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Paradoja de Sorites

La paradoja de Sorites: Si un montón se reduce grano a grano, ¿en qué momento exacto deja de considerarse un montón? La paradoja de Sorites ( / soʊ ˈ r aɪ t iː z / ) , [ 1 ] a v...

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La paradoja de Sorites: Si un montón se reduce grano a grano, ¿en qué momento exacto deja de considerarse un montón?

La paradoja de Sorites ( / soʊ ˈ r aɪ t iː z / ) , [ 1 ] a veces conocida como la paradoja del montón , es una paradoja que resulta de predicados vagos . [ 2 ] Una formulación típica involucra un montón de arena, del cual se extraen granos individualmente. Con el supuesto de que extraer un solo grano no hace que un montón deje de ser considerado un montón, la paradoja consiste en considerar qué sucede cuando el proceso se repite suficientes veces hasta que solo queda un grano y si aún es un montón. Si no lo es, entonces la pregunta es cuándo cambió de ser un montón a no serlo. [ 3 ]

Fórmula original

La palabra sorites ( griego antiguo : σωρείτης ) deriva de la palabra griega para montón ( griego antiguo : σωρός ). [ 4 ] La paradoja recibe ese nombre debido a su caracterización original, atribuida a Eubúlides de Mileto . [ 5 ] La paradoja es la siguiente: considérese un montón de arena del que se extraen los granos individualmente. Se podría construir el argumento a partir de las siguientes premisas : [ 3 ]

1.000.000 de granos de arena es un montón de arena (Premisa 1)
Un montón de arena menos un grano sigue siendo un montón. (Premisa 2)

Las aplicaciones repetidas de la premisa 2 (cada vez comenzando con un grano menos) finalmente obligan a aceptar la conclusión de que un montón puede estar compuesto de un solo grano de arena. [ 6 ] Read (1995) observa que "el argumento es en sí mismo un montón, o sorites, de pasos de modus ponens ": [ 7 ]

1.000.000 de granos es un montón.
Si1.000.000 de granos es un montón entonces999.999 granos es un montón.
Entonces999.999 granos es un montón.
Si999.999 granos es un montón entonces999.998 granos es un montón.
Entonces999.998 granos es un montón.
Si ...
... Entonces1 grano es un montón.

Un grano de arena no se considera un montón de arena. [ 8 ] Por lo tanto, el argumento, aunque parezca válido y con premisas plausibles, tiene una conclusión falsa, lo que lo convierte en una paradoja, según una definición académica popular (aunque no universalmente aceptada) de "paradoja". [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

Variaciones

Degradado de color que ilustra una paradoja de Sorites, donde cualquier color adyacente es indistinguible para el ojo humano.

Hay muchas variaciones de la paradoja de Sorites, algunas de las cuales permiten considerar la diferencia entre "ser" y "parecer", es decir, entre una cuestión de hecho y una cuestión de percepción; [ 2 ] esto puede verse como relevante cuando el argumento se basa en que cada cambio sea "imperceptible".

Otra formulación consiste en partir de un grano de arena, que claramente no es un montón, y luego suponer que añadir un solo grano de arena a algo que no es un montón no lo convierte en uno. Inductivamente, este proceso puede repetirse tantas veces como se quiera sin llegar a construir un montón. [ 2 ] [ 3 ] Una formulación más natural de esta variante consiste en suponer que existe un conjunto de fichas de colores tales que dos fichas adyacentes difieren en color demasiado poco como para que la vista humana pueda distinguirlas. Entonces, por inducción sobre esta premisa, los humanos no podrían distinguir entre ningún color. [ 2 ]

La eliminación de una sola gota del océano no hará que "deje de ser un océano" (sigue siendo un océano), pero dado que el volumen de agua en el océano es finito, eventualmente, después de suficientes extracciones, incluso un litro de agua restante seguirá siendo un océano.

