Motivación teórica para la relatividad general

Para mayor claridad, consideremos una órbita terrestre circular ( línea de universo helicoidal ) de una partícula. La partícula viaja con velocidad v. Un observador en la Tierra ve que la longitud se contrae en el sistema de referencia de la partícula. Una regla que viaja con la partícula parece más corta para el observador terrestre. Por lo tanto, la circunferencia de la órbita, que está en la dirección del movimiento, parece más larga que${\displaystyle \pi }$veces el diámetro de la órbita. ^{[ 1 ]}

En la relatividad especial, la cuadrivelocidad propia de la partícula en el marco inercial (no acelerado) de la Tierra es

${\displaystyle u=\left(\gamma ,\gamma {\mathbf {v} \over c}\right)}$

donde c es la velocidad de la luz ,${\displaystyle \mathbf {v} }$es la 3-velocidad, y${\displaystyle \gamma }$es

${\displaystyle \gamma ={1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}}$.

La magnitud del vector de cuadrivelocidad es siempre constante.

${\displaystyle u_{\alpha }u^{\alpha }=-1}$

donde estamos utilizando una métrica de Minkowski

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$.

Por lo tanto, la magnitud de la cuadrivelocidad es un escalar de Lorentz .

La 4-aceleración en el sistema de referencia terrestre (no acelerado) es

${\displaystyle a\equiv {{du} \over {d\tau }}={d \over {d\tau }}{\left(\gamma ,\gamma {\mathbf {v} \over c}\right)}={\left(0,\gamma ^{2}{\mathbf {a} \over c^{2}}\right)}={\left(0,-\gamma ^{2}{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}{{\mathbf {r} } \over r^{2}}\right)}}$

dónde${\displaystyle d\tau }$es c veces el intervalo de tiempo propio medido en el sistema de referencia de la partícula. Esto se relaciona con el intervalo de tiempo en el sistema de referencia de la Tierra mediante

${\displaystyle cdt=\gamma d\tau }$.

Aquí, la aceleración 3 para una órbita circular es

${\displaystyle \mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r} =-{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{{\mathbf {r} } \over r^{2}}}$

dónde${\displaystyle \omega }$es la velocidad angular de la partícula giratoria y${\displaystyle \mathbf {r} }$es la posición 3 de la partícula.

La magnitud de la cuadrivelocidad es constante. Esto implica que la cuadriaceleración debe ser perpendicular a la cuadrivelocidad. Por lo tanto, el producto escalar de la cuadriaceleración y la cuadrivelocidad es siempre cero. El producto escalar es un escalar de Lorentz .

La ecuación para la aceleración se puede generalizar, obteniendo la ecuación geodésica.

${\displaystyle {{du^{\mu }} \over {d\tau }}-a^{\mu }=0}$

${\displaystyle {{du^{\mu }} \over {d\tau }}+{R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }u^{\alpha }x^{\nu }u^{\beta }=0}$

dónde${\displaystyle x^{\mu }}$es la posición 4 de la partícula y${\displaystyle {R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }}$es el tensor de curvatura dado por

${\displaystyle {R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }={1 \over r^{2}}\eta _{\alpha \beta }{\delta ^{\mu }}_{\nu }}$

dónde${\displaystyle {\delta ^{\mu }}_{\nu }}$es la función delta de Kronecker y tenemos las restricciones

${\displaystyle u_{\alpha }u^{\alpha }=-1}$

y

${\displaystyle a_{\alpha }u^{\alpha }=0}$.

Es fácil comprobar que las órbitas circulares satisfacen la ecuación geodésica. En realidad, la ecuación geodésica es más general. Las órbitas circulares son una solución particular de la ecuación. Otras soluciones, además de las órbitas circulares, son válidas y aceptables.

El tensor de curvatura de Ricci es un tensor de curvatura especial dado por la contracción

${\displaystyle R_{\alpha \beta }\equiv {R^{\nu }}_{\alpha \nu \beta }}$.

La traza del tensor de Ricci, llamada curvatura escalar , es

${\displaystyle R\equiv {R^{\alpha }}_{\alpha }}$.

Consideremos la situación en la que ahora hay dos partículas en órbitas polares circulares cercanas de la Tierra a un radio${\displaystyle r}$y velocidad${\displaystyle v}$.

