Equicontinuidad

En análisis matemático , una familia de funciones es equicontinua si todas sus funciones son continuas y presentan la misma variación en un entorno determinado , en el sentido preciso que se describe aquí. En particular, este concepto se aplica a familias numerables y, por lo tanto, a secuencias de funciones.

La equicontinuidad aparece en la formulación del teorema de Ascoli , que establece que un subconjunto de C ( X ), el espacio de funciones continuas en un espacio de Hausdorff compacto X , es compacto si y solo si es cerrado, acotado puntualmente y equicontinuo. Como corolario, una sucesión en C ( X ) converge uniformemente si y solo si es equicontinua y converge puntualmente a una función (no necesariamente continua a priori). En particular, el límite de una sucesión equicontinua puntualmente convergente de funciones continuas f _n en un espacio métrico o en un espacio localmente compacto ^{[ 1 ]} es continuo. Si, además, f _n son holomorfas , entonces el límite también es holomorfo.

El principio de acotación uniforme establece que una familia puntualmente acotada de operadores lineales continuos entre espacios de Banach es equicontinua. ^{[ 2 ]}

Equicontinuidad entre espacios métricos

Sean X e Y dos espacios métricos y F una familia de funciones de X a Y. Denotaremos por d las métricas respectivas de estos espacios.

La familia F es equicontinua en un punto x ₀ ∈ X si para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que d ( ƒ ( x ₀ ), ƒ ( x )) < ε para todo ƒ ∈ F y todo x tal que d ( x ₀ , x ) < δ. La familia es equicontinua puntualmente si es equicontinua en cada punto ^de X. ^[³ ]

La familia F es uniformemente equicontinua si para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que d ( ƒ ( x ₁ ), ƒ ( x ₂ )) < ε para todo ƒ ∈ F y todo x ₁ , x ₂ ∈ X tal que d ( x ₁ , x ₂ ) < δ. ^[⁴^]

A modo de comparación, la afirmación 'todas las funciones ƒ en F son continuas' significa que para cada ε > 0, cada ƒ ∈ F y cada x ₀ ∈ X , existe un δ > 0 tal que d ( ƒ ( x ₀ ), ƒ ( x )) < ε para todo x ∈ X tal que d ( x ₀ , x ) < δ.

Para que haya continuidad , δ puede depender de ε, ƒ y x ₀ .
Para una continuidad uniforme , δ puede depender de ε y ƒ .
Para la equicontinuidad puntual , δ puede depender de ε y x ₀ .
Para una equicontinuidad uniforme , δ puede depender únicamente de ε.

De forma más general, cuando X es un espacio topológico, se dice que un conjunto F de funciones de X a Y es equicontinuo en x si para todo ε > 0, x tiene un entorno U _x tal que

d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon

para todo y ∈ U _x y ƒ ∈ F . Esta definición suele aparecer en el contexto de espacios vectoriales topológicos .

Cuando X es compacto, un conjunto es uniformemente equicontinuo si y solo si es equicontinuo en cada punto, esencialmente por la misma razón que la continuidad uniforme y la continuidad coinciden en espacios compactos. Utilizado de forma aislada, el término «equicontinuidad» puede referirse tanto a la noción puntual como a la uniforme, según el contexto. En un espacio compacto, estas nociones coinciden.

De la definición se derivan inmediatamente algunas propiedades básicas. Todo conjunto finito de funciones continuas es equicontinuo. La clausura de un conjunto equicontinuo también es equicontinua. Cada elemento de un conjunto de funciones uniformemente equicontinuo es uniformemente continuo , y todo conjunto finito de funciones uniformemente continuas es uniformemente equicontinuo.