Esta paradoja puede reconstruirse para una variedad de predicados, por ejemplo, con "alto", "rico", "viejo", "azul", "calvo", etc. La versión sobre la calvicie, donde se argumenta que agregar un solo cabello no hace que un hombre calvo deje de serlo, se conoce como el " falakros ", del griego para "calvo" (φαλακρός). [ 12 ] [ 13 ] Bertrand Russell argumentó que todo el lenguaje natural, incluso los conectores lógicos, es vago; además, las representaciones de proposiciones son vagas. [ 14 ]

Sorites condicionales generales

Una generalización formal del argumento paradójico de sorites es la siguiente: [ 15 ]

Fa1{\displaystyle Fa_{1}}.
SiFa1{\displaystyle Fa_{1}}, entoncesFa2{\displaystyle Fa_{2}}.
SiFa2{\displaystyle Fa_{2}}, entoncesFa3{\displaystyle Fa_{3}}.
⋮{\displaystyle \vdots }
SiFanorte−1{\displaystyle Fa_{n-1}}, entoncesFanorte{\displaystyle Fa_{n}}.
∴Fanorte¯{\displaystyle {\overline {\therefore Fa_{n}}}}(dóndenorte{\displaystyle n}puede ser arbitrariamente grande)

Esta formalización está en lógica de primer orden , dondeF{\displaystyle F}es un predicado ya1,a2,a3,…,anorte{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}son diferentes materias a las que se puede aplicar; para cada materiaai{\displaystyle a_{i}}, la notaciónFai{\displaystyle Fa_{i}}significa la aplicación del predicadoF{\displaystyle F}aai{\displaystyle a_{i}}, es decir, la proposición de que "ai{\displaystyle a_{i}}esF{\displaystyle F}". ( Jonathan Barnes representó originalmente cada "siFanorte{\displaystyle Fa_{n}}, entoncesFanorte+1{\displaystyle Fa_{n+1}}"proposición utilizando el símbolo⊃{\displaystyle \supset }para la implicación material conectiva , por lo que su argumento originalmente terminó conFanorte−1⊃Fanorte{\displaystyle Fa_{n-1}\supset Fa_{n}}.) [ 16 ]

Jonathan Barnes ha descubierto las condiciones para que un argumento de esta forma general sea sorítico. [ 16 ] Primero, la serie⟨a1,...,anorte⟩{\displaystyle \langle a_ {1},...,a_ {n}\rangle}debe ordenarse; por ejemplo, los montones pueden ordenarse según el número de granos de arena que contienen, o, en la versión falakros (véase §  Variaciones ), las cabezas pueden ordenarse según el número de pelos que tienen. Segundo, el predicadoF{\displaystyle F}debe ser sorítico en relación con la serie⟨a1,...,anorte⟩{\displaystyle \langle a_ {1},...,a_ {n}\rangle}, lo cual significa: primero, que es, aparentemente, cierto dea1{\displaystyle a_{1}}, el primer elemento de la serie; segundo, que es, aparentemente, falso deanorte{\displaystyle a_{n}}, el último elemento de la serie; y tercero, que todos los pares de sujetos adyacentes en la serie,ai{\displaystyle a_{i}}yai+1{\displaystyle a_{i+1}}, son, aparentemente, tan similares que resultan indistinguibles con respecto aF{\displaystyle F}– es decir, debe parecer que ambosai{\displaystyle a_{i}}yai+1{\displaystyle a_{i+1}}satisfacerF{\displaystyle F}o ninguno de los dos.

Esta última condición sobre el predicado es lo que Crispin Wright denominó la tolerancia del predicado a pequeños grados de cambio, y que consideró una condición para que un predicado sea vago . [ 17 ] Como dijo Wright, suponiendo queϕ{\displaystyle \phi }es un concepto relacionado con un predicadoF{\displaystyle F}de tal manera que "cualquier objeto queF{\displaystyle F}Las características pueden transformarse en algo que no son simplemente mediante un cambio suficiente con respecto aϕ{\displaystyle \phi }", entonces "F{\displaystyle F}es tolerante con respecto aϕ{\displaystyle \phi }si también existe algún grado positivo de cambio con respecto aϕ{\displaystyle \phi }insuficiente para afectar jamás la justicia con la queF{\displaystyle F}se aplica a un caso particular." [ 17 ]