Las partículas realizan un movimiento armónico simple alrededor de la Tierra y entre sí. Alcanzan su máxima distancia entre sí al cruzar el ecuador. Sus trayectorias se cruzan en los polos.

Imagina una nave espacial moviéndose junto con una de las partículas. El techo de la nave, el${\displaystyle {\acute {\mathbf {z} }}}$dirección, coincide con la${\displaystyle \mathbf {r} }$dirección. La parte delantera de la nave está en la${\displaystyle {\acute {\mathbf {x} }}}$dirección y la${\displaystyle {\acute {\mathbf {y} }}}$La dirección es hacia la izquierda de la nave. La nave espacial es pequeña en comparación con el tamaño de la órbita, por lo que el sistema de referencia local es un sistema de referencia de Lorentz local. La separación 4 de las dos partículas viene dada por${\displaystyle {\acute {x}}^{\mu }}$En el sistema de referencia local de la nave espacial, la ecuación geodésica viene dada por

${\displaystyle {{d^{2}{\acute {x}}^{\mu }} \over {d\tau ^{2}}}+{\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }=0}$

dónde

${\displaystyle {\acute {u}}^{\mu }={{d{\acute {x}}^{\mu }} \over {d\tau }}}$

y

${\displaystyle {\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }}$

es el tensor de curvatura en el sistema de referencia local.

La ecuación de movimiento para una partícula en el espacio-tiempo plano y en ausencia de fuerzas es

${\displaystyle {{d{u}^{\mu }} \over {d\tau }}=0}$.

Si requerimos que una partícula viaje a lo largo de una geodésica en el espaciotiempo curvo, entonces la expresión análoga en el espaciotiempo curvo es

${\displaystyle {{D{\acute {u}}^{\mu }} \over {D\tau }}={{d{\acute {u}}^{\mu }} \over {d\tau }}+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {u}}^{\beta }=0}$

donde la derivada de la izquierda es la derivada covariante , que es la generalización de la derivada normal a una derivada en el espaciotiempo curvo. Aquí

${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }}$

es un símbolo de Christoffel .

La curvatura está relacionada con el símbolo de Christoffel por

${\displaystyle {\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }={{\partial {{\Gamma }^{\mu }}}_{\alpha \beta } \over {\partial x^{\nu }}}-{{\partial {{\Gamma }^{\mu }}}_{\alpha \nu } \over {\partial x^{\beta }}}+{{\Gamma }^{\mu }}_{\gamma \nu }{{\Gamma }^{\gamma }}_{\alpha \beta }-{{\Gamma }^{\mu }}_{\gamma \beta }{{\Gamma }^{\gamma }}_{\alpha \nu }}$.

El intervalo en el marco local es

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\equiv g_{\mu \nu }d{\acute {x}}^{\mu }d{\acute {x}}^{\nu }}$

${\displaystyle =d{\acute {x}}^{2}+d{\acute {y}}^{2}+d{\acute {z}}^{2}-c^{2}d{\acute {t}}^{2}+2\gamma \cos(\theta )\cos(\phi )\,v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {x}}+2\gamma \cos(\theta )\sin(\phi )v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {y}}-2\gamma \sin(\theta )v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {z}}}$

dónde

${\displaystyle \theta }$es el ángulo con el${\displaystyle z}$eje (longitud) y

${\displaystyle \phi }$es el ángulo con el${\displaystyle x}$eje (latitud).

Esto proporciona una métrica de

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&\gamma \cos(\theta )\cos(\phi ){\frac {v}{c}}&\gamma \cos(\theta )\sin(\phi ){\frac {v}{c}}&-\gamma \sin(\theta ){\frac {v}{c}}\\\gamma \cos(\theta )\cos(\phi ){\frac {v}{c}}&1&0&0\\\gamma \cos(\theta )\sin(\phi ){\frac {v}{c}}&0&1&0\\-\gamma \sin(\theta ){\frac {v}{c}}&0&0&1\end{pmatrix}}}$

en el marco local.

El inverso del tensor métrico${\displaystyle g^{\mu \nu }}$se define de tal manera que

${\displaystyle g_{\mu \alpha }g^{\alpha \nu }=\delta _{\mu }^{\nu }}$

donde el término de la derecha es el delta de Kronecker .

La transformación del infinitesimal de 4 volúmenes${\displaystyle d\Omega }$es

${\displaystyle d{\acute {\Omega }}={\sqrt {-g}}d{\Omega }}$

donde g es el determinante del tensor métrico.

