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Articulo de referencia

cono de solvente

El cono de solvencia es un concepto utilizado en matemáticas financieras que modela las posibles transacciones en el mercado financiero . Esto resulta de particular interés para...

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El cono de solvencia es un concepto utilizado en matemáticas financieras que modela las posibles transacciones en el mercado financiero . Esto resulta de particular interés para los mercados con costes de transacción . Específicamente, se trata del cono convexo de carteras que pueden intercambiarse por carteras con componentes no negativos (incluido el pago de cualquier coste de transacción).

Fundamento matemático

Si se le da una matriz de oferta-demandaΠ{\displaystyle \Pi }parad{\displaystyle d}activos tales queΠ=(πij)1≤i,j≤d{\displaystyle \Pi =\left(\pi ^{ij}\right)_{1\leq i,j\leq d}}ymetro≤d{\displaystyle m\leq d}es el número de activos que con cualquier cantidad no negativa de ellos pueden ser "descartados" (tradicionalmentemetro=d{\displaystyle m=d}), entonces el cono de solvenciaK(Π)⊂Rd{\displaystyle K(\Pi )\subset \mathbb {R} ^{d}}es el cono convexo generado por los vectores unitariosmii,1≤i≤metro{\displaystyle e^{i},1\leq i\leq m}y los vectoresπijmii−mij,1≤i,j≤d{\displaystyle \pi ^{ij}e^{i}-e^{j},1\leq i,j\leq d}. [ 1 ]

Definición

Un cono de solvenciaK{\displaystyle K}es cualquier cono convexo cerrado tal queK⊆Rd{\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{d}}yK⊇R+d{\displaystyle K\supseteq \mathbb {R} _{+}^{d}}. [ 2 ]

Usos

Un proceso de conos de solvencia (aleatorios){Kt(ω)}t=0T{\displaystyle \left\{K_{t}(\omega )\right\}_{t=0}^{T}}es un modelo de mercado financiero. A esto a veces se le llama proceso de mercado .

El negativo de un cono de solvencia es el conjunto de carteras que se pueden obtener partiendo de la cartera cero. Esto está íntimamente relacionado con las carteras autofinanciadas .

El cono dual del cono de solvencia (K+={w∈Rd:∀v∈K:0≤wTv}{\displaystyle K^{+}=\left\{w\in \mathbb {R} ^{d}:\forall v\in K:0\leq w^{T}v\right\}}) son el conjunto de precios que definirían un sistema de precios sin fricciones para los activos que sea consistente con el mercado. Esto también se denomina sistema de precios consistente . [ 1 ] [ 3 ]

Ejemplos

Cono de solvencia sin costes de transacción
Cono de solvencia de muestra sin costes de transacción
Cono de solvencia con costes de transacción
Ejemplo de cono de solvencia con costes de transacción

Supongamos que hay 2 activos, A y M, con la posibilidad de un intercambio 1 a 1.

Mercado sin fricciones

En un mercado sin fricciones , obviamente podemos hacer que (1A,-1M) y (-1A,1M) sean carteras no negativas, por lo tantoK={incógnita∈R2:(1,1)incógnita≥0}{\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:(1,1)x\geq 0\}}. Nótese que (1,1) es el "vector de precios".

Con costes de transacción

Supongamos además que hay un 50% de costos de transacción para cada operación. Esto significa que (1A,-1M) y (-1A,1M) no se pueden intercambiar en carteras no negativas. Pero, (2A,-1M) y (-1A,2M) sí se pueden intercambiar en carteras no negativas. Se puede observar queK={incógnita∈R2:(2,1)incógnita≥0,(1,2)incógnita≥0}{\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:(2,1)x\geq 0,(1,2)x\geq 0\}}.

El doble cono de precios se visualiza más fácilmente en términos de precios de A en términos de M (y de forma similar se hace para el precio de M en términos de A):

  • Alguien ofrece 1A para tM:(0,t)→(1,0)→(0,12){\displaystyle (0,t)\rightarrow (1,0)\rightarrow (0,{\frac {1}{2}})}por lo tanto hay arbitraje sit<12{\displaystyle t<{\frac {1}{2}}}
  • Alguien ofrece tM por 1A:(1,0)→(0,t)→(t2,0){\displaystyle (1,0)\rightarrow (0,t)\rightarrow ({\frac {t}{2}},0)}por lo tanto hay arbitraje sit>2{\displaystyle t>2}

Propiedades

Si un cono de solvenciaK{\displaystyle K}:

  • Si contiene una línea, entonces es posible un intercambio sin costos de transacción.
  • K=R+d{\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}^{d}}, entonces no hay intercambio posible, es decir, el mercado es completamente ilíquido .

Referencias

  1. 1 2 Schachermayer, Walter (2004). "El teorema fundamental de la fijación de precios de activos bajo costos de transacción proporcionales en tiempo discreto finito". Mathematical Finance . 14 (1): 19– 48. doi : 10.1111/j.0960-1627.2004.00180.x .
  2. ↑ Hamel, AH; Heyde, F. (2010). "Dualidad para medidas de riesgo con valores de conjunto". SIAM Journal on Financial Mathematics . 1 (1): 66– 95. CiteSeerX 10.1.1.514.8477 . doi : 10.1137/080743494 . 
  3. ↑ Löhne, Andreas; Rudloff, Birgit (2015). "Sobre el dual del cono de solvencia". Matemáticas Aplicadas Discretas . 186 : 176–185 . arXiv : 1402.2221 . doi : 10.1016/j.dam.2015.01.030 . ISSN 0166-218X . S2CID 12427504 .