Ecuación

Una ecuación es análoga a una balanza , un balancín o una báscula .

Cada lado de la ecuación corresponde a un lado de la balanza: a la izquierda y a la derecha. Se pueden colocar diferentes cantidades en cada lado: si los pesos en ambos lados son iguales, la balanza se equilibra y, por analogía, la igualdad que representa la balanza también se equilibra (si no, entonces la falta de equilibrio corresponde a una desigualdad representada por una inequidad ).

En la ilustración, x , y y z son cantidades diferentes (en este caso, números reales ) representadas como pesos circulares, y cada una tiene un peso distinto. La suma corresponde a añadir peso, mientras que la resta corresponde a quitar peso de lo que ya existe. Cuando se cumple la igualdad, el peso total en ambos lados es el mismo.

Las ecuaciones suelen contener términos distintos de las incógnitas. Estos otros términos, que se suponen conocidos , se denominan generalmente constantes , coeficientes o parámetros .

Un ejemplo de una ecuación que involucra x e y como incógnitas y el parámetro R es

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}$

Cuando se elige R con el valor 2 ( R = 2), esta ecuación se reconoce en coordenadas cartesianas como la ecuación de un círculo de radio 2 alrededor del origen. Por lo tanto, la ecuación con R no especificado es la ecuación general del círculo.

Generalmente, las incógnitas se denotan con letras al final del alfabeto, x , y , z , w , ..., mientras que los coeficientes (parámetros) se denotan con letras al principio, a , b , c , d , ... . Por ejemplo, la ecuación cuadrática general se suele escribir ^como ax² + bx + c = 0.      

El proceso de encontrar las soluciones, o, en el caso de parámetros, expresar las incógnitas en función de los parámetros, se denomina resolución de la ecuación . Dichas expresiones de las soluciones en función de los parámetros también se denominan soluciones .

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones simultáneas , generalmente con varias incógnitas, para las cuales se buscan soluciones comunes. Por lo tanto, una solución al sistema es un conjunto de valores para cada una de las incógnitas, que en conjunto forman una solución para cada ecuación del sistema. Por ejemplo, el sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}}$

tiene la solución única x  =  −1, y  =  1.

Una identidad es una ecuación que se cumple para todos los valores posibles de la(s) variable(s) que contiene. En álgebra y cálculo se conocen muchas identidades. Al resolver una ecuación, a menudo se utiliza una identidad para simplificarla, facilitando así su solución.

En álgebra, un ejemplo de identidad es la diferencia de dos cuadrados :

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(xy)}$

lo cual es cierto para todos los valores de x e y .

La trigonometría es un área donde existen muchas identidades; estas son útiles para manipular o resolver ecuaciones trigonométricas . Dos de las muchas que involucran las funciones seno y coseno son:

${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$

y

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}$

que son ambas ciertas para todos los valores de θ .

Por ejemplo, para hallar el valor de θ que satisface la ecuación:

${\displaystyle 3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,}$

donde θ está limitado entre 0 y 45 grados, se puede utilizar la identidad anterior para el producto para obtener:

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,}$

lo que da como resultado la siguiente solución para θ:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.}$

Dado que la función seno es periódica , existen infinitas soluciones si no hay restricciones sobre θ . En este ejemplo, restringir θ al rango de 0 a 45 grados limitaría la solución a un solo valor.

En general, una ecuación algebraica o polinómica es una ecuación de la forma

${\displaystyle P=0}$, o

${\displaystyle P=Q}$^{[ a ]}

donde P y Q son polinomios con coeficientes en algún campo (por ejemplo, números racionales , números reales , números complejos ). Una ecuación algebraica es univariada si involucra solo una variable . Por otro lado, una ecuación polinómica puede involucrar varias variables, en cuyo caso se denomina multivariada (múltiples variables, x, y, z, etc.).

Por ejemplo,

${\displaystyle x^{5}-3x+1=0}$

es una ecuación algebraica (polinómica) univariada con coeficientes enteros y

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

es una ecuación polinómica multivariable sobre los números racionales.

Algunas ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales tienen una solución que es una expresión algebraica , con un número finito de operaciones que involucran solo esos coeficientes (es decir, se pueden resolver algebraicamente ). Esto se puede hacer para todas las ecuaciones de grado uno, dos, tres o cuatro; pero las ecuaciones de grado cinco o superior no siempre se pueden resolver de esta manera, como lo demuestra el teorema de Abel-Ruffini .

