Energía orbital específica

En el problema gravitacional de dos cuerpos , la energía orbital específica${\displaystyle \varepsilon }$(o energía vis-viva específica ) de dos cuerpos en órbita es el cociente constante de su energía mecánica (la suma de su energía potencial mutua ,${\displaystyle \varepsilon _ {p}}$y su energía cinética ,${\displaystyle \varepsilon _{k}}$) a su masa reducida . ^{[ 1 ]}

Según la ecuación de conservación de la energía orbital (también conocida como ecuación vis-viva ), esta no varía con el tiempo: $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}\\&={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}}$$ dónde

• ${\displaystyle v}$es la velocidad orbital relativa ;
• ${\displaystyle r}$es la distancia orbital entre los cuerpos;
• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$es la suma de los parámetros gravitacionales estándar de los cuerpos;
• ${\displaystyle h}$es el momento angular relativo específico en el sentido de momento angular relativo dividido por la masa reducida;
• ${\displaystyle e}$es la excentricidad orbital ;
• ${\displaystyle a}$es el semieje mayor .

Es un tipo de energía específica , expresada típicamente en unidades de${\displaystyle {\frac {\text{MJ}}{\text{kg}}}}$(megajulios por kilogramo) o${\displaystyle {\frac {{\text{km}}^{2}}{{\text{s}}^{2}}}}$(kilómetro cuadrado por segundo cuadrado). Para una órbita elíptica , la energía orbital específica es el negativo de la energía adicional necesaria para acelerar una masa de un kilogramo hasta la velocidad de escape ( órbita parabólica ). Para una órbita hiperbólica , es igual a la energía en exceso en comparación con la de una órbita parabólica. En este caso, la energía orbital específica también se denomina energía característica .

Para una órbita elíptica , la ecuación de energía orbital específica, cuando se combina con la conservación del momento angular específico en uno de los ápsides de la órbita , se simplifica a: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \varepsilon =-{\frac {\mu }{2a}}}$$ dónde

• ${\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)}$es el parámetro gravitacional estándar ;
• ${\displaystyle a}$es el semieje mayor de la órbita.

Para una órbita parabólica, esta ecuación se simplifica a $${\displaystyle \varepsilon =0.}$$

Para una trayectoria hiperbólica, esta energía orbital específica viene dada por $${\displaystyle \varepsilon ={\mu \over 2a}.}$$

o lo mismo que para una elipse, dependiendo de la convención para el signo de a .

En este caso, la energía orbital específica también se denomina energía característica (o${\displaystyle C_{3}}$) y es igual al exceso de energía específica en comparación con la de una órbita parabólica.

Está relacionado con la velocidad de exceso hiperbólica${\displaystyle v_{\infty }}$(la velocidad orbital en el infinito) por $${\displaystyle 2\varepsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}.}$$

Es relevante para las misiones interplanetarias.

Por lo tanto, si el vector de posición orbital (${\displaystyle \mathbf {r} }$) y vector de velocidad orbital (${\displaystyle \mathbf {v} }$) se conocen en una posición, y${\displaystyle \mu }$Si se conoce, entonces se puede calcular la energía y, a partir de eso, para cualquier otra posición, la velocidad orbital.

Para una órbita elíptica, la tasa de cambio de la energía orbital específica con respecto a un cambio en el semieje mayor es $${\displaystyle {\frac {\mu }{2a^{2}}}}$$ dónde

• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$es el parámetro gravitacional estándar ;
• ${\displaystyle a\,\!}$es el semieje mayor de la órbita.

En el caso de órbitas circulares, esta tasa es la mitad de la gravedad en la órbita. Esto se corresponde con el hecho de que, para dichas órbitas, la energía total es la mitad de la energía potencial, ya que la energía cinética es menos la mitad de la energía potencial.

Si el cuerpo central tiene radio R , entonces la energía específica adicional de una órbita elíptica en comparación con estar estacionario en la superficie es

$${\displaystyle -{\frac {\mu }{2a}}+{\frac {\mu }{R}}={\frac {\mu (2a-R)}{2aR}}}$$

La cantidad${\displaystyle 2a-R}$es la altura que la elipse se extiende sobre la superficie, más la distancia del periapsis (la distancia que la elipse se extiende más allá del centro de la Tierra). Para la Tierra y${\displaystyle a}$poco más que${\displaystyle R}$la energía específica adicional es${\displaystyle (gR/2)}$; que es la energía cinética de la componente horizontal de la velocidad, es decir${\textstyle {\frac {1}{2}}V^{2}={\frac {1}{2}}gR}$, ${\displaystyle V={\sqrt {gR}}}$.

Asumir:

• a es la aceleración debida al empuje (la tasa de tiempo a la que se consume delta-v )
• g es la intensidad del campo gravitatorio
• v es la velocidad del cohete

Entonces, la tasa de cambio temporal de la energía específica del cohete es${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} }$: una cantidad${\displaystyle \mathbf {v} \cdot (\mathbf {a} -\mathbf {g} )}$para la energía cinética y una cantidad${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {g} }$para la energía potencial.

El cambio de la energía específica del cohete por unidad de cambio de delta-v es $${\displaystyle {\frac {\mathbf {v\cdot a} }{|\mathbf {a} |}}}$$ que es | v | veces el coseno del ángulo entre v y a .

Así, al aplicar delta-v para aumentar la energía orbital específica, esto se hace de manera más eficiente si a se aplica en la dirección de v , y cuando | v | es grande. Si el ángulo entre v y g es obtuso, por ejemplo en un lanzamiento y en una transferencia a una órbita superior, esto significa aplicar delta-v lo antes posible y a plena capacidad. Véase también arrastre gravitatorio . Al pasar cerca de un cuerpo celeste, significa aplicar empuje cuando se está más cerca del cuerpo. Al aumentar gradualmente una órbita elíptica, significa aplicar empuje cada vez que se está cerca del periapsis. Dicha maniobra se llama maniobra de Oberth o sobrevuelo propulsado.

Al aplicar delta-v para disminuir la energía orbital específica, esto se hace de manera más eficiente si a se aplica en la dirección opuesta a la de v , y nuevamente cuando | v | es grande. Si el ángulo entre v y g es agudo, por ejemplo en un aterrizaje (en un cuerpo celeste sin atmósfera) y en una transferencia a una órbita circular alrededor de un cuerpo celeste al llegar desde el exterior, esto significa aplicar delta-v lo más tarde posible. Al pasar cerca de un planeta, significa aplicar empuje cuando está más cerca del planeta. Al hacer gradualmente más pequeña una órbita elíptica, significa aplicar empuje cada vez que está cerca del periapsis.

Si a está en la dirección de v : $${\displaystyle \Delta \varepsilon =\int v\,d(\Delta v)=\int v\,adt}$$

• Cambio de energía específica de los cohetes
• Energía característica C3 (el doble de la energía orbital específica)