristalino o grupo puntual se les asignan números consecutivos.
Notación de símbolos internacionales
notación de Hermann-Mauguin
La notación de Hermann-Mauguin (o internacional) describe la red y algunos generadores para el grupo. Tiene una forma abreviada llamada símbolo corto internacional , que es la más utilizada en cristalografía, y generalmente consta de un conjunto de cuatro símbolos. El primero describe el centrado de la red de Bravais ( P , A , C , I , R o F ). Los siguientes tres describen la operación de simetría más prominente visible cuando se proyecta a lo largo de una de las direcciones de alta simetría del cristal. Estos símbolos son los mismos que se usan en los grupos puntuales , con la adición de planos de deslizamiento y eje helicoidal, descritos anteriormente. A modo de ejemplo, el grupo espacial del cuarzo es P3 1 21, lo que muestra que exhibe centrado primitivo del motivo (es decir, una vez por celda unitaria), con un eje helicoidal triple y un eje de rotación doble. Nótese que no contiene explícitamente el sistema cristalino , aunque este es único para cada grupo espacial (en el caso de P3 1 21 , es trigonal).
En el símbolo internacional abreviado, el primer símbolo (3 1 en este ejemplo) indica la simetría a lo largo del eje mayor (eje c en los casos trigonales), el segundo (2 en este caso) a lo largo de los ejes de importancia secundaria (a y b), y el tercer símbolo la simetría en otra dirección. En el caso trigonal también existe un grupo espacial P3 1 12. En este grupo espacial, los ejes de simetría binarios no están alineados con los ejes a y b, sino en una dirección rotada 30°.
Los símbolos internacionales y los símbolos abreviados internacionales de algunos grupos espaciales se modificaron ligeramente entre 1935 y 2002, por lo que varios grupos espaciales utilizan 4 símbolos internacionales diferentes.

Las direcciones de visualización de los 7 sistemas cristalinos se muestran a continuación.

notación de Hall
Notación de grupo espacial con origen explícito. Los símbolos de rotación, traslación y dirección de ejes están claramente separados y los centros de inversión están definidos explícitamente. La construcción y el formato de la notación la hacen particularmente adecuada para la generación computacional de información de simetría. Por ejemplo, el grupo número 3 tiene tres símbolos de Hall: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1). [ 10 ]
Notación de Schönflies
Los grupos espaciales con un grupo puntual dado se numeran del 1 al 3 (en el mismo orden que su número internacional) y este número se añade como superíndice al símbolo de Schönflies para el grupo puntual. Por ejemplo, los grupos del 3 al 5 cuyo grupo puntual es C2 tienen los símbolos de Schönflies C12 , C22 , C32 .
notación de Fedorov
Símbolo de Shubnikov
Designación Strukturbericht
Una notación relacionada para estructuras cristalinas dada una letra y un índice: Algunas designaciones de estructura comparten los mismos grupos espaciales. Por ejemplo, el grupo espacial 225 es A 1 , B 1 , y C 1 . El grupo espacial 221 es A h , y B 2 . [ 11 ] Sin embargo, los cristalógrafos no usarían la notación Strukturbericht para describir el grupo espacial, sino que se usaría para describir una estructura cristalina específica (por ejemplo, grupo espacial + disposición atómica (motivo)).
Notación de orbifold (2D)
Notación de fibrillas (3D)
Describe el orbifold , dado por el cociente del espacio euclidiano por el grupo espacial, en lugar de los generadores del grupo espacial. Fue introducido por Conway y Thurston , y no se utiliza mucho fuera de las matemáticas. Algunos grupos espaciales tienen varios fibrilfolds diferentes asociados, por lo que tienen varios símbolos de fibrilfold diferentes.
Notación de Coxeter
Grupos de simetría espacial y puntual, representados como modificaciones de los grupos de Coxeter puramente reflexivos .
Notación geométrica
Una notación de álgebra geométrica . [ 12 ]

Sistemas de clasificación

Existen al menos diez formas diferentes de clasificar los grupos espaciales en clases. Las relaciones entre algunas de ellas se describen en la siguiente tabla. Cada sistema de clasificación es un refinamiento de los que se encuentran debajo. Para comprender una explicación aquí presentada, puede ser necesario comprender la siguiente.