Ejemplos

Un conjunto de funciones con una constante de Lipschitz común es (uniformemente) equicontinuo. En particular, esto ocurre si el conjunto está formado por funciones cuyas derivadas están acotadas por la misma constante.
El principio de acotación uniforme proporciona una condición suficiente para que un conjunto de operadores lineales continuos sean equicontinuos.
Una familia de iteraciones de una función analítica es equicontinua en el conjunto de Fatou . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Contraejemplos

El conjunto de todas las funciones Lipschitz-continuas no es equicontinuo, ya que la constante de Lipschitz máxima no está acotada.
La secuencia de funciones f _n (x) = arctan(nx), no es equicontinua porque la definición se viola en x ₀ =0.

Equicontinuidad de mapas valorados en espacios uniformes

Supongamos que $X$ es un espacio topológico e $Y$ es un espacio uniforme dado por una familia de entornos. ${\mathcal {U}}$ Los espacios vectoriales topológicos , los espacios métricos y los grupos topológicos son ejemplos de espacios uniformes; los grupos topológicos conmutativos tienen una uniformidad canónica, mientras que existen diferentes opciones posibles para una uniformidad en un grupo topológico no conmutativo .

Definición : Una familia

S

de aplicaciones del espacio topológico

X

al espacio uniforme

(Y,{\mathcal {U}})

Se dice que es equicontinua en

x \in X

si para cada

W\in {\mathcal {U}}

, existe algún entorno

U

de

x

en

X

tal que

f(U)\subseteq W[f(x)]=\{y:(y,f(x))\in W\}

para cada

f \in S

. Decimos que

S

es equicontinua si es equicontinua en cada punto de

X

.

Es evidente que todo conjunto finito de funciones continuas de $X$ en $Y$ es equicontinuo.

Mapas lineales equicontinuos

Dado que todo espacio vectorial topológico (SVT) es un grupo topológico, la definición de una familia equicontinua de aplicaciones dada para grupos topológicos se transfiere a los SVT sin cambios.

Caracterización de mapas lineales equicontinuos

Una familia $H$ de mapas de la forma $X\to Y$ Se dice que la relación entre dos espacios vectoriales topológicos es equicontinua en un punto. $x\in X$ si para cada vecindario $V$ del origen en $Y$ existe algún vecindario $U$ del origen en $X$ de tal manera que $h(x+U)\subseteq h(x)+V$ a pesar de $h\in H.$

Si $H$ es una familia de mapas y $U$ es un conjunto entonces sea $H(U):=\bigcup _{h\in H}h(U).$ Con notación, si $U$ y $V$ son conjuntos entonces $h(U)\subseteq V$ a pesar de $h\in H$ si y solo si $H(U)\subseteq V.$

Dejar $X$ y $Y$ ser espacios vectoriales topológicos (TVS) y $H$ ser una familia de operadores lineales de $X$ en $Y.$ Entonces, las siguientes son equivalentes:

$H$ es equicontinua;
$H$ es equicontinua en cada punto de $X.$
$H$ es equicontinua en algún punto de $X.$
$H$ $H$ es equicontinua en el origen.
- es decir, para cada barrio $V$ del origen en $Y,$ existe un vecindario $U$ del origen en $X$ de tal manera que $H(U)\subseteq V$ (o equivalentemente, $h(U)\subseteq V$ por cada $h\in H$ ).

^{[ 7 ]}

para cada barrio $V$ del origen en $Y,$ $\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)$ es un barrio del origen en $X.$
el cierre de $H$ $H$ en $L_{\sigma }(X;Y)$ $L_{\sigma }(X;Y)$ es equicontinua.
- $L_{\sigma }(X;Y)$ denota $L(X;Y)$ dotado de la topología de convergencia puntual.
el casco equilibrado de $H$ es equicontinua.

mientras que si $Y$ Si es localmente convexa, entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

la envoltura convexa de $H$ es equicontinua. ^{[ 8 ]}
el casco equilibrado convexo de $H$ es equicontinua. ^{[ 9 ]}^{[ 8 ]}

mientras que si $X$ y $Y$ Si son localmente convexas , esta lista puede ampliarse para incluir:

para cada seminorma continua $q$ $q$ en $Y,$ $Y,$ Existe una seminorma continua $p$ $p$ en $X$ $X$ de tal manera que $q\circ h\leq p$ $q\circ h\leq p$ a pesar de $h\in H.$ $h\in H.$ ^{[ 8 ]}
- Aquí, $q\circ h\leq p$ significa que $q(h(x))\leq p(x)$ a pesar de $x\in X.$

mientras que si $X$ está encamisado y $Y$ Si es localmente convexa, entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