El diferencial del determinante del tensor métrico es

${\displaystyle dg=gg^{\mu \nu }dg_{\mu \nu }=-gg_{\mu \nu }dg^{\mu \nu }}$.

La relación entre los símbolos de Christoffel y el tensor métrico es

${\displaystyle {{\Gamma }^{\alpha }}_{\mu \nu }=g^{\alpha \beta }{\Gamma }_{\beta \mu \nu }}$

${\displaystyle {\Gamma }_{\beta \mu \nu }={\frac {1}{2}}\left({{\partial {g}}_{\beta \nu } \over {\partial x^{\mu }}}+{{\partial {g}}_{\beta \mu } \over {\partial x^{\nu }}}-{{\partial {g}}_{\mu \nu } \over {\partial x^{\beta }}}\right)}$.

El principio de mínima acción establece que la línea de universo entre dos eventos en el espacio-tiempo es aquella que minimiza la acción entre ambos eventos. En mecánica clásica, el principio de mínima acción se utiliza para derivar las leyes del movimiento de Newton y es la base de la dinámica lagrangiana . En relatividad se expresa como

${\displaystyle S=\int _{1}^{2}{\mathcal {L}}\,d\Omega }$

entre los eventos 1 y 2 hay un mínimo. Aquí S es un escalar y

${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

se conoce como densidad lagrangiana . La densidad lagrangiana se divide en dos partes, la densidad para la partícula en órbita${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}}$y la densidad${\displaystyle {\mathcal {L}}_{e}}$del campo gravitatorio generado por todas las demás partículas, incluidas las que componen la Tierra,

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{e}}$.

En el espaciotiempo curvo, la línea de universo "más corta" es aquella geodésica que minimiza la curvatura a lo largo de la geodésica. La acción es entonces proporcional a la curvatura de la línea de universo. Dado que S es un escalar, la curvatura escalar es la medida apropiada de curvatura. Por lo tanto, la acción para la partícula es:

${\displaystyle S_{p}=C\int _{1}^{2}{\acute {R}}\,d{\acute {\Omega }}=C\int _{1}^{2}{\acute {R}}{\sqrt {-g}}\,d{\Omega }=C\int _{1}^{2}g^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d{\Omega }}$

dónde${\displaystyle C}$es una constante desconocida. Esta constante se determinará exigiendo que la teoría se reduzca a la ley de gravitación de Newton en el límite no relativista.

Por lo tanto, la densidad lagrangiana para la partícula es

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}=Cg^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}}$.

La acción para la partícula y la Tierra es

${\displaystyle S=\int _{1}^{2}Cg^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega +\int _{1}^{2}{\mathcal {L}}_{e}\,d\Omega }$.

Así, la línea de universo que se encuentra en la superficie de la esfera de radio r al variar el tensor métrico. La minimización y el desprecio de los términos que desaparecen en los límites, incluidos los términos de segundo orden en la derivada de g, produce

${\displaystyle 0=\delta S=\int _{1}^{2}C\left({\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}g^{\alpha \beta }\right)\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega -\int _{1}^{2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega }$

donde ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\acute {T}}_{\alpha \beta }={1 \over {\sqrt {-g}}}\left({d \over {dx^{\nu }}}{{\partial {\mathcal {L}}_{e}} \over {\partial \left({{dg^{\alpha \beta }} \over {dx^{\nu }}}\right)}}-{{\partial {\mathcal {L}}_{e}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\right)}$

es el tensor de energía-impulso de Hilbert del campo generado por la Tierra.

La relación, salvo un factor constante desconocido, entre la energía de tensión y la curvatura es

${\displaystyle {\acute {T}}_{\alpha \beta }=C\left({\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}\,g_{\alpha \beta }\right)}$.

La ley de gravitación de Newton en mecánica no relativista establece que la aceleración sobre un objeto de masa${\displaystyle m}$debido a otro objeto de masa${\displaystyle M}$es igual a

${\displaystyle \mathbf {f} ={d^{2}\mathbf {r} \over d\tau ^{2}}=-{GM \over {c^{2}r^{3}}}\mathbf {r} }$

dónde${\displaystyle G}$es la constante gravitacional ,${\displaystyle \mathbf {r} }$es un vector de masa${\displaystyle M}$a la misa${\displaystyle m}$y${\displaystyle r}$es la magnitud de ese vector. El tiempo t se escala con la velocidad de la luz c.