Resoluciones propuestas

Negar la existencia de montones

Se puede objetar a la primera premisa negando queUn millón de granos de arena forman un montón. Pero1.000.000 es simplemente un número arbitrariamente grande, y el argumento se aplicará a cualquier número de ese tipo. Por lo tanto, la respuesta debe negar rotundamente que existan tales cosas como montones. Peter Unger defiende esta solución. [ 18 ] Sin embargo, AJ Ayer la repudió cuando Unger se la presentó: «Si consideramos que todo está compuesto de átomos, y pensamos que Unger no consiste en células sino en los átomos que componen las células, entonces, como me ha señalado David Wiggins , se podría usar un argumento similar para probar que Unger, lejos de ser inexistente, es idéntico a todo lo que existe. Solo tenemos que sustituir la premisa de que la sustracción de un átomo del cuerpo de Unger nunca afecta su existencia por la premisa de que la adición de un átomo tampoco afecta su existencia». [ 19 ]

Establecer un límite fijo

Una primera respuesta común a la paradoja es llamar montón a cualquier conjunto de granos que tenga más de un cierto número de granos. Si se definiera el "límite fijo" en10.000 granos entonces se podría afirmar que por menos de10.000 , no es un montón; porque10.000 o más, entonces es un montón. [ 20 ]

Collins argumenta que tales soluciones son insatisfactorias ya que parece haber poca importancia en la diferencia entre9.999 granos y10 000 granos. El límite, dondequiera que se establezca, sigue siendo arbitrario, por lo que su precisión resulta engañosa. Es objetable tanto desde el punto de vista filosófico como lingüístico: el primero por su arbitrariedad y el segundo porque simplemente no se corresponde con el uso natural del lenguaje. [ 21 ] No obstante, el fenómeno neurológico de la subitización sugiere un valor mínimo natural y no arbitrario de 4 granos para el límite: cuando el número de granos de arena puede subitizarse, ya no puede ser una cantidad indefinida («montón»).

Límites incognoscibles (o epistemismo)

Timothy Williamson [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] y Roy Sorensen [ 25 ] afirman que existen límites fijos, pero que necesariamente son incognoscibles.

Supervaluacionismo

El supervaluacionismo es un método para tratar términos singulares irreferenciales y vaguedad . Permite conservar las leyes tautológicas habituales incluso cuando se trata de valores de verdad indefinidos. [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] Un ejemplo de una proposición sobre un término singular irreferencial es la oración " A Pegaso le gusta el regaliz ". Dado que el nombre " Pegaso " no se refiere a nada , no se puede asignar ningún valor de verdad a la oración; no hay nada en el mito que justifique tal asignación. Sin embargo, hay algunas afirmaciones sobre Pegaso que tienen valores de verdad definidos, como " A Pegaso le gusta el regaliz" o "A Pegaso no le gusta el regaliz ". Esta oración es un ejemplo de la tautología "pag∨¬pag{\displaystyle p\vee \neg p}", es decir, el esquema válido"pag{\displaystyle p}O no-pag{\displaystyle p}Según el supervaluacionismo, debería ser verdadero independientemente de si sus componentes tienen o no un valor de verdad.

Al admitir oraciones sin valores de verdad definidos, el supervaluacionismo evita casos adyacentes tales que n granos de arena son un montón de arena, pero n − 1 granos no lo son; por ejemplo, "" 1.000 granos de arena es un montón " puede considerarse un caso límite sin un valor de verdad definido. Sin embargo, el supervaluacionismo es capaz de manejar una oración como "1.000 granos de arena es un montón o"1.000 granos de arena no son un montón " como tautología, es decir, asignarle el valor verdadero .

Explicación matemática

Dejarv{\displaystyle v}ser una valoración clásica definida en cada oración atómica del lenguajeL{\displaystyle L}y dejarAt(incógnita){\displaystyle At(x)}sea ​​el número de oraciones atómicas distintas enincógnita{\displaystyle x}. Luego, para cada oraciónincógnita{\displaystyle x}como máximo2At(incógnita){\displaystyle 2^{At(x)}}Pueden existir distintas valoraciones clásicas. Una supervaloraciónV{\displaystyle V}es una función de oraciones a valores de verdad tal que, una oraciónincógnita{\displaystyle x}es súper cierto (es decirV(incógnita)=Verdadero{\displaystyle V(x)={\text{Verdadero}}}) si y solo siv(incógnita)=Verdadero{\displaystyle v(x)={\text{Verdadero}}}para cada valoración clásicav{\displaystyle v}; igualmente para superfalso. De lo contrario,V(incógnita){\displaystyle V(x)}no está definido, es decir, exactamente cuándo hay dos valoraciones clásicasv{\displaystyle v}yv′{\displaystyle v'}de tal manera quev(incógnita)=Verdadero{\displaystyle v(x)={\text{Verdadero}}}yv′(incógnita)=FALSO{\displaystyle v'(x)={\text{Falso}}}.

Por ejemplo, dejemosLpag{\displaystyle L\;p}ser la traducción formal de " A Pegaso le gusta el regaliz ". Entonces hay exactamente dos valoraciones clásicasv{\displaystyle v}yv′{\displaystyle v'}enLpag{\displaystyle L\;p}, es decir.v(Lpag)=Verdadero{\displaystyle v(L\;p)={\text{Verdadero}}}yv′(Lpag)=FALSO{\displaystyle v'(L\;p)={\text{False}}}. EntoncesLpag{\displaystyle L\;p}no es ni súper verdadero ni súper falso. Sin embargo, la tautologíaLpag∨¬Lpag{\displaystyle L\;p\lor \lno L\;p}se evalúa paraVerdadero{\displaystyle {\text{Verdadero}}}por cada valoración clásica; por lo tanto, es superverdadera. De manera similar, la formalización de la proposición de montón anteriorH1000{\displaystyle H\;1000}no es ni súper verdadero ni súper falso, sinoH1000∨¬H1000{\displaystyle H\;1000\lor \lnot H\;1000}Es totalmente cierto.

Lagunas de verdad, excesos y lógicas multivaluadas

Otro método consiste en utilizar una lógica multivaluada . En este contexto, el problema radica en el principio de bivalencia : la arena es un montón o no lo es, sin matices. En lugar de dos estados lógicos, montón y no-montón , se puede utilizar un sistema de tres valores, por ejemplo, montón , indeterminado y no-montón . Una respuesta a esta solución propuesta es que los sistemas de tres valores no resuelven realmente la paradoja, ya que aún existe una línea divisoria entre montón e indeterminado , y también entre indeterminado y no-montón . El tercer valor de verdad puede entenderse como una brecha de valores de verdad o como un exceso de valores de verdad . [ 30 ]

Alternativamente, la lógica difusa ofrece un espectro continuo de estados lógicos representados en el intervalo unitario de números reales [0,1]: es una lógica multivaluada con infinitos valores de verdad, y por lo tanto la arena transita gradualmente de "definitivamente montón" a "definitivamente no montón", con matices en la región intermedia. Se utilizan límites difusos para dividir el continuo en regiones que corresponden a clases como definitivamente montón , mayormente montón , parcialmente montón , ligeramente montón y no montón . [ 31 ] [ 32 ] Aunque sigue existiendo el problema de dónde se producen estos límites; por ejemplo, en qué número de granos la arena comienza a ser definitivamente un montón.

Histéresis

Otro método, introducido por Raffman, [ 33 ] consiste en utilizar la histéresis , es decir, el conocimiento de cómo comenzó la acumulación de arena. Cantidades equivalentes de arena pueden denominarse montones o no, según cómo llegaron allí. Si un gran montón (indiscutiblemente descrito como tal) disminuye lentamente, conserva su "estatus de montón" hasta cierto punto, incluso cuando la cantidad real de arena se reduce a un número menor de granos. Por ejemplo,500 granos es un montón y1.000 granos es un montón. Habrá una superposición para estos estados. Entonces, si uno lo está reduciendo de un montón a una pila, es un montón que va disminuyendo hasta750. En ese punto, dejaría de llamarlo montón y comenzaría a llamarlo pila. Pero si se reemplaza un grano, no se convertiría instantáneamente de nuevo en un montón. Al subir, seguiría siendo una pila hasta900 granos. Los números elegidos son arbitrarios; la cuestión es que la misma cantidad puede ser un montón o una pila dependiendo de cómo fuera antes del cambio. Un uso común de la histéresis sería el termostato del aire acondicionado: el aire acondicionado se ajusta a 77  °F y luego enfría el aire hasta justo por debajo de 77  °F, pero no se activa de nuevo instantáneamente cuando el aire se calienta a 77,001  °F; espera hasta casi 78  °F para evitar cambios de estado instantáneos repetidamente. [ 34 ]

Consenso del grupo

El significado de la palabra «montón» se puede determinar mediante el consenso . Williamson, en su solución epistémica a la paradoja, asume que el significado de los términos vagos debe estar determinado por el uso grupal. [ 35 ] El método del consenso suele afirmar que una colección de granos es un «montón» en la medida en que la proporción de personas en un grupo lo considera así. En otras palabras, la probabilidad de que cualquier colección se considere un montón es el valor esperado de la distribución de la opinión del grupo.

Un grupo puede decidir que:

  • Un solo grano de arena no es un montón.
  • Una gran acumulación de granos de arena es un montón.

Entre ambos extremos, los miembros del grupo pueden discrepar sobre si una colección en particular puede considerarse un «montón». En consecuencia, no se puede afirmar con certeza si la colección es un «montón» o «no lo es». Esto puede considerarse una apelación a la lingüística descriptiva en lugar de la prescriptiva , ya que resuelve el problema de la definición basándose en cómo la población utiliza el lenguaje natural. De hecho, si se dispone de una definición prescriptiva precisa de «montón», el consenso del grupo siempre será unánime y no se producirá la paradoja.

Resoluciones en la teoría de la utilidad

En el campo económico de la teoría de la utilidad , la paradoja de Sorites surge al investigar los patrones de preferencias de una persona. Como ejemplo de Robert Duncan Luce , es fácil encontrar a una persona, digamos Peggy, que prefiere en su café 3 gramos (es decir, 1 terrón) de azúcar a 15 gramos (5 terrones); sin embargo, suele ser indiferente entre 3,00 y 3,03 gramos, así como entre 3,03 y 3,06 gramos, y así sucesivamente, y finalmente entre 14,97 y 15,00 gramos. [ 36 ]

Los economistas adoptaron dos medidas para evitar la paradoja de Sorites en este contexto.

  • Se utilizan formas comparativas , en lugar de positivas , de las propiedades. El ejemplo anterior evita deliberadamente afirmar algo como «A Peggy le gusta una taza de café con 3 gramos de azúcar» o «A Peggy no le gusta una taza de café con 15 gramos de azúcar». En cambio, afirma: «A Peggy le gusta más una taza de café con 3 gramos de azúcar que una con 15 gramos de azúcar». [ 40 ]
  • Los economistas distinguen la preferencia ("A Peggy le gusta ... más que ...") de la indiferencia ("A Peggy le gusta ... tanto como ..."), y no consideran que esta última relación sea transitiva . [ 42 ] En el ejemplo anterior, al abreviar "una taza de café con x gramos de azúcar" por " c x ", y "a Peggy le es indiferente entre c x y c y " como " c x ≈ c y ", los hechos c 3.00 ≈ c 3.03 y c 3.03 ≈ c 3.06 y ... y c 14.97 ≈ c 15.00 no implican c 3.00 ≈ c 15.00 .

Se introdujeron varios tipos de relaciones para describir la preferencia y la indiferencia sin caer en la paradoja de Sorites. Luce definió semiórdenes e investigó sus propiedades matemáticas; [ 36 ] Amartya Sen realizó una tarea similar para relaciones cuasitransitivas . [ 43 ] Abreviando "A Peggy le gusta más c x que c y " como " c x > c y ", y abreviando " c x > c y o c x ≈ c y " como " c x ≥ c y ", es razonable que la relación ">" sea un semiorden mientras que ≥ es cuasitransitiva. Recíprocamente, a partir de un semiorden dado > la relación de indiferencia ≈ puede reconstruirse definiendo c x ≈ c y si ni c x > c y ni c y > c x . De manera similar, a partir de una relación cuasitransitiva dada ≥, la relación de indiferencia ≈ puede reconstruirse definiendo c x ≈ c y si se cumplen ambas condiciones: c x ≥ c y y c y ≥ c x . Estas relaciones ≈ reconstruidas generalmente no son transitivas.

La tabla de la derecha muestra cómo el ejemplo de color anterior puede modelarse como una relación cuasi-transitiva ≥. Diferencias de color exageradas para mayor legibilidad. Se dice que un color X es más o igual de rojo que un color Y si la celda de la tabla en la fila X y la columna Y no está vacía. En ese caso, si contiene un "≈", entonces X e Y se ven indistinguiblemente iguales, y si contiene un ">", entonces X se ve claramente más rojo que Y. La relación ≥ es la unión disjunta de la relación simétrica ≈ y la relación transitiva >. Usando la transitividad de >, el conocimiento de f10 > d30 y d30 > b50 permite inferir que f10 > b50 . Sin embargo, dado que ≥ no es transitivo, una inferencia "paradójica" como " d30 ≥ e20 y e20 ≥ f10 , por lo tanto d30 ≥ f10 " ya no es posible. Por la misma razón, por ejemplo, " d30 ≈ e20 y e20 ≈ f10 , por lo tanto d30 ≈ f10 " ya no es una inferencia válida. De manera similar, para resolver la variación original de la paradoja del montón con este enfoque, la relación " los granos X son más un montón que los granos Y " podría considerarse cuasitransitiva en lugar de transitiva.

Falacia del continuo

La falacia del continuo (también conocida como falacia de la barba , [ 44 ] [ 45 ] falacia del trazado de líneas o falacia del punto de decisión [ 46 ] ) es una falacia informal relacionada con la paradoja de Sorites. Ambas falacias llevan a rechazar erróneamente una afirmación vaga simplemente porque no es tan precisa como se desearía. La vaguedad por sí sola no implica necesariamente invalidez. La falacia consiste en argumentar que dos estados o condiciones no pueden considerarse distintos (o que no existen en absoluto) porque entre ellos existe un continuo de estados.

Estrictamente hablando, la paradoja de Sorites se refiere a situaciones en las que existen muchos estados discretos (clásicamente entre 1 y 1.000.000 de granos de arena, es decir, 1.000.000 de estados posibles), mientras que la falacia del continuo se refiere a situaciones en las que existe (o parece existir) un continuo de estados, como la temperatura.

Para abordar la falacia del continuo, se asume que existe un continuo, aunque esta es generalmente una distinción menor: en general, cualquier argumento contra la paradoja de Sorites también puede usarse contra la falacia del continuo. Un argumento contra la falacia se basa en el simple contraejemplo : existen personas calvas y personas que no lo son. Otro argumento es que, por cada grado de cambio en los estados, el grado de la condición cambia ligeramente, y estos pequeños cambios se acumulan para cambiar el estado de una categoría a otra. Por ejemplo, tal vez la adición de un grano de arroz hace que el grupo total de arroz sea "un poco más" de un montón, y suficientes pequeños cambios certificarán el estado de montón del grupo (véase lógica difusa) .

Véase también

Referencias

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  40. ↑ La forma comparativa se encontró en todas las publicaciones económicas investigadas hasta el momento. [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] Aparentemente, está implícita en el objeto de las investigaciones en la teoría de la utilidad.
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  42. ↑ Según Armstrong (1948), la indiferencia se consideraba transitiva en la teoría de la preferencia , [ 37 ] : 2 esta última fue cuestionada en 1939 por esta misma razón, [ 41 ] : 463 y sucedida por la teoría de la utilidad.
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