$H$ está delimitado en $L_{\sigma }(X;Y)$ ; ^{[ 10 ]}
$H$ $H$ está delimitado en $L_{b}(X;Y).$ $L_{b}(X;Y).$ ^{[ 10 ]}
- $L_{b}(X;Y)$ denota $L(X;Y)$ dotado de la topología de convergencia acotada (es decir, convergencia uniforme en subconjuntos acotados de $X.$

mientras que si $X$ y $Y$ Si se trata de espacios Banach , esta lista puede ampliarse para incluir:

$\sup\{\|T\|:T\in H\}<\infty$ (eso es, $H$ está uniformemente acotado en la norma del operador ).

Caracterización de funcionales lineales equicontinuos

Dejar $X$ sea un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo $\mathbb {F}$ con espacio doble continuo $X^{\prime }.$ Una familia $H$ de funcionales lineales en $X$ Se dice que es equicontinua en un punto. $x\in X$ si para cada vecindario $V$ del origen en $\mathbb {F}$ existe algún vecindario $U$ del origen en $X$ de tal manera que $h(x+U)\subseteq h(x)+V$ a pesar de $h\in H.$

Para cualquier subconjunto $H\subseteq X^{\prime },$ Los siguientes son equivalentes: ^{[ 8 ]}

$H$ es equicontinua.
$H$ es equicontinua en el origen.
$H$ es equicontinua en algún punto de $X.$
$H$ está contenido en el polar de algún vecindario del origen en $X$ ^{[ 9 ]}
el (pre)polar de $H$ es un barrio del origen en $X.$
el cierre débil* de $H$ en $X^{\prime }$ es equicontinua.
el casco equilibrado de $H$ es equicontinua.
la envoltura convexa de $H$ es equicontinua.
el casco equilibrado convexo de $H$ es equicontinua. ^{[ 9 ]}

mientras que si $X$ Si se cumple la norma , esta lista puede ampliarse para incluir:

$H$ es un subconjunto fuertemente acotado de $X^{\prime }.$ ^{[ 9 ]}

mientras que si $X$ Si se trata de un espacio en forma de barril , esta lista puede ampliarse para incluir:

$H$ es relativamente compacto en la topología débil* en $X^{\prime }.$ ^{[ 10 ]}
$H$ es débilmente* acotado (es decir, $H$ es $\sigma \left(X^{\prime },X\right)-$ delimitado en $X^{\prime }$ ). ^{[ 10 ]}
$H$ está acotada en la topología de convergencia acotada (es decir, $H$ es $b\left(X^{\prime },X\right)-$ delimitado en $X^{\prime }$ ). ^{[ 10 ]}

Propiedades de las aplicaciones lineales equicontinuas

El principio de acotación uniforme (también conocido como teorema de Banach-Steinhaus) establece que un conjunto $H$ de aplicaciones lineales entre espacios de Banach es equicontinua si está acotada puntualmente; es decir, $\sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty$ para cada $x\in X.$ El resultado puede generalizarse a un caso en el que $Y$ es localmente convexa y $X$ es un espacio en forma de barril . ^{[ 11 ]}

Propiedades de los funcionales lineales equicontinuos

El teorema de Alaoglu implica que el cierre débil-* de un subconjunto equicontinuo de $X^{\prime }$ es débilmente* compacto; por lo tanto, todo subconjunto equicontinuo es débilmente* relativamente compacto. ^{[ 12 ]}^{[ 8 ]}