Se ha dedicado una gran cantidad de investigación a calcular aproximaciones precisas y eficientes de las soluciones reales o complejas de una ecuación algebraica univariada (véase Búsqueda de raíces de polinomios ) y de las soluciones comunes de varias ecuaciones polinómicas multivariadas (véase Sistema de ecuaciones polinómicas ).

Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal ) es una colección de ecuaciones lineales que involucran una o más variables . ^{[ b ]} Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}$

es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x , y , z . Una solución a un sistema lineal es una asignación de números a las variables tal que todas las ecuaciones se satisfacen simultáneamente. Una solución al sistema anterior viene dada por

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}}$

ya que hace válidas las tres ecuaciones. La palabra " sistema " indica que las ecuaciones deben considerarse en conjunto, en lugar de individualmente.

En matemáticas, la teoría de sistemas lineales es una parte fundamental del álgebra lineal , una disciplina que se utiliza en muchas ramas de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para hallar soluciones constituyen una parte importante del álgebra lineal numérica y desempeñan un papel destacado en física , ingeniería , química , informática y economía . Un sistema de ecuaciones no lineales a menudo puede aproximarse mediante un sistema lineal (véase linealización ), una técnica útil para crear un modelo matemático o una simulación por ordenador de un sistema relativamente complejo.

En geometría euclidiana , es posible asociar un conjunto de coordenadas a cada punto del espacio, por ejemplo, mediante una cuadrícula ortogonal. Este método permite caracterizar figuras geométricas mediante ecuaciones. Un plano en el espacio tridimensional puede expresarse como el conjunto solución de una ecuación de la forma${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$, dónde${\displaystyle a,b,c}$y${\displaystyle d}$son números reales y${\displaystyle x,y,z}$son las incógnitas que corresponden a las coordenadas de un punto en el sistema dado por la cuadrícula ortogonal. Los valores${\displaystyle a,b,c}$son las coordenadas de un vector perpendicular al plano definido por la ecuación. Una línea se expresa como la intersección de dos planos, es decir, como el conjunto solución de una única ecuación lineal con valores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$o como el conjunto solución de dos ecuaciones lineales con valores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Una sección cónica es la intersección de un cono con ecuación${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$y un plano. En otras palabras, en el espacio, todas las cónicas se definen como el conjunto solución de la ecuación de un plano y de la ecuación de un cono dada anteriormente. Este formalismo permite determinar las posiciones y las propiedades de los focos de una cónica.

El uso de ecuaciones permite recurrir a un amplio campo de las matemáticas para resolver problemas geométricos. El sistema de coordenadas cartesianas transforma un problema geométrico en un problema de análisis, una vez que las figuras se convierten en ecuaciones; de ahí el nombre de geometría analítica . Este punto de vista, esbozado por Descartes , enriquece y modifica el tipo de geometría concebida por los antiguos matemáticos griegos.

Actualmente, la geometría analítica constituye una rama activa de las matemáticas. Si bien aún utiliza ecuaciones para caracterizar figuras, también emplea otras técnicas sofisticadas como el análisis funcional y el álgebra lineal .

En geometría cartesiana , se utilizan ecuaciones para describir figuras geométricas . Dado que las ecuaciones consideradas, como las ecuaciones implícitas o paramétricas , tienen infinitas soluciones, el objetivo cambia: en lugar de expresar las soluciones explícitamente o contarlas, lo cual es imposible, se utilizan ecuaciones para estudiar las propiedades de las figuras. Esta es la idea inicial de la geometría algebraica , un área importante de las matemáticas.

Se puede utilizar el mismo principio para especificar la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional mediante el uso de tres coordenadas cartesianas, que son las distancias con signo a tres planos mutuamente perpendiculares (o, equivalentemente, mediante su proyección perpendicular sobre tres líneas mutuamente perpendiculares).

La invención de las coordenadas cartesianas en el siglo XVII por René Descartes revolucionó las matemáticas al proporcionar el primer vínculo sistemático entre la geometría euclidiana y el álgebra . Utilizando el sistema de coordenadas cartesianas, las figuras geométricas (como las curvas ) pueden describirse mediante ecuaciones cartesianas: ecuaciones algebraicas que involucran las coordenadas de los puntos que se encuentran en la figura. Por ejemplo, un círculo de radio 2 en un plano, centrado en un punto particular llamado origen, puede describirse como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas ^x e y satisfacen la ecuación x² + y² ⁼ 4 .

Una ecuación paramétrica para una curva expresa las coordenadas de los puntos de la curva como funciones de una variable , llamada parámetro . ^{[ 8 ] [ 9 ]} Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}$

son ecuaciones paramétricas para el círculo unitario , donde t es el parámetro. En conjunto, estas ecuaciones se denominan representación paramétrica de la curva.