${\displaystyle \tau \equiv ct}$.

La aceleración${\displaystyle \mathbf {f} }$es independiente de${\displaystyle m}$.

Para mayor claridad, consideremos una partícula de masa${\displaystyle m}$orbitando en el campo gravitatorio de la Tierra con masa${\displaystyle M}$La ley de gravitación se puede escribir

${\displaystyle \mathbf {f} =-{4\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)\mathbf {r} }$

dónde${\displaystyle \rho (r)}$es la densidad de masa promedio dentro de una esfera de radio${\displaystyle r}$.

La ley de Newton se puede escribir

${\displaystyle \mathbf {f} =-{4\pi G \over {3c^{4}}}\left({Mc^{2} \over V}\right)\mathbf {r} }$.

dónde${\displaystyle V}$es el volumen de una esfera de radio${\displaystyle r}$. La cantidad${\displaystyle Mc^{2}}$Se reconocerá en la relatividad especial como la energía en reposo del cuerpo grande, la Tierra. Esta es la suma de las energías en reposo de todas las partículas que componen la Tierra. La cantidad entre paréntesis es entonces la densidad de energía en reposo promedio de una esfera de radio${\displaystyle r}$alrededor de la Tierra. El campo gravitatorio es proporcional a la densidad de energía promedio dentro de un radio r. Este es el componente 00 del tensor energía-impulso en la relatividad para el caso especial en el que toda la energía es energía en reposo. De manera más general

${\displaystyle T_{00}=-{T^{0}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}\left({\gamma _{i}m_{i}c^{2} \over V}\right)}$

dónde

${\displaystyle \gamma _{i}\equiv {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}} \over c^{2}}}}}}$

y${\displaystyle \mathbf {v_{i}} }$es la velocidad de la partícula i que compone la Tierra y${\displaystyle m_{i}}$en la masa en reposo de la partícula i. Hay N partículas en total que forman la Tierra.

Existen dos entidades relativistas simples que se reducen al componente 00 del tensor energía-impulso en el límite no relativista.

${\displaystyle u^{\alpha }T_{\alpha \beta }u^{\beta }\rightarrow T_{00}}$

y el rastro

${\displaystyle T\equiv {T^{\alpha }}_{\alpha }=-u_{\alpha }u^{\alpha }T=-u^{\alpha }T\eta _{\alpha \beta }u^{\beta }\rightarrow -T_{00}}$

dónde${\displaystyle u^{\alpha }}$es la 4-velocidad.

El componente 00 del tensor de energía-impulso puede generalizarse al caso relativista como una combinación lineal de los dos términos.

${\displaystyle T_{00}\rightarrow u^{\alpha }\left(AT_{\alpha \beta }+BT\eta _{\alpha \beta }\right)u^{\beta }}$

dónde

${\displaystyle A+B=1}$

La 4-aceleración debida a la gravedad se puede escribir

${\displaystyle f^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}T_{\alpha \beta }+{B \over 2}T\eta _{\alpha \beta }\right)\delta _{\nu }^{\mu }u^{\alpha }x^{\nu }u^{\beta }}$.

Desafortunadamente, esta aceleración no es cero para${\displaystyle \mu =0}$como se requiere para órbitas circulares. Dado que la magnitud de la cuadrivelocidad es constante, solo la componente de la fuerza perpendicular a la cuadrivelocidad contribuye a la aceleración. Por lo tanto, debemos restar la componente de la fuerza paralela a la cuadrivelocidad. Esto se conoce como transporte de Fermi-Walker . ^{[ 3 ]} En otras palabras,

${\displaystyle f^{\mu }\rightarrow f^{\mu }+u^{\mu }u_{\nu }f^{\nu }}$.

Esto produce

${\displaystyle f^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}T_{\alpha \beta }+{B \over 2}T\eta _{\alpha \beta }\right)\left(\delta _{\nu }^{\mu }+u^{\mu }u_{\nu }\right)u^{\alpha }x^{\nu }u^{\beta }}$.

La fuerza en el sistema de referencia local es

${\displaystyle {\acute {f}}^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }+{B \over 2}{\acute {T}}g_{\alpha \beta }\right)\left(\delta _{\nu }^{\mu }+{\acute {u}}^{\mu }{\acute {u}}_{\nu }\right){\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }}$.