Si $X$ es cualquier TVS localmente convexo, entonces la familia de todos los barriles en $X$ y la familia de todos los subconjuntos de $X^{\prime }$ que sean convexos, equilibrados, cerrados y acotados en $X_{\sigma }^{\prime },$ se corresponden entre sí por polaridad (con respecto a $\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$ ). ^{[ 13 ]} De ello se deduce que un TVS localmente convexo $X$ está acotado si y solo si cada subconjunto acotado de $X_{\sigma }^{\prime }$ es equicontinua. ^{[ 13 ]}

Teorema — Supongamos que $X$ es un TVS separable . Entonces, todo subconjunto equicontinuo cerrado de $X_{\sigma }^{\prime }$ es un espacio metrizable compacto (bajo la topología de subespacio). Si además $X$ entonces es métrico $X_{\sigma }^{\prime }$ es separable. ^{[ 13 ]}

Equicontinuidad y convergencia uniforme

Sea X un espacio compacto de Hausdorff, y equipemos C ( X ) con la norma uniforme , haciendo así que C ( X ) sea un espacio de Banach , y por lo tanto un espacio métrico. Entonces el teorema de Arzelà-Ascoli establece que un subconjunto de C ( X ) es compacto si y solo si es cerrado, uniformemente acotado y equicontinuo. ^{[ 14 ]} Esto es análogo al teorema de Heine-Borel , que establece que los subconjuntos de R ⁿ son compactos si y solo si son cerrados y acotados. ^{[ 15 ]} Como corolario, toda sucesión uniformemente acotada y equicontinua en C ( X ) contiene una subsucesión que converge uniformemente a una función continua en X .

En vista del teorema de Arzelà-Ascoli, una sucesión en C ( X ) converge uniformemente si y solo si es equicontinua y converge puntualmente. La hipótesis de la afirmación puede atenuarse un poco: una sucesión en C ( X ) converge uniformemente si es equicontinua y converge puntualmente en un subconjunto denso a alguna función en X (sin asumir que sea continua).

Prueba

Supongamos que f _j es una sucesión equicontinua de funciones continuas en un subconjunto denso D de X. Sea ε > 0 dado. Por equicontinuidad, para cada z ∈ D , existe un entorno U _z de z tal que

|f_{j}(x)-f_{j}(z)|<\epsilon /3

para todo j y x ∈ U _z . Por densidad y compacidad, podemos encontrar un subconjunto finito D′ ⊂ D tal que X es la unión de U _z sobre z ∈ D′ . Dado que f _j converge puntualmente en D′ , existe N > 0 tal que

|f_{j}(z)-f_{k}(z)|<\epsilon /3

siempre que z ∈ D′ y j , k > N . Se deduce que

\sup _{X}|f_{j}-f_{k}|<\epsilon

para todo j , k > N. De hecho, si x ∈ X , entonces x ∈ U _z para algún z ∈ D′ y por lo tanto obtenemos:

|f_{j}(x)-f_{k}(x)|\leq |f_{j}(x)-f_{j}(z)|+|f_{j}(z)-f_{k}(z)|+|f_{k}(z)-f_{k}(x)|<\epsilon

.

Por lo tanto, f _j es Cauchy en C ( X ) y, por consiguiente, converge por completitud.

Esta versión más débil se usa típicamente para demostrar el teorema de Arzelà-Ascoli para espacios compactos separables. Otra consecuencia es que el límite de una sucesión equicontinua puntualmente convergente de funciones continuas en un espacio métrico, o en un espacio localmente compacto, es continuo. (Véase más abajo un ejemplo). En lo anterior, la hipótesis de compacidad de X no se puede relajar. Para ver eso, consideremos una función continua con soporte compacto g en R con g (0) = 1, y consideremos la sucesión equicontinua de funciones { ƒ _n } en R definida por ƒ _n ( x ) = g ( x − n ) . Entonces, ƒ _n converge puntualmente a 0 pero no converge uniformemente a 0.

