Armónicos sólidos

En física y matemáticas , los armónicos sólidos son soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas polares esféricas , que se suponen funciones (suaves). $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ . Hay dos tipos: los armónicos sólidos regulares $R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )$ , que están bien definidos en el origen y los armónicos sólidos irregulares $I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )$ , que son singulares en el origen. Ambos conjuntos de funciones desempeñan un papel importante en la teoría del potencial y se obtienen reescalando adecuadamente los armónicos esféricos : $R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi)$ $I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi )}{r^{\ell +1}}}$

Derivación, relación con los armónicos esféricos

Introduciendo $r$ , $θ$ y $φ$ para las coordenadas polares esféricas del 3-vector $r$ , y suponiendo que $\Phi$ es una función (suave) $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ Podemos escribir la ecuación de Laplace de la siguiente forma: $\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r-{\frac {{\hat {L}}^{2}}{r^{2}}}\right)\Phi (\mathbf {r} )=0,\qquad \mathbf {r} \neq \mathbf {0} ,$ donde $L 2$ es el cuadrado del operador de momento angular adimensional , $\mathbf {\hat {L}} =-i\,(\mathbf {r} \times \mathbf {\nabla } ).$

Se sabe que los armónicos esféricos $Y m ℓ$ son autofunciones de $L 2$ : ${\hat {L}}^{2}Y_{\ell }^{m}\equiv \left[{\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}.$

La sustitución de $Φ(r) = F (r) Y m ℓ$ en la ecuación de Laplace da, después de dividir la función armónica esférica , la siguiente ecuación radial y su solución general,

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}rF(r)={\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}F(r)\Longrightarrow F(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -1}.$

Las soluciones particulares de la ecuación de Laplace total son armónicos sólidos regulares : $R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi),$ y armónicos sólidos irregulares : $I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi )}{r^{\ell +1}}}.$ Los armónicos sólidos regulares corresponden a polinomios homogéneos armónicos , es decir, polinomios homogéneos que son soluciones de la ecuación de Laplace .

Normalización de Racah

La normalización de Racah (también conocida como seminormalización de Schmidt) se aplica a ambas funciones. $\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )^{*}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}r^{2\ell }$ (y de forma análoga para el armónico sólido irregular) en lugar de la normalización a la unidad. Esto resulta conveniente porque en muchas aplicaciones el factor de normalización de Racah permanece invariable a lo largo de las derivaciones.

Teoremas de la suma

La traslación del armónico sólido regular da como resultado una expansión finita, ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu$ donde el coeficiente de Clebsch-Gordan viene dado por ${\displaystyle \langle \lambda ,\mu$

La expansión similar para armónicos sólidos irregulares da una serie infinita , ${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\infty }{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu$ con $|r|\leq |a|\,$ . La cantidad entre corchetes angulares es nuevamente un coeficiente de Clebsch-Gordan , ${\displaystyle \langle \lambda ,\mu$

Los teoremas de adición fueron demostrados de diferentes maneras por varios autores. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Forma compleja

Los armónicos sólidos regulares son soluciones polinómicas homogéneas de la ecuación de Laplace. $\Delta R=0$ . Separando lo indeterminado $z$ y escritura ${\textstyle R=\sum _{a}p_{a}(x,y)z^{a}}$ La ecuación de Laplace se ve fácilmente que es equivalente a la fórmula de recurrencia. $p_{a+2}={\frac {-\left(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}\right)p_{a}}{\left(a+2\right)\left(a+1\right)}}$ de modo que cualquier elección de polinomios $p_{0}(x,y)$ de grado $\ell$ y $p_{1}(x,y)$ de grado $\ell -1$ proporciona una solución a la ecuación. Una base particular del espacio de polinomios homogéneos (en dos variables) de grado $k$ es $\left\{(x^{2}+y^{2})^{m}(x\pm iy)^{k-2m}\mid 0\leq m\leq k/2\right\}$ Nótese que es la base (única salvo normalización) de autovectores del grupo de rotación. $SO(2)$ : La rotación $\rho _{\alpha }$ del avión por $\alpha \in [0,2\pi ]$ actúa como multiplicación por $e^{\pm i(k-2m)\alpha }$ sobre el vector base $(x^{2}+y^{2})^{m}(x+iy)^{k-2m}$ .

Si combinamos el grado $\ell$ base y grado $\ell -1$ base con la fórmula de recursión, obtenemos una base del espacio de polinomios armónicos y homogéneos (en tres variables esta vez) de grado $\ell$ que consta de autovectores para $SO(2)$ (tenga en cuenta que la fórmula de recursión es compatible con la $SO(2)$ -acción porque el operador de Laplace es invariante rotacionalmente). Estos son los armónicos sólidos complejos: ${\begin{aligned}R_{\ell }^{\pm \ell }&=(x\pm iy)^{\ell }z^{0}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -1)}&=(x\pm iy)^{\ell -1}z^{1}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -2)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -3)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -4)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}z^{4}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -5)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}z^{5}\\&\;\,\vdots \end{aligned}}$ y en general $R_{\ell }^{\pm m}={\begin{cases}\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}&\ell -m{\text{ is even}}\\\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -1-m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}&\ell -m{\text{ is odd}}\end{cases}}$ para $0\leq m\leq \ell$ .