Otra clasificación de los grupos espaciales se denomina notación de fibrillas , según las estructuras de fibrillas en el orbifold correspondiente . Los 219 grupos espaciales afines se dividen en grupos reducibles e irreducibles. Los grupos reducibles se dividen en 17 clases que corresponden a los 17 grupos de papel tapiz , y los 35 grupos irreducibles restantes son los mismos que los grupos cúbicos y se clasifican por separado. [ 14 ]

En otras dimensiones

Los teoremas de Bieberbach

En n dimensiones, un grupo espacial afín, o grupo de Bieberbach , es un subgrupo discreto de isometrías del espacio euclidiano n -dimensional con un dominio fundamental compacto. Bieberbach demostró que el subgrupo de traslaciones de cualquier grupo de este tipo contiene n traslaciones linealmente independientes, y es un subgrupo abeliano libre de índice finito, y también es el único subgrupo abeliano normal maximal. También demostró que en cualquier dimensión n solo hay un número finito de posibilidades para la clase de isomorfismo del grupo subyacente de un grupo espacial, y además la acción del grupo sobre el espacio euclidiano es única salvo conjugación por transformaciones afines. [ 15 ] [ 16 ] Esto responde a parte del decimoctavo problema de Hilbert . Se demostró que, a la inversa, cualquier grupo que sea la extensión de Z n por un grupo finito que actúa fielmente es un grupo espacial afín . [ 17 ] La combinación de estos resultados muestra que clasificar grupos espaciales en n dimensiones hasta la conjugación mediante transformaciones afines es esencialmente lo mismo que clasificar clases de isomorfismo para grupos que son extensiones de Z n por un grupo finito que actúa fielmente.

En los teoremas de Bieberbach es esencial suponer que el grupo actúa como isometrías; los teoremas no se generalizan a grupos cocompactos discretos de transformaciones afines del espacio euclidiano. Un contraejemplo lo proporciona el grupo de Heisenberg tridimensional de los enteros que actúa mediante traslaciones sobre el grupo de Heisenberg de los reales, identificado con el espacio euclidiano tridimensional. Este es un grupo cocompacto discreto de transformaciones afines del espacio, pero no contiene un subgrupo Z 3 .

Clasificación en dimensiones pequeñas

Esta tabla muestra el número de tipos de grupos espaciales en dimensiones pequeñas, incluyendo el número de diversas clases de grupos espaciales. El número de pares enantiomórficos se indica entre paréntesis.

  1. ↑ Grupo trivial
  2. ↑ Uno es el grupo de los enteros y el otro es el grupo diedral infinito ; véase grupos de simetría en una dimensión .
  3. ↑ Estos grupos de espacio 2D también se denominan grupos de papel tapiz o grupos de planos .
  4. ↑ En 3D, existen 230 tipos de grupos espaciales cristalográficos, que se reducen a 219 tipos de grupos espaciales afines debido a que algunos tipos difieren de su imagen especular; se dice que estos difieren por carácter enantiomórfico (por ejemplo, P3 1 12 y P3 2 12). Generalmente, el término grupo espacial se refiere a 3D. Fueron enumerados independientemente por múltiples investigadores. [ 8 ] [ 5 ] [ 18 ]
  5. ↑ Los 4894 grupos de 4 dimensiones se han enumerado (y corregido) con el tiempo; originalmente se enumeraron 4895 debido a la presencia de un grupo enantiomórfico de más. [ 19 ] [ 20 ]
  6. ↑ La dimensión 5 se enumeró primero. [ 21 ] Posteriormente se contaron los enantiomorfos. [ 22 ]
  7. ↑ La enumeración de dimensión 6 se completó primero; posteriormente se encontraron las cifras corregidas. [ 21 ] [ 23 ] El número inicialmente publicado de 826 tipos de retículos en [ 24 ] se corrigió a 841. [ 25 ] [ 26 ]