Este criterio de convergencia uniforme suele ser útil en el análisis real y complejo. Supongamos que tenemos una sucesión de funciones continuas que converge puntualmente en algún subconjunto abierto G de R ⁿ . Como se mencionó anteriormente, converge uniformemente en un subconjunto compacto de G si es equicontinua en dicho conjunto. En la práctica, demostrar la equicontinuidad no suele ser tan difícil. Por ejemplo, si la sucesión consta de funciones diferenciables o con cierta regularidad (p. ej., las funciones son soluciones de una ecuación diferencial), se puede utilizar el teorema del valor medio u otros métodos de estimación para demostrar que la sucesión es equicontinua. De ello se deduce que el límite de la sucesión es continuo en todo subconjunto compacto de G ; por lo tanto, continuo en G . Un argumento similar se puede aplicar cuando las funciones son holomorfas. Se puede utilizar, por ejemplo, la estimación de Cauchy para demostrar la equicontinuidad (en un subconjunto compacto) y concluir que el límite es holomorfo. Cabe destacar que la equicontinuidad es esencial en este caso. Por ejemplo, ƒ _n ( x ) = arctan n x converge a un múltiplo de la función signo discontinua .

Generalizaciones

Equicontinuidad en espacios topológicos

El escenario más general en el que se puede definir la equicontinuidad es para espacios topológicos, mientras que la equicontinuidad uniforme requiere que el filtro de vecindades de un punto sea de alguna manera comparable con el filtro de vecindades de otro punto. Esto último se realiza generalmente mediante una estructura uniforme , que da como resultado un espacio uniforme . Las definiciones apropiadas en estos casos son las siguientes:

Un conjunto A de funciones continuas entre dos espacios topológicos X e Y es topológicamente equicontinuo en los puntos x ∈ X e y ∈ Y si para cualquier conjunto abierto O alrededor de y , existen entornos U de x y V de y tales que para cada f ∈ A , si la intersección de f [ U ] y V no es vacía, f [ U ] ⊆ O. Entonces se dice que A es topológicamente equicontinuo en x ∈ X si es topológicamente equicontinuo en x e y para cada y ∈ Y. Finalmente, A es equicontinuo si es equicontinuo en x para todos los puntos x ∈ X.

Un conjunto A de funciones continuas entre dos espacios uniformes X e Y es uniformemente equicontinuo si para cada elemento W de la uniformidad en Y , el conjunto

{ ( u,v ) ∈ X × X : para todo f ∈ A . ( f ( u ), f ( v )) ∈ W }

es un miembro de la uniformidad en X

Un concepto más débil es el de continuidad uniforme.

Se dice que un conjunto A de funciones continuas entre dos espacios topológicos X e Y es uniformemente continuo en x ∈ X e y ∈ Y si, dado cualquier conjunto abierto O que contenga a y, existen entornos U de x y V de y tales que f [ U ] ⊆ O siempre que f ( x ) ∈ V . Es uniformemente continuo en x si es uniformemente continuo en x e y para todo y ∈ Y , y uniformemente continuo si es uniformemente continuo en x para todo x ∈ X .

Equicontinuidad estocástica

La equicontinuidad estocástica es una versión de la equicontinuidad utilizada en el contexto de secuencias de funciones de variables aleatorias y su convergencia . ^{[ 16 ]}

Véase también

Continuidad absoluta : forma de continuidad para funciones
Clasificación de discontinuidades – Análisis matemático de puntos discontinuos
Función gruesa
Función continua : función matemática sin cambios bruscos.
Función continua (teoría de conjuntos) – Función de orden continuo en ordinales Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento
Proceso estocástico continuo : Proceso estocástico que es una función continua del tiempo o de un parámetro de índice.
Continuidad de Dini – Forma especial de continuidad
Función que conserva la dirección : un análogo de una función continua en espacios discretos.
Microcontinuidad – Término matemático
Función normal – Función de los números ordinales en matemáticas
Por partes : función definida por múltiples subfunciones. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento.
Función simétricamente continua
Continuidad uniforme : restricción uniforme del cambio de funciones.