La noción de ecuación paramétrica se ha generalizado a superficies , variedades y variedades algebraicas de dimensión superior , donde el número de parámetros es igual a la dimensión de la variedad o variedad, y el número de ecuaciones es igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad o variedad (para curvas la dimensión es uno y se utiliza un parámetro, para superficies la dimensión es dos y se utilizan dos parámetros, etc.).

Una ecuación diofántica es una ecuación polinómica con dos o más incógnitas cuyas soluciones se componen únicamente de términos enteros . Una ecuación diofántica lineal es una ecuación que relaciona dos sumas de monomios de grado cero o uno. Un ejemplo de ecuación diofántica lineal es ax² + by² = c² , donde a , b y c son constantes. Una ecuación diofántica exponencial es aquella cuyos exponentes pueden ser incógnitas.

Los problemas diofánticos tienen menos ecuaciones que variables desconocidas e implican encontrar números enteros que satisfagan todas las ecuaciones. En términos más técnicos, definen una curva algebraica , una superficie algebraica o un objeto más general, y preguntan sobre los puntos de la red de números enteros que se encuentran en ella.

El término diofántico hace referencia al matemático helenístico del siglo III, Diofanto de Alejandría , quien estudió este tipo de ecuaciones y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo en el álgebra . El estudio matemático de los problemas diofánticos que inició Diofanto se conoce actualmente como análisis diofántico.

Un número algebraico es aquel que es solución de una ecuación polinómica no nula en una variable con coeficientes racionales (o, equivalentemente, eliminando los denominadores , con coeficientes enteros ). Los números como π , que no son algebraicos, se denominan trascendentales . Casi todos los números reales y complejos son trascendentales.

La geometría algebraica es una rama de las matemáticas que, clásicamente, estudia las soluciones de ecuaciones polinómicas . La geometría algebraica moderna se basa en técnicas más abstractas del álgebra abstracta , especialmente el álgebra conmutativa , utilizando el lenguaje y los problemas de la geometría .

Los objetos fundamentales de estudio en geometría algebraica son las variedades algebraicas , que son manifestaciones geométricas de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas . Ejemplos de las clases más estudiadas de variedades algebraicas son: curvas algebraicas planas , que incluyen rectas , círculos , parábolas , elipses , hipérbolas , curvas cúbicas como las elípticas y curvas cuárticas como las lemniscatas , y óvalos de Cassini . Un punto del plano pertenece a una curva algebraica si sus coordenadas satisfacen una ecuación polinómica dada. Las cuestiones básicas implican el estudio de puntos de especial interés, como los puntos singulares , los puntos de inflexión y los puntos en el infinito . Las cuestiones más avanzadas implican la topología de la curva y las relaciones entre las curvas dadas por diferentes ecuaciones.

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación que contiene una función de una variable independiente y sus derivadas. El término " ordinaria " se utiliza en contraposición al término ecuación diferencial parcial , que puede referirse a más de una variable independiente.

Las ecuaciones diferenciales lineales, cuyas soluciones pueden sumarse y multiplicarse por coeficientes, están bien definidas y se comprenden fácilmente, y se obtienen soluciones exactas en forma cerrada. Por el contrario, las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) que carecen de soluciones aditivas son no lineales, y su resolución es mucho más compleja, ya que rara vez pueden representarse mediante funciones elementales en forma cerrada. En cambio, las soluciones exactas y analíticas de las EDO se presentan en forma de series o integrales. Los métodos gráficos y numéricos , aplicados manualmente o por ordenador, pueden aproximar las soluciones de las EDO y, posiblemente, proporcionar información útil, a menudo suficiente en ausencia de soluciones analíticas exactas.

Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación diferencial que contiene funciones multivariables desconocidas y sus derivadas parciales . (Esto contrasta con las ecuaciones diferenciales ordinarias , que tratan con funciones de una sola variable y sus derivadas). Las EDP se utilizan para formular problemas que involucran funciones de varias variables y se resuelven manualmente o se utilizan para crear un modelo informático relevante .

Las EDP se pueden utilizar para describir una amplia variedad de fenómenos como el sonido , el calor , la electrostática , la electrodinámica , el flujo de fluidos , la elasticidad o la mecánica cuántica . Estos fenómenos físicos, aparentemente distintos, pueden formalizarse de manera similar mediante EDP. Así como las ecuaciones diferenciales ordinarias suelen modelar sistemas dinámicos unidimensionales , las ecuaciones diferenciales parciales suelen modelar sistemas multidimensionales . Las EDP encuentran su generalización en las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas .