Contracción de longitud

La contracción de longitud es el fenómeno por el cual la longitud de un objeto en movimiento se mide como menor que su longitud propia , que es la longitud medida en el propio sistema de referencia del objeto . ^{[ 1 ]} También se conoce como contracción de Lorentz o contracción de Lorentz-FitzGerald (en honor a Hendrik Lorentz y George Francis FitzGerald ) y generalmente solo se nota a una fracción sustancial de la velocidad de la luz . La contracción de longitud solo se mide en la dirección en la que se mueve el cuerpo. Para objetos normales, este efecto es insignificante a velocidades cotidianas y puede ignorarse para todos los propósitos habituales, volviéndose significativo solo cuando el objeto se aproxima a la velocidad de la luz con respecto al observador.

Historia

La contracción de la longitud fue postulada por George FitzGerald (1889) y Hendrik Antoon Lorentz (1892) para explicar el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley y para rescatar la hipótesis del éter estacionario ( hipótesis de contracción de Lorentz-FitzGerald ). ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Aunque tanto FitzGerald como Lorentz aludieron al hecho de que los campos electrostáticos en movimiento se deformaban ("elipsoide de Heaviside" en honor a Oliver Heaviside , quien derivó esta deformación de la teoría electromagnética en 1888), se consideró una hipótesis ad hoc , porque en ese momento no había razón suficiente para suponer que las fuerzas intermoleculares se comportaran de la misma manera que las electromagnéticas. En 1897, Joseph Larmor desarrolló un modelo en el que todas las fuerzas se consideran de origen electromagnético, y la contracción de la longitud parecía ser una consecuencia directa de este modelo. Sin embargo , Henri Poincaré (1905) demostró que las fuerzas electromagnéticas por sí solas no pueden explicar la estabilidad del electrón. Así que tuvo que introducir otra hipótesis ad hoc: fuerzas de enlace no eléctricas ( tensiones de Poincaré ) que aseguran la estabilidad del electrón, dan una explicación dinámica a la contracción de la longitud y, por lo tanto, ocultan el movimiento del éter estacionario. ^{[ 4 ]}

Lorentz creía que la contracción de la longitud representaba una contracción física de los átomos que componen un objeto. No preveía ningún cambio fundamental en la naturaleza del espacio y el tiempo. ^{[ 5 ]}^{: 62–68} Lorentz esperaba que la contracción de la longitud resultara en tensiones compresivas en un objeto que deberían producir efectos medibles. Dichos efectos incluirían efectos ópticos en medios transparentes, como la rotación óptica ^{[ 6 ]} y la inducción de la doble refracción, ^{[ 7 ]} y la inducción de pares en condensadores cargados que se mueven en un ángulo con respecto al éter.

Lorentz estaba perplejo por experimentos como el de Trouton-Noble y los de Rayleigh y Brace , que no lograron validar sus expectativas teóricas. ^{[ 5 ]}

Para mayor coherencia matemática, Lorentz propuso una nueva variable temporal, el "tiempo local", llamado así porque dependía de la posición de un cuerpo en movimiento, siguiendo la relación t ′ = t − vx / c ² . ^{[ 8 ]} Lorentz no consideraba que el tiempo local fuera "real"; más bien, representaba un cambio de variable ad hoc. ^{[ 9 ]}^{: 51, 80}

Impresionado por la «idea más ingeniosa» de Lorentz, Poincaré vio en el tiempo local algo más que un simple truco matemático. Representaba el tiempo real que se mostraría en los relojes de un observador en movimiento. Por otro lado, Poincaré no consideraba que este tiempo medido fuera el «tiempo verdadero» que exhibirían los relojes en reposo en el éter. Poincaré no intentó redefinir los conceptos de espacio y tiempo. Para Poincaré, la transformación de Lorentz describía los estados aparentes del campo para un observador en movimiento. Los estados verdaderos seguían siendo aquellos definidos con respecto al éter. ^{[ 10 ]}

Albert Einstein eliminó el carácter ad hoc de la hipótesis de contracción, ^{[ 4 ]} declaró que el éter era "superfluo" junto con el concepto de cualquier espacio absolutamente estacionario y discutió los efectos de contracción de longitud en su artículo de 1905 sobre su teoría de la relatividad especial. ^{[ 11 ]} Einstein propuso que la transformación de Lorentz se aplicara tanto al electromagnetismo como a la mecánica. ^{[ 12 ]}^{: 17} Hermann Minkowski dio la interpretación geométrica de todos los efectos relativistas al introducir su concepto de espaciotiempo de cuatro dimensiones . ^{[ 13 ]}

Los numerosos y confusos efectos visuales de la combinación de la contracción de longitud y la velocidad finita de la luz fueron mal comprendidos al principio. Lorentz afirmó erróneamente en 1922 que podían fotografiarse. George Gamow mostró bicicletas solo en perspectiva en sus ilustraciones para Mr. Tompkins in Wonderland . Aunque en 1924 se publicó un artículo con la apariencia correcta de una varilla en movimiento, no tuvo mucha difusión. Solo en 1959, cuando James Terrell y Roger Penrose escribieron sobre el efecto visual ahora llamado rotación de Terrell, las dificultades quedaron claras. ^{[ 14 ]} El artículo de Terrell titulado "Invisibilidad de la contracción de Lorentz" decía que una regla de un metro parecería girar y que la contracción misma podía medirse a partir de fotografías sin correcciones para la velocidad finita de la luz.

Fundamentos de la relatividad

En primer lugar, es necesario considerar cuidadosamente los métodos para medir las longitudes de objetos en reposo y en movimiento. ^{[ 15 ]} Aquí, "objeto" simplemente significa una distancia con extremos que siempre están mutuamente en reposo, es decir , que están en reposo en el mismo sistema de referencia inercial . Si la velocidad relativa entre un observador y el objeto observado es cero, entonces la longitud propia $L_{0}$ La velocidad del objeto se puede determinar simplemente superponiendo directamente una varilla de medición. Sin embargo, si la velocidad relativa es mayor que cero, se puede proceder de la siguiente manera:

*Contracción de longitud* : Tres varillas azules están en reposo en S y tres varillas rojas en S'. En el instante en que los extremos izquierdos de A y D alcanzan la misma posición en el eje x, se compararán las longitudes de las varillas. En S, las posiciones simultáneas del lado izquierdo de A y el lado derecho de C están más distantes que las de D y F, mientras que en S' las posiciones simultáneas del lado izquierdo de D y el lado derecho de F están más distantes que las de A y C.

El observador instala una fila de relojes que se sincronizan a) mediante el intercambio de señales luminosas según la sincronización de Poincaré-Einstein , o b) mediante "transporte lento de relojes", es decir, un reloj se transporta a lo largo de la fila de relojes en el límite de velocidad de transporte nula . Ahora, cuando el proceso de sincronización ha finalizado, el objeto se mueve a lo largo de la fila de relojes y cada reloj almacena el momento exacto en que el extremo izquierdo o derecho del objeto pasa por ella. Después de eso, el observador solo tiene que mirar la posición de un reloj A que almacenó el momento en que el extremo izquierdo del objeto estaba pasando, y un reloj B en el que el extremo derecho del objeto estaba pasando al mismo tiempo . Es evidente que la distancia AB es igual a la longitud $L$ del objeto en movimiento. ^{[ 15 ]} Utilizando este método, la definición de simultaneidad es crucial para medir la longitud de los objetos en movimiento.

Otro método consiste en utilizar un reloj que indique la hora correcta. $T_{0}$ , que viaja de un extremo de la varilla al otro en el tiempo $T$ según lo medido por relojes en el marco de referencia de la varilla. La longitud de la varilla se puede calcular multiplicando su tiempo de recorrido por su velocidad, por lo tanto $L_{0}=T\cdot v$ en el bastidor de apoyo de la varilla o $L=T_{0}\cdot v$ en el marco de reposo del reloj. ^{[ 16 ]}

En la mecánica newtoniana, la simultaneidad y la duración del tiempo son absolutas y, por lo tanto, ambos métodos conducen a la igualdad de $L$ y $L_{0}$ Sin embargo, en la teoría de la relatividad, la constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas de referencia inerciales, en relación con la relatividad de la simultaneidad y la dilatación del tiempo, destruye esta igualdad. En el primer método, un observador en un sistema de referencia afirma haber medido los extremos del objeto simultáneamente, pero los observadores en todos los demás sistemas de referencia inerciales argumentarán que los extremos del objeto no se midieron simultáneamente. En el segundo método, los tiempos $T$ y $T_{0}$ no son iguales debido a la dilatación del tiempo, lo que da como resultado también diferentes longitudes.

La desviación entre las mediciones en todos los sistemas de referencia inerciales viene dada por las fórmulas de la transformación de Lorentz y la dilatación del tiempo (véase Derivación ). Resulta que la longitud propia permanece invariable y siempre denota la mayor longitud de un objeto, y la longitud del mismo objeto medida en otro sistema de referencia inercial es menor que la longitud propia. Esta contracción solo se produce a lo largo de la línea de movimiento y puede representarse mediante la relación

L={\frac {1}{\gamma (v)}}L_{0}

dónde

$L$ es la longitud observada por un observador en movimiento con respecto al objeto
$L_{0}$ es la longitud propia (la longitud del objeto en su sistema de referencia en reposo)
$\gamma (v)$ $\gamma (v)$ es el factor de Lorentz , definido como $\gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ $\gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ dónde
- $v$ es la velocidad relativa entre el observador y el objeto en movimiento
- $c$ es la velocidad de la luz

Sustituir el factor de Lorentz en la fórmula original conduce a la relación

L=L_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

En esta ecuación ambos $L$ y $L_{0}$ Las longitudes se miden paralelamente a la línea de movimiento del objeto. Para un observador en movimiento relativo, la longitud del objeto se mide restando las distancias medidas simultáneamente en ambos extremos. Para conversiones más generales, consulte las transformaciones de Lorentz . Un observador en reposo que observa un objeto que se mueve muy cerca de la velocidad de la luz percibiría la longitud del objeto en la dirección del movimiento como prácticamente cero.

Luego, a una velocidad de13 400 000 m/s (30 millones de mph, 0,0447 $c$ ) la longitud contraída es el 99,9% de la longitud en reposo; a una velocidad deA 42 300 000 m/s (95 millones de mph, 0,141 $c$ ), la longitud sigue siendo del 99 %. A medida que la magnitud de la velocidad se aproxima a la velocidad de la luz, el efecto se vuelve más notorio.

Simetría

El principio de relatividad (según el cual las leyes de la naturaleza son invariantes en diferentes sistemas de referencia inerciales) requiere que la contracción de la longitud sea simétrica: Si una varilla está en reposo en un sistema de referencia inercial $S$ , tiene su longitud adecuada en $S$ y su longitud se contrae en $S'$ Sin embargo, si una varilla descansa en $S'$ , tiene su longitud adecuada en $S'$ y su longitud se contrae en $S$ Esto se puede ilustrar claramente utilizando diagramas de Minkowski simétricos, ya que la transformación de Lorentz corresponde geométricamente a una rotación en el espaciotiempo de cuatro dimensiones . ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}

Fuerzas magnéticas

Las fuerzas magnéticas son causadas por la contracción relativista cuando los electrones se mueven con respecto a los núcleos atómicos. La fuerza magnética sobre una carga en movimiento junto a un conductor por el que circula corriente es el resultado del movimiento relativista entre electrones y protones. ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}

En 1820, André-Marie Ampère demostró que los cables paralelos con corrientes en la misma dirección se atraen entre sí. En el sistema de referencia de los electrones, el cable en movimiento se contrae ligeramente, lo que provoca que los protones del cable opuesto sean localmente más densos . Como los electrones del cable opuesto también se mueven, no se contraen (tanto). Esto da lugar a un aparente desequilibrio local entre electrones y protones; los electrones en movimiento de un cable son atraídos por los protones adicionales del otro. También se puede considerar el caso inverso. En el sistema de referencia del protón estático, los electrones se mueven y se contraen, lo que produce el mismo desequilibrio. La velocidad de deriva de los electrones es relativamente muy lenta, del orden de un metro por hora, pero la fuerza entre un electrón y un protón es tan enorme que incluso a esta velocidad tan baja la contracción relativista produce efectos significativos.

Este efecto también se aplica a partículas magnéticas sin corriente, sustituyéndose la corriente por el espín del electrón.

Verificaciones experimentales

Cualquier observador que se mueva junto con el objeto observado no puede medir la contracción del objeto, ya que puede considerar que tanto él como el objeto están en reposo en el mismo sistema de referencia inercial, de acuerdo con el principio de relatividad (como se demostró en el experimento de Trouton-Rankine ). Por lo tanto, la contracción de la longitud no puede medirse en el sistema de referencia en reposo del objeto, sino solo en un sistema de referencia en el que el objeto observado esté en movimiento. Además, incluso en un sistema de referencia que no se mueva junto con el objeto, es difícil obtener confirmaciones experimentales directas de la contracción de la longitud, porque (a) con el estado actual de la tecnología, los objetos de considerable extensión no pueden acelerarse a velocidades relativistas, y (b) los únicos objetos que viajan a la velocidad requerida son partículas atómicas, cuyas extensiones espaciales son demasiado pequeñas para permitir una medición directa de la contracción.

Sin embargo, existen confirmaciones indirectas de este efecto en un sistema de referencia no móvil:

Fue el resultado negativo de un famoso experimento que requirió la introducción de la contracción de longitud: el experimento de Michelson-Morley (y posteriormente también el experimento de Kennedy-Thorndike ). En la relatividad especial, su explicación es la siguiente: En su sistema de referencia en reposo, el interferómetro puede considerarse en reposo de acuerdo con el principio de relatividad, por lo que el tiempo de propagación de la luz es el mismo en todas las direcciones. Sin embargo, en un sistema de referencia en el que el interferómetro está en movimiento, el haz transversal debe recorrer una trayectoria diagonal más larga con respecto al sistema de referencia inmóvil, lo que aumenta su tiempo de viaje. El factor por el cual el haz longitudinal se retrasaría al tomar tiempos L /( c − v ) y L /( c + v ) para los viajes de ida y vuelta, respectivamente, es aún mayor. Por lo tanto, en la dirección longitudinal se supone que el interferómetro se contrae para restablecer la igualdad de ambos tiempos de viaje de acuerdo con el resultado experimental negativo. Así, la velocidad de la luz en ambas direcciones permanece constante y el tiempo de propagación de ida y vuelta a lo largo de los brazos perpendiculares del interferómetro es independiente de su movimiento y orientación.
Dada la densidad de la atmósfera medida en el sistema de referencia terrestre, la vida útil extremadamente corta de los muones no debería permitirles llegar a la superficie, ni siquiera a la velocidad de la luz; sin embargo, lo hacen. Desde el sistema de referencia terrestre, esto solo es posible gracias a la dilatación del tiempo que experimenta el muón. En cambio, en el sistema de referencia del muón, este efecto se explica por la contracción de la atmósfera, que acorta el trayecto. ^{[ 21 ]}
Los iones pesados que son esféricos en reposo deberían adoptar la forma de "panqueques" o discos planos cuando viajan casi a la velocidad de la luz ; de hecho, los resultados obtenidos de las colisiones de partículas solo pueden explicarse cuando se considera el aumento de la densidad de nucleones debido a la contracción de la longitud. ^[²²^]^[²³^]^[²⁴^]
La capacidad de ionización de partículas con carga eléctrica y altas velocidades relativas es mayor de lo esperado. En la física prerrelativista, esta capacidad debería disminuir a altas velocidades, ya que se reduce el tiempo durante el cual las partículas ionizantes en movimiento pueden interactuar con los electrones de otros átomos o moléculas; sin embargo, en la relatividad, esta capacidad de ionización mayor de lo esperado puede explicarse por la contracción de la longitud del campo de Coulomb en los sistemas de referencia en los que se mueven las partículas ionizantes, lo que aumenta la intensidad de su campo eléctrico perpendicular a la línea de movimiento. ^{[ 21 ]}^{[ 25 ]}
En los sincrotrones y láseres de electrones libres , se inyectan electrones relativistas en un ondulador , generando así radiación sincrotrón . En el sistema de referencia propio de los electrones, el ondulador se contrae, lo que provoca un aumento en la frecuencia de la radiación. Además, para determinar la frecuencia medida en el sistema de referencia del laboratorio, es necesario aplicar el efecto Doppler relativista . Por lo tanto, solo con la ayuda de la contracción de longitud y el efecto Doppler relativista se puede explicar la longitud de onda extremadamente pequeña de la radiación del ondulador. ^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}