Notas

↑ De forma más general, en cualquier espacio generado de forma compacta ; por ejemplo, un espacio numerable de primer orden .
↑ Rudin 1991 , pág. 44 §2.5.
↑ Reed y Simon (1980) , pág. 29; Rudin (1987) , pág. 245
↑ Reed y Simon (1980) , pág. 29
↑ Alan F. Beardon, S. Axler, FW Gehring, KA Ribet : Iteración de funciones racionales: Sistemas dinámicos analíticos complejos. Springer, 2000; ISBN 0-387-95151-2, ISBN 978-0-387-95151-5; página 49
↑ Joseph H. Silverman : La aritmética de los sistemas dinámicos. Springer, 2007. ISBN 0-387-69903-1, ISBN 978-0-387-69903-5; página 22
↑ Rudin 1991 , pág. 44 Teorema 2.4.
1 2 3 4 5 Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225–273.
^ Trèves 2006 , págs . 335–345 .
^ Trèves 2006 , págs . 346–350 .
↑ Schaefer 1966 , Teorema 4.2.
↑ Schaefer 1966 , Corolario 4.3.
1 2 3 Schaefer y Wolff 1999 , págs. 123–128.
↑ Rudin 1991 , pág. 394 Apéndice A5.
↑ Rudin 1991 , pág. 18 Teorema 1.23.
↑ de Jong, Robert M. (1993). «Equicontinuidad estocástica para procesos de mezcla». Teoría asintótica de métodos de espacio de parámetros en expansión y dependencia de datos en econometría . Ámsterdam. págs. 53–72 . ISBN 90-5170-227-2.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )

Referencias

"Equicontinuidad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Reed, Michael; Simon, Barry (1980), Análisis funcional (edición revisada y ampliada ), Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-585050-6.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834

Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (Segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277

Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill.
Schaefer, Helmut H. (1966), Espacios vectoriales topológicos , Nueva York: The Macmillan Company
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135
Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322 .

[1] De forma más general, en cualquier espacio generado de forma compacta ; por ejemplo, un espacio numerable de primer orden .

[FOOTNOTERudin199144_§2.5-2] Rudin 1991 , pág. 44 §2.5.

[RS29-3] Reed y Simon (1980) , pág. 29; Rudin (1987) , pág. 245

[4] Reed y Simon (1980) , pág. 29

[5] Alan F. Beardon, S. Axler, FW Gehring, KA Ribet : Iteración de funciones racionales: Sistemas dinámicos analíticos complejos. Springer, 2000; ISBN 0-387-95151-2, ISBN 978-0-387-95151-5; página 49

[6] Joseph H. Silverman : La aritmética de los sistemas dinámicos. Springer, 2007. ISBN 0-387-69903-1, ISBN 978-0-387-69903-5; página 22

[FOOTNOTERudin199144_Theorem_2.4-7] Rudin 1991 , pág. 44 Teorema 2.4.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225–273-8] 1 2 3 4 5 Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225–273.

[FOOTNOTETrèves2006335–345-9] Trèves 2006 , págs . 335–345 .

[FOOTNOTETrèves2006346–350-10] Trèves 2006 , págs . 346–350 .

[FOOTNOTESchaefer1966Theorem_4.2-11] Schaefer 1966 , Teorema 4.2.

[FOOTNOTESchaefer1966Corollary_4.3-12] Schaefer 1966 , Corolario 4.3.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999123–128-13] 1 2 3 Schaefer y Wolff 1999 , págs. 123–128.

[FOOTNOTERudin1991394_Appendix_A5-14] Rudin 1991 , pág. 394 Apéndice A5.

[FOOTNOTERudin199118_Theorem_1.23-15] Rudin 1991 , pág. 18 Teorema 1.23.

[16] Jong, Robert M. (1993). «Equicontinuidad estocástica para procesos de mezcla». Teoría asintótica de métodos de espacio de parámetros en expansión y dependencia de datos en econometría . Ámsterdam. págs. 53–72 . ISBN 90-5170-227-2.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )

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