Introducir coordenadas esféricas $x=r\cos(\theta )\sin(\varphi )$ , $y=r\sin(\theta )\sin(\varphi )$ , $z=r\cos(\varphi )$ y utilizando $x^{2}+y^{2}=r^{2}\sin(\varphi )^{2}=r^{2}(1-\cos(\varphi )^{2})$ Se encuentra la relación habitual con los armónicos esféricos. $R_{\ell }^{m}=r^{\ell }e^{im\phi }P_{\ell }^{m}(\cos(\vartheta ))$ con un polinomio $P_{\ell }^{m}$ , que es (salvo normalización) el polinomio de Legendre asociado , y por lo tanto $R_{\ell }^{m}=r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ (de nuevo, dependiendo de la elección específica de la normalización).

Forma real

Mediante una simple combinación lineal de armónicos sólidos de $\pm m,$ estas funciones se transforman en funciones reales, es decir, funciones $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ Los armónicos sólidos regulares reales, expresados en coordenadas cartesianas, son polinomios homogéneos de valor real de orden $\ell$ en x , y , z . La forma explícita de estos polinomios es importante. Aparecen, por ejemplo, en forma de orbitales atómicos esféricos y momentos multipolares reales . A continuación, se derivará la expresión cartesiana explícita de los armónicos regulares reales.

Combinación lineal

Escribimos de acuerdo con la definición anterior. $R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,$ con $\Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,$ dónde $P_{\ell }(\cos \theta )$ es un polinomio de Legendre de orden $ℓ$ . La fase dependiente $de m$ se conoce como la fase de Condon-Shortley .

La siguiente expresión define los armónicos sólidos regulares reales: ${\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.$ y para $m = 0$ : $C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.$ Dado que la transformación se realiza mediante una matriz unitaria, la normalización de los armónicos sólidos reales y complejos es la misma.

parte dependiente de z

Al escribir $u = cos θ,$ la $m$ -ésima derivada del polinomio de Legendre se puede escribir como la siguiente expansión en $u.$ ${\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}$ con $\gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.$ Dado que $z = r cos θ,$ se deduce que esta derivada, multiplicada por una potencia apropiada de $r$ , es un polinomio simple en $z$ , $\Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.$

parte dependiente de ( x , y )

Consideremos a continuación, recordando que $x = r sen θ cos φ$ y $y = r sen θ sen φ$ , $r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]$ Asimismo $r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].$ Más $A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}$ y $B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.$

En total

$C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots ,\ell$ $S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots ,\ell .$

Lista de funciones más bajas

Enumeramos explícitamente las funciones más bajas hasta $ℓ = 5$ inclusive . Aquí ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)\equiv \left[{\tfrac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z).$

${\begin{aligned}{\bar {\Pi }}_{0}^{0}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{1}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}(5z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{4}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {35}}\\{\bar {\Pi }}_{1}^{0}&=z&{\bar {\Pi }}_{3}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{0}&={\frac {1}{8}}z(63z^{4}-70z^{2}r^{2}+15r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{1}^{1}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {10}}&{\bar {\Pi }}_{5}^{1}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {15}}(21z^{4}-14z^{2}r^{2}+r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{0}&={\frac {1}{8}}(35z^{4}-30r^{2}z^{2}+3r^{4})&{\bar {\Pi }}_{5}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {105}}(3z^{2}-r^{2})z\\{\bar {\Pi }}_{2}^{1}&={\sqrt {3}}z&{\bar {\Pi }}_{4}^{1}&={\frac {\sqrt {10}}{4}}z(7z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{3}&={\frac {1}{16}}{\sqrt {70}}(9z^{2}-r^{2})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\bar {\Pi }}_{4}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}(7z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{4}&={\frac {3}{8}}{\sqrt {35}}z\\{\bar {\Pi }}_{3}^{0}&={\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {70}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{5}&={\frac {3}{16}}{\sqrt {14}}\\\end{aligned}}$

Las funciones más bajas $A_{m}(x,y)\,$ y $B_{m}(x,y)\,$ son:

Referencias

↑ RJA Tough y AJ Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10 , p. 1261 (1977)
↑ MJ Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11 , p. L23 (1978)

Steinborn, EO; Ruedenberg, K. (1973). «Rotación y traslación de armónicos esféricos sólidos regulares e irregulares». En Lowdin, Per-Olov (ed.). Avances en química cuántica . Vol. 7. Academic Press. pp. 1–82 . ISBN 9780080582320.
Thompson, William J. (2004). Momento angular: una guía ilustrada de simetrías rotacionales para sistemas físicos . Weinheim: Wiley-VCH. pp. 143–148 . ISBN 9783527617838.

[1] RJA Tough y AJ Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10 , p. 1261 (1977)

[2] MJ Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11 , p. L23 (1978)

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