Grupos magnéticos e inversión temporal

Además de los grupos espaciales cristalográficos, también existen grupos espaciales magnéticos (también llamados grupos cristalográficos de dos colores (blanco y negro) o grupos de Shubnikov ). Estas simetrías contienen un elemento conocido como inversión temporal. Tratan el tiempo como una dimensión adicional, y los elementos del grupo pueden incluir la inversión temporal como una reflexión en ella. Son importantes en estructuras magnéticas que contienen espines no apareados ordenados, es decir, estructuras ferro- , ferri- o antiferromagnéticas , como se estudia mediante difracción de neutrones . El elemento de inversión temporal invierte un espín magnético mientras que el resto de la estructura permanece igual, y puede combinarse con varios otros elementos de simetría. Incluyendo la inversión temporal, hay 1651 grupos espaciales magnéticos en 3D. [ 27 ] También ha sido posible construir versiones magnéticas para otras dimensiones globales y de red. [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] Los grupos de friso son grupos de línea magnéticos 1D y los grupos de capa son grupos de papel tapiz magnético, y los grupos puntuales axiales 3D son grupos puntuales magnéticos 2D. Número de grupos originales y magnéticos por dimensión (general, reticular): [ 31 ] [ 32 ]

Tabla de grupos espaciales en 2 dimensiones (grupos de papel tapiz)

Tabla de los grupos de papel tapiz utilizando la clasificación de los grupos espaciales bidimensionales:

Para cada clase geométrica, las posibles clases aritméticas son:

  • Ninguno: sin líneas de reflexión
  • A lo largo de: líneas de reflexión a lo largo de las direcciones de la red
  • Entre: líneas de reflexión a medio camino entre las direcciones de la red
  • Ambas: líneas de reflexión tanto a lo largo como entre las direcciones de la red

Tabla de grupos espaciales en 3 dimensiones

Nota: Un plano e es un plano de deslizamiento doble, es decir, uno que tiene deslizamientos en dos direcciones diferentes. Se encuentran en siete grupos espaciales ortorrómbicos, cinco tetragonales y cinco cúbicos, todos con red centrada. El uso del símbolo e se oficializó alrededor del año 2002. [ 2 ]

El sistema reticular se puede determinar de la siguiente manera. Si el sistema cristalino no es trigonal, el sistema reticular es del mismo tipo. Si el sistema cristalino es trigonal, el sistema reticular es hexagonal, a menos que el grupo espacial sea uno de los siete del sistema reticular romboédrico, que consta de los siete grupos espaciales trigonales de la tabla anterior cuyos nombres comienzan con R. (El término sistema romboédrico también se usa a veces como nombre alternativo para todo el sistema trigonal). El sistema reticular hexagonal es mayor que el sistema cristalino hexagonal y consta del sistema cristalino hexagonal junto con los 18 grupos del sistema cristalino trigonal, excepto los siete cuyos nombres comienzan con R.

La red de Bravais del grupo espacial se determina mediante el sistema de red junto con la letra inicial de su nombre, que para los grupos no romboédricos es P, I, F, A o C, que representan las redes principal, centrada en el cuerpo, centrada en las caras, centrada en la cara A o centrada en la cara C. Existen siete grupos espaciales romboédricos, cuya letra inicial es R.

Derivación de la clase cristalina a partir del grupo espacial

  1. Deja de lado el tipo Bravais.
  2. Convierta todos los elementos de simetría con componentes de traslación en sus respectivos elementos de simetría sin simetría de traslación (los planos de deslizamiento se convierten en planos de simetría simples; los ejes helicoidales se convierten en ejes de rotación simples).
  3. Los ejes de rotación, los ejes de rotoinversión y los planos de simetría permanecen inalterados.

Referencias

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  • Información del Grupo Espacial (nueva)
  • Estructuras de la red cristalina: Índice por grupo espacial
  • Lista completa de 230 grupos espaciales cristalográficos
  • Visualización interactiva en 3D de los 230 grupos espaciales cristalográficos. Archivado el 18 de abril de 2021 en Wayback Machine.