Conjunto sólido

En matemáticas, específicamente en teoría del orden y análisis funcional , un subconjunto${\displaystyle S}$de una red vectorial${\displaystyle X}$Se dice que es sólido y se le llama ideal si para todo${\displaystyle s\in S}$y${\displaystyle x\in X,}$si${\displaystyle |x|\leq |s|}$entonces${\displaystyle x\in S.}$Se dice que un espacio vectorial ordenado cuyo orden es arquimediano es arquimediano ordenado . ^{[ 1 ]} Si${\displaystyle S\subsetequ X}$entonces el ideal generado por${\displaystyle S}$es el ideal más pequeño en${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle S.}$ Un ideal generado por un conjunto unitario se denomina ideal principal en${\displaystyle X.}$

La intersección de una colección arbitraria de ideales en${\displaystyle X}$es nuevamente un ideal y además,${\displaystyle X}$es claramente un ideal en sí mismo. Por lo tanto, cada subconjunto de${\displaystyle X}$está contenido en un ideal único y mínimo.

En una red vectorial localmente convexa${\displaystyle X,}$El polo de cada vecindario sólido del origen es un subconjunto sólido del espacio dual continuo.${\displaystyle X^{\prime }}$; además, la familia de todos los subconjuntos sólidos equicontinuos de${\displaystyle X^{\prime }}$es una familia fundamental de conjuntos equicontinuos, los polares (en bidireccional)${\displaystyle X^{\prime \prime }}$) forman una base de vecindad del origen para la topología natural en${\displaystyle X^{\prime \prime }}$(es decir, la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos de${\displaystyle X^{\prime }}$). ^{[ 2 ]}

• Un subespacio sólido de una red vectorial${\displaystyle X}$es necesariamente una subred de${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}
• Si${\displaystyle N}$es un subespacio sólido de una red vectorial${\displaystyle X}$entonces el cociente${\displaystyle X/N}$es una red vectorial (bajo el orden canónico). ^{[ 1 ]}

• Retículo vectorial : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como un retículo. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​