Realidad de la contracción de la longitud

Diagrama de Minkowski del experimento mental de Einstein de 1911 sobre la contracción de la longitud. Dos varillas de longitud en reposo $A'B'=A''B''=L_{0}$ se están moviendo con $0.6c$ en direcciones opuestas, lo que resulta en $A^{\ast }B^{\ast }<L_{0}$ .

{\displaystyle A'B'=A''B''=L_{0}} — Diagrama de Minkowski del experimento mental de Einstein de 1911 sobre la contracción de la longitud. Dos varillas de longitud en reposo $A'B'=A''B''=L_{0}$ se están moviendo con $0.6c$ en direcciones opuestas, lo que resulta en $A^{\ast }B^{\ast }<L_{0}$ .

En 1911, Vladimir Varićak afirmó que la contracción de la longitud se observa de manera objetiva, según Lorentz, mientras que es "solo un fenómeno aparente y subjetivo, causado por la forma en que regulamos nuestro reloj biológico y medimos la longitud", según Einstein. ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]} Einstein publicó una refutación:

El autor afirmó injustificadamente una diferencia entre la opinión de Lorentz y la mía respecto a los hechos físicos . La pregunta sobre si la contracción de la longitud existe realmente o no es engañosa. No existe "realmente", en la medida en que no existe para un observador comóvil; aunque sí existe, es decir , de tal manera que podría demostrarse en principio por medios físicos por un observador no comóvil. ^{[ 30 ]}

— Albert Einstein, 1911

Einstein también argumentó en ese artículo que la contracción de la longitud no es simplemente el producto de definiciones arbitrarias sobre la forma en que se realizan las regulaciones de los relojes y las mediciones de longitud. Presentó el siguiente experimento mental: Sean A'B' y A"B" los extremos de dos varillas de la misma longitud propia L ₀ , medidas en x' y x" respectivamente. Supongamos que se mueven en direcciones opuestas a lo largo del eje x*, considerado en reposo, a la misma velocidad con respecto a él. Los extremos A'A" se encuentran entonces en el punto A*, y B'B" se encuentran en el punto B*. Einstein señaló que la longitud A*B* es más corta que A'B' o A"B", lo cual también puede demostrarse haciendo que una de las varillas se detenga con respecto a ese eje. ^{[ 30 ]}

Paradojas

Debido a la aplicación superficial de la fórmula de contracción, pueden surgir algunas paradojas. Ejemplos de ello son la paradoja de la escalera y la paradoja de la nave espacial de Bell . Sin embargo, estas paradojas pueden resolverse mediante una correcta aplicación de la relatividad de la simultaneidad. Otra paradoja famosa es la paradoja de Ehrenfest , que demuestra que el concepto de cuerpos rígidos no es compatible con la relatividad, lo que reduce la aplicabilidad de la rigidez de Born y muestra que, para un observador corrotante, la geometría es, de hecho, no euclidiana .

Efectos visuales

La contracción de longitud se refiere a mediciones de posición realizadas simultáneamente según un sistema de coordenadas. Esto podría sugerir que si se tomara una fotografía de un objeto que se mueve rápidamente, la imagen mostraría el objeto contraído en la dirección del movimiento. Sin embargo, tales efectos visuales son mediciones completamente diferentes, ya que una fotografía se toma a distancia, mientras que la contracción de longitud solo se puede medir directamente en la ubicación exacta de los extremos del objeto. Varios autores, como Roger Penrose y James Terrell, demostraron que los objetos en movimiento generalmente no aparecen contraídos en una fotografía. ^{[ 31 ]} Este resultado fue popularizado por Victor Weisskopf en un artículo de Physics Today. ^{[ 32 ]} Por ejemplo, para un diámetro angular pequeño, una esfera en movimiento permanece circular y gira. ^{[ 33 ]} Este tipo de efecto de rotación visual se denomina rotación de Penrose-Terrell. ^{[ 34 ]}

Derivación

La contracción de la longitud se puede obtener de varias maneras:

Longitud de movimiento conocida

En un sistema de referencia inercial S, sea $x_{1}$ y $x_{2}$ denotan los puntos extremos de un objeto en movimiento. En este sistema de referencia, la longitud del objeto. $L$ se mide, según las convenciones anteriores, determinando las posiciones simultáneas de sus extremos en $t_{1}=t_{2}$ Mientras tanto, la longitud propia de este objeto, medida en su sistema de referencia en reposo S', se puede calcular utilizando la transformación de Lorentz. La transformación de las coordenadas temporales de S a S' da como resultado tiempos diferentes, pero esto no es problemático, ya que el objeto está en reposo en S' donde no importa cuándo se midan los puntos extremos. Por lo tanto, la transformación de las coordenadas espaciales es suficiente, lo que da como resultado: ^{[ 15 ]}

x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad {\text{y}}\quad x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\ \ .

Desde $t_{1}=t_{2}$ y estableciendo $L=x_{2}-x_{1}$ y $L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}$ , la longitud propia en S' viene dada por

Por lo tanto, la longitud del objeto, medida en el sistema de referencia S, se contrae por un factor. $\gamma$ :

Asimismo, según el principio de relatividad, un objeto que está en reposo en S también se contraerá en S'. Al intercambiar simétricamente los signos y las primas anteriores , se deduce que

Así, un objeto en reposo en S, cuando se mide en S', tendrá la longitud contraída.

Longitud propia conocida

Por el contrario, si el objeto se encuentra en S y se conoce su longitud propia, la simultaneidad de las mediciones en los extremos del objeto debe considerarse en otro sistema de referencia S', ya que el objeto cambia constantemente de posición allí. Por lo tanto, tanto las coordenadas espaciales como las temporales deben transformarse: ^{[ 35 ]}

{\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)&\quad \mathrm {y} \quad &&x_{2}^{'}&=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right)&\quad \mathrm {y} \quad &&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right)\end{aligned}}

Cálculo del intervalo de longitud $\Delta x'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }$ así como asumir la medición simultánea del tiempo $\Delta t'=t_{2}^{\prime }-t_{1}^{\prime }=0$ y al insertar la longitud adecuada $L_{0}=x_{2}-x_{1}$ , de ahí lo siguiente:

{\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma \left(L_{0}-v\Delta t\right)&(1)\\\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {vL_{0}}{c^{2}}}\right)=0&(2)\end{aligned}}

La ecuación (2) da

\Delta t={\frac {vL_{0}}{c^{2}}}

lo cual, al conectarse a (1), demuestra que $\Delta x'$ se convierte en la longitud contraída $L'$ :

L'=L_{0}/\gamma

.

De igual modo, el mismo método proporciona un resultado simétrico para un objeto en reposo en S':

L=L_{0}^{'}/\gamma

.

Utilizando la dilatación del tiempo

La contracción de la longitud también puede derivarse de la dilatación del tiempo , ^{[ 36 ]} según la cual la velocidad de un solo reloj "en movimiento" (que indica su tiempo propio) $T_{0}$ ) es menor con respecto a dos relojes "en reposo" sincronizados (lo que indica $T$ La dilatación del tiempo se confirmó experimentalmente en múltiples ocasiones y se representa mediante la siguiente relación:

T=T_{0}\cdot \gamma

Supongamos que una varilla de longitud adecuada $L_{0}$ en reposo en $S$ y un reloj en reposo en $S'$ se mueven uno junto al otro a gran velocidad $v$ Dado que, según el principio de relatividad, la magnitud de la velocidad relativa es la misma en ambos sistemas de referencia, los respectivos tiempos de viaje del reloj entre los extremos de la varilla vienen dados por $T=L_{0}/v$ en $S$ y $T'_{0}=L'/v$ en $S'$ , de este modo $L_{0}=Tv$ y $L'=T'_{0}v$ Al insertar la fórmula de dilatación del tiempo, la relación entre esas longitudes es:

{\frac {L'}{L_{0}}}={\frac {T'_{0}v}{Tv}}=1/\gamma

.

Por lo tanto, la longitud medida en $S'$ es dado por

L'=L_{0}/\gamma

Entonces, dado que el tiempo de viaje del reloj a través de la varilla es más largo en $S$ que en $S'$ (dilatación del tiempo en $S$ ), la longitud de la varilla también es mayor en $S$ que en $S'$ (contracción de longitud en $S'$ ). Del mismo modo, si el reloj estuviera en reposo en $S$ y la varilla en $S'$ El procedimiento anterior daría como resultado:

L=L'_{0}/\gamma

Consideraciones geométricas

Cuboides en el espaciotiempo euclidiano y de Minkowski

Consideraciones geométricas adicionales demuestran que la contracción de la longitud puede considerarse un fenómeno trigonométrico , análogo a las secciones paralelas de un cuboide antes y después de una rotación en E ³ (véase la mitad izquierda de la figura de la derecha). Este es el análogo euclidiano de la transformación de un cuboide en E ^1,2 . En este último caso, sin embargo, podemos interpretar el cuboide transformado como la placa del mundo en movimiento.

Imagen : Izquierda: un cuboide rotado en el espacio euclidiano tridimensional E ³ . La sección transversal es más larga en la dirección de la rotación que antes de la misma. Derecha: la lámina del mundo de una placa delgada en movimiento en el espaciotiempo de Minkowski (con una dimensión espacial suprimida) E ^1,2 , que es un cuboide potenciado . La sección transversal es más delgada en la dirección de la potenciación que antes de la misma. En ambos casos, las direcciones transversales no se ven afectadas y los tres planos que se encuentran en cada esquina de los cuboides son mutuamente ortogonales (en el sentido de E ^1,2 a la derecha y en el sentido de E ³ a la izquierda).

En la relatividad especial, las transformaciones de Poincaré son una clase de transformaciones afines que pueden caracterizarse como transformaciones entre cartas de coordenadas cartesianas alternativas en el espaciotiempo de Minkowski, correspondientes a estados alternativos de movimiento inercial (y diferentes elecciones de un origen ). Las transformaciones de Lorentz son transformaciones de Poincaré que son transformaciones lineales (conservan el origen). Las transformaciones de Lorentz desempeñan el mismo papel en la geometría de Minkowski (el grupo de Lorentz forma el grupo de isotropía de las autoisometrías del espaciotiempo) que desempeñan las rotaciones en la geometría euclidiana. De hecho, la relatividad especial se reduce en gran medida al estudio de una especie de trigonometría no euclidiana en el espaciotiempo de Minkowski, como sugiere la siguiente tabla:

Referencias

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Enlaces externos

Preguntas frecuentes sobre física: ¿Se puede ver la contracción de Lorentz-Fitzgerald? O: Rotación de Penrose-Terrell ; El granero y